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专题5代数之不等式(组)问题—解析卷

备考 2019 中考数学高频考点剖析 专题五 不等式(组)问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式(组),是中考必考的内容之一,考查的知识点包括不等式的性质、一元一次不等式的解 法、不等式组的解法及其实际应用,总体来看,难度系数低,以选择为主和数轴进行结合考查。也有 少量的解析题。解析题主要以设计方案的方程或者函数问题为主。近几年来对不等式(组)考查很少单 独命题,多数与其他考点相结合,且难度偏大,但在复习时要认真对待,尤其是优化方案是初中分类 讨论思想的体现及培养学生能力的地方。结合 2018 年全国各地中考的实例,我们从三方面进行对不 等式及其不等式组问题的探讨:
(1)不等式性质的考查; (2)一元一次不等式的解法; (3)不等式组的解法及其应用.

考点剖析☆典型例题 例 1(2018 年江苏省宿迁)若 a<b,则下列结论不一定成立的是(

)。

A. a-1<b-1

B. 2a<2b

C.

D.

【答案】D 【考点】不等式及其性质 【解析】【解答】解:A.∵a<b,∴ a-1<b-1,故正确,A 不符合题意;B.∵a<b,∴ 2a<2b,故 正确,B 不符合题意;

C.∵a<b,∴ < ,故正确,C 不符合题意; D.当 a<b<0 时,a2>b2 , 故错误,D 符合题意; 故答案为:D. 【分析】A.不等式性质 1:不等式两边同时加上(或减去)同一个数,不等式任然成立;由此即可判 断对错; B.不等式性质 2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等式任然成立;由此即可判断对错; C.不等式性质 2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等式任然成立;由此即可判断对错; D.题中只有 a<b,当当 a<b<0 时,a2>b2 , 故错误 例 2(2018·浙江衢州·3 分)不等式 3x+2≥5 的解集是( )

A.x≥1

B.x≥

C.x≤1

D.x≤﹣1

【考点】一元一次不等式的解法 【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案. 【解答】解:3x≥3

x≥1

故选 A.

【点评】本题考查了一元一次不等式的解法,解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法,本题属

于基础题型.

例 3(2018·山东泰安·3 分)不等式组

有 3 个整数解,则 a 的取值范围是( )

A.﹣6≤a<﹣5 B.﹣6<a≤﹣5 C.﹣6<a<﹣5 D.﹣6≤a≤﹣5 【分析】根据解不等式组,可得不等式组的解,根据不等式组的解有 3 个整数解,可得答案.

【解答】解:不等式组



由 ﹣ x<﹣1,解得:x>4,
由 4(x﹣1)≤2(x﹣a),解得:x≤2﹣a, 故不等式组的解为:4<x≤2﹣a,

由关于 x 的不等式组

有 3 个整数解,

解得:7≤2﹣a<8, 解得:﹣6<a≤﹣5. 故选:B. 【点评】本题考查了一元一次不等式组,利用不等式的解得出关于 a 的不等式是解题关键.

例 4(2018·湖南省常德·5 分)求不等式组

的正整数解.

【分析】根据不等式组解集的表示方法:大小小大中间找,可得答案.

【解答】解:



解不等式①,得 x>﹣2, 解不等式②,得 x≤ ,
不等式组的解集是﹣2<x≤ ,
不等式组的正整数解是 1,2,3,4. 【点评】本题考查了解一元一次不等式组,利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键. 例 5 (2018·湖北省孝感·10 分)“绿水青山就是金山银山”,随着生活水平的提高,人们对饮水 品质的需求越来越高,孝感市槐荫公司根据市场需求代理 A,B 两种型的净水器,每台 A 型净水器比 每台 B 型净水器进价多 200 元,用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等.

(1)求每台 A 型、B 型净水器的进价各是多少元? (2)槐荫公司计划购进 A,B 两种型的净水器共 50 台进行试销,其中 A 型净水器为 x 台,购买资金 不超过 9.8 万元.试销时 A 型净水器每台售价 2500 元,B 型净水器每台售价 2180 元,槐荫公司决定 从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献 a(70<a<80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,设槐 荫公司售完 50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W,求 W 的最大值. 【分析】(1)设 A 型净水器每台的进价为 m 元,则 B 型净水器每台的进价为(m﹣200)元,根据数 量=总价÷单价结合用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等,即可得出关 于 m 的分式方程,解之经检验后即可得出结论; (2)根据购买资金=A 型净水器的进价×购进数量+B 型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过 9.8 万元,即可得出关于 x 的一元一次不等式,解之即可得出 x 的取值范围,由总利润=每台 A 型净 水器的利润×购进数量+每台 B 型净水器的利润×购进数量﹣a×购进 A 型净水器的数量,即可得出 W 关于 x 的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设 A 型净水器每台的进价为 m 元,则 B 型净水器每台的进价为(m﹣200)元,

根据题意得:

=



解得:m=2000, 经检验,m=2000 是分式方程的解, ∴m﹣200=1800. 答:A 型净水器每台的进价为 2000 元,B 型净水器每台的进价为 1800 元. (2)根据题意得:2000x+180(50﹣x)≤98000, 解得:x≤40. W=(2500﹣2000)x+(2180﹣1800)(50﹣x)﹣ax=(120﹣a)x+19000, ∵当 70<a<80 时,120﹣a>0, ∴W 随 x 增大而增大, ∴当 x=40 时,W 取最大值,最大值为(120﹣a)×40+19000=23800﹣40a, ∴W 的最大值是(23800﹣40a)元. 【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,找出 W 关于 x 的函数关系式.

考点过关☆专项突破 类型一 不等式的性质 1. 某市今年 5 月份的最高气温为 27℃,最低气温为 18℃,已知某一天的气温为 t℃,则下面表示气 温之间的不等关系正确的是( ) A.18<t<27 B.18≤t<27 C.18<t≤27 D.18≤t≤27 【答案】D 【分析】用“>”或“<”表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”表示不等关系的式子也是不

等式是解答此题的关键. 【解答】∵贵阳市今年 5 月份的最高气温为 27℃,最低气温为 18℃,某一天的气温为 t℃, ∴27≤t≤18. 故选 D. 2. (2018?北京?2 分) 用一组 a ,b ,c 的值说明命题“若 a ? b ,则 ac ? bc ”是错误的,这组值可 以是 a ? _____, b ? ______, c ? _______. 【考点】不等式的基本性质 【答案】答案不唯一,满足 a ? b , c ≤0 即可,例如:, 2 , ?1 【解析】不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等的方向改变. 3.高钙牛奶的包装盒上注明“每 100 克内含钙≥150 毫克”,它的含义是指( )
A.每 100 克内含钙 150 毫克 B.每 100 克内含钙不低于 150 毫克 C.每 100 克内含钙高于 150 毫克 D.每 100 克内含钙不超过 150 毫克 【答案】:B 解析:【解答】根据≥的含义,“每 100 克内含钙≥150 毫克”,就是“每 100 克内含钙不低于 150 毫克”,故选:B. 【分析】“≥”就是不小于,在本题中也就是“不低于”的意思. 4. (2018?广西)若 m>n,则下列不等式正确的是( )

A.m﹣2<n﹣2

B.

C.6m<6n

D.﹣8m>﹣8n

【分析】将原不等式两边分别都减 2、都除以 4、都乘以 6、都乘以﹣8,根据不等式得基本性质逐一 判断即可得. 【解答】解:A、将 m>n 两边都减 2 得:m﹣2>n﹣2,此选项错误;

B、将 m>n 两边都除以 4 得: > ,此选项正确;

C、将 m>n 两边都乘以 6 得:6m>6n,此选项错误; D、将 m>n 两边都乘以﹣8,得:﹣8m<﹣8n,此选项错误; 故选:B. 5. (2018?宿迁)若 a<b,则下列结论不一定成立的是( )

A.a﹣1<b﹣1 B.2a<2b C.﹣ >﹣

D.a2<b2

【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断. 【解答】解:A、在不等式 a<b 的两边同时减去 1,不等式仍成立,即 a﹣1<b﹣1,故本选项错误;

B、在不等式 a<b 的两边同时乘以 2,不等式仍成立,即 2a<2b,故本选项错误;

C、在不等式 a<b 的两边同时乘以﹣ ,不等的方向改变,即﹣ >﹣ ,故本选项错误;

D、当 a=﹣5,b=1 时,不等式 a2<b2 不成立,故本选项正确;

故选:D.

6. 一种药品的说明书上写着:“每日用量 120~180mg,分 3~4 次服完.”一次服用这种药的剂量

在什么范围?

【答案】30≤x≤60.

解析:【解答】∵120÷3=40,120÷4=30,180÷3=60,180÷4=45,

∴一次服用这种药的剂量在 30mg~60mg 之间,即 30≤x≤60.

【分析】用 120÷3,120÷4 得到每天服用 100mg 时 3 次或 4 次每次的剂量;180÷3,180÷4 即可得

到每天服用 180mg 时 3 次或 4 次每次的剂量,找到最少的剂量和最多的剂量即可.

7.在数轴上有 A,B 两点,其中点 A 所对应的数是 a,点 B 所对应的数是 1.已知 A,B 两点的距离小

于 3,请你利用数轴.

(1)写出 a 所满足的不等式;

(2)数﹣3,0,4 所对应的点到点 B 的距离小于 3 吗?

【答案】(1)﹣2<a<4,

(2)0 所对应的点到 B 点的距离小于 3.

解析:【解答】(1)根据题意得:|a﹣1|<3,

得出﹣2<a<4,

(2)由(1)得:到点 B 的距离小于 3 的数在﹣2 和 4 之间,

∴在﹣3,0,4 三个数中,只有 0 所对应的点到 B 点的距离小于 3.

【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值,列出不等式并解出结果. 类型二 一元一次不等式的解法及其应用

1. (2018·浙江舟山·3 分)不等式 1-x≥2 的解在数轴上表示正确的是(



A.

B.

C.

D.

【考点】解一元一次不等式 在数轴上表示一元一次不等式的解 【解析】在数轴上表示不等式的解时,不等是“≥”或“≤”的时候,点要打实心 【解答】解:因为 1-x≥2,3≥x, 所以不等式的解为 x≤3,

故答案为 A。
2.(2018.四川眉山)不等式﹣2x> 的解集是( )
A.x<﹣ B.x<﹣1 C.x>﹣ D.x>﹣1
【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质两边都除以﹣2 可得.
【解答】解:两边都除以﹣2 可得:x<﹣ ,
故选:A. 3.(2018?湖北荆门?3 分)已知关于 x 的不等式 3x﹣m+1>0 的最小整数解为 2,则实数 m 的取值范 围是( ) A.4≤m<7 B.4<m<7 C.4≤m≤7 D.4<m≤7 【分析】先解出不等式,然后根据最小整数解为 2 得出关于 m 的不等式组,解之即可求得 m 的取值范 围. 【解答】解:解不等式 3x﹣m+1>0,得:x> ,
∵不等式有最小整数解 2, ∴1≤ <2,
解得:4≤m<7, 故选:A. 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解,正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.解不等 式应根据不等式的基本性质. 4.(2018·台湾·分)如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明,妮娜打算请此 印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷,她再将卡片以每张 15 元的价格贩售.若利润等于收入扣掉成 本,且成本只考虑设计费与印刷费,则她至少需印多少张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过 成本的 2 成?( )

A.112

B.121

C.134

D.143

【分析】设妮娜需印 x 张卡片,根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的 2 成,即可得出关于 x 的 一元一次不等式,解之即可得出 x 的取值范围,取其内最小的整数即可得出结论. 【解答】解:设妮娜需印 x 张卡片, 根据题意得:15x﹣1000﹣5x>0.2(1000+5x),
解得:x>133 ,

∵x 为整数, ∴x≥134. 答:妮娜至少需印 134 张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的 2 成. 故选:C. 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解 题的关键. 5. (2018·四川省攀枝花)攀枝花市出租车的收费标准是:起步价 5 元(即行驶距离不超过 2 千米 都需付 5 元车费),超过 2 千米以后,每增加 1 千米,加收 1.8 元(不足 1 千米按 1 千米计).某同 学从家乘出租车到学校,付了车费 24.8 元.求该同学的家到学校的距离在什么范围? 解:设该同学的家到学校的距离是 x 千米,依题意:
24.8﹣1.8<5+1.8(x﹣2)≤24.8,解得:12<x≤13. 故该同学的家到学校的距离在大于 12 小于等于 13 的范围. 类型三 不等式组的解法及其应用

1.(2018?岳阳)已知不等式组

,其解集在数轴上表示正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】分别解不等式组进而在数轴上表示出来即可.

【解答】解:



解①得:x<2, 解②得:x≥﹣1, 故不等式组的解集为:﹣1≤x<2,

故解集在数轴上表示为:



故选:D.

2.关于 x 的不等式组

的解集中至少有 5 个整数解,则正数 a 的最小值是( )

A.3 B.2 C.1 D.

【答案】B 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集,然后根据不等式组的整数解的个数从而确定 a 的范围, 进而求得最小值.

【解答】解:



解①得 x≤a,

解②得 x>﹣ a.

则不等式组的解集是﹣ a<x≤a. ∵不等式至少有 5 个整数解,则 a 的范围是 a≥2. a 的最小值是 2. 故选 B. 3. (2018·湖北江汉·3 分)若关于 x 的一元一次不等式组

的解集是 x>3,则 m

的取值范围是( )

A.m>4

B.m≥4

C.m<4

D.m≤4

【分析】先求出每个不等式的解集,再根据不等式组的解集和已知得出关于 m 的不等式,再求出解集

即可.

【解答】解:



∵解不等式①得:x>3, 解不等式②得:x>m﹣1,
又∵关于 x 的一元一次不等式组

的解集是 x>3,

∴m﹣1≤3, 解得:m≤4, 故选:D.
4. (2018·辽宁省阜新市)不等式组

的解集,在数轴上表示正确的是( )

A.

B.

【解答】解:

C.

D.

∵解不等式①得:x>﹣2,解不等式②得:x≤2,∴不等式组的解集为﹣2<x≤2,在数轴上表示为



故选 B.

5.(2018·重庆(A)·4

分)

若数 a 使关于

x

的不等式组

? ?

x

?

1

?

1

?

x

?2 3

有且只有四个整数解,且使

??5x ? 2 ? x ? a

关于 y 的方程 y ? a ?

2a

的解为非负数,则符合条件的所有整数 a 的和为( ?2

)

y ?1 1? y

A. ?3

B. ?2

C.1

D.2

【考点】不等式组和分式方程的应用

【分析】解关于 x 的不等式组,根据题意求出 a 的取值范围,然后解关于 y 的方程,

排除分式方程无解的情况,结合不等式组的结果,找出符合条件的所有整数 a 并求其和.

【解答】

解不等式

? ?

x

?1

?

1?

x

?2 3

??5x ? 2 ? x ?

?x a得????x

? ?

5 a

? 4

2

,则 ,由于不等式有四个整数解,根据题意,

0 ? a ? 2 ? 1,解得 ? 2 ? a ? 2 。解分式方程 y ? a ? 2a ? 2 y ? 2 ? a

4

y ?1 1? y 得

,又需排除分式方程无解的

a?2 a ?1

? 2 ? a ? 2且a ? 1

情况,故 且 .结合不等式组的结果有 a 的取值范围为

,又 a 为整数,所以

? 1,0,2

a 的取值为

,和为 1.故选 C

【点评】此题考查不等式组和分式方程的应用,需要特别注意分式方程无解情况的考虑,属于中档题

6.(2018·浙江省台州·8 分)解不等式组:

【分析】根据不等式组的解集的表示方法:大小小大中间找,可得答案. 【解答】解:

解不等式①,得 x<4, 解不等式②,得 x>3, 不等式①,不等式②的解集在数轴上表示,如图



原不等式组的解集为 3<x<4.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组,利用不等式组的解集的表示方法是解题关键.

7. (2018·广西梧州·8 分)解不等式组

,并求出它的整数解,再化简代数式

?( ﹣

),从上述整数解中选择一个合适的数,求此代数式的值.

【分析】先解不等式组求得 x 的整数解,再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,最后选取使 分式有意义的 x 的值代入计算可得. 【解答】解:解不等式 3x﹣6≤x,得:x≤3,

解不等式

< ,得:x>0,

则不等式组的解集为 0<x≤3, 所以不等式组的整数解为 1.2.3,

原式=

?[



]

=

?

=,
∵x≠±3.1, ∴x=2, 则原式=1. 【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法,正确进行分式的混合运算是解题关键.

8. (2018?广西桂林?6 分)解不等式

,并把它的解集在数轴上表示出来.

【答案】x<2,图见解析.

【解析】分析:先去分母,再去括,移项,合并同类项,把 x 的系数化为 1,并在数轴上表示出来即

可.

详解:去分母得,5x-1<3(x+1),

去括得,5x-1<3x+3,

移项得,5x-3x<3+1,

合并同类项得,2x<4,

把 x 的系数化为 1 得,x<2.

在数轴上表示为:



点睛:本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键.

9 (2018·湖北省宜昌·6 分)解不等式组

,并把它的解集在数轴上表示出来.

【分析】解一元一次不等式组的方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共 部分;并把它的解集在数轴上表示出来即可.

【解答】解:
解不等式①,得:x≥1; 解不等式②,得:x<2; ∴原不等式组的解集是 1≤x<2.
. 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确方法与 步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分. 10. (2018·云南省昆明·8 分)(列方程(组)及不等式解应用题) 水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水,相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居 民每户每月用水量不超过 10 立方米,每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水 价=基本水价+污水处理费);若每户每月用水量超过 10 立方米,则超过部分每立方米在基本水价基 础上加价 100%,每立方米污水处理费不变.甲用户 4 月份用水 8 立方米,缴水费 27.6 元;乙用户 4 月份用水 12 立方米,缴水费 46.3 元.(注:污水处理的立方数=实际生活用水的立方数) (1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元? (2)如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元,该用户 7 月份最多可用水多少立方米? 【分析】(1)设每立方米的基本水价是 x 元,每立方米的污水处理费是 y 元,然后根据等量关系即 可列出方程求出答案. (2)设该用户 7 月份可用水 t 立方米(t>10),根据题意列出不等式即可求出答案. 【解答】解:(1)设每立方米的基本水价是 x 元,每立方米的污水处理费是 y 元
解得:
答:每立方米的基本水价是 2.45 元,每立方米的污水处理费是 1 元. (2)设该用户 7 月份可用水 t 立方米(t>10) 10×2.45+(t﹣10)×4.9+t≤64 解得:t≤15 答:如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元,该用户 7 月份最多可用水 15 立方米 【点评】本题考查学生的应用能力,解题的关键是根据题意列出方程和不等式,本题属于中等题型. 11. (2018·湖南省常德·7 分)某水果店 5 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元,其中甲种水 果 8 元/千克,乙种水果 18 元/千克.6 月份,这两种水果的进价上调为:甲种水果 10 元千克,乙种 水果 20 元/千克. (1)若该店 6 月份购进这两种水果的数量与 5 月份都相同,将多支付货款 300 元,求该店 5 月份购

进甲、乙两种水果分别是多少千克? (2)若 6 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克,且甲种水果不超过乙种水果的 3 倍,则 6 月 份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元? 【分析】(1)设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克,购进乙种水果 y 千克,根据总价=单价×购进数量, 即可得出关于 x、y 的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设购进甲种水果 a 千克,需要支付的货款为 w 元,则购进乙种水果(120﹣a)千克,根据总价= 单价×购进数量,即可得出 w 关于 a 的函数关系式,由甲种水果不超过乙种水果的 3 倍,即可得出关 于 a 的一元一次不等式,解之即可得出 a 的取值范围,再利用一次函数的性质即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克,购进乙种水果 y 千克,

根据题意得:



解得:



答:该店 5 月份购进甲种水果 190 千克,购进乙种水果 10 千克.

(2)设购进甲种水果 a 千克,需要支付的货款为 w 元,则购进乙种水果(120﹣a)千克,

根据题意得:w=10a+20(120﹣a)=﹣10a+2400.

∵甲种水果不超过乙种水果的 3 倍,

∴a≤3(120﹣a),

解得:a≤90.

∵k=﹣10<0,

∴w 随 a 值的增大而减小,

∴当 a=90 时,w 取最小值,最小值﹣10×90+2400=1500.

∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是 1500 元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关

键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,找出 w 关于 a

的函数关系式.

12. (2018·云南省·8 分)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,

他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发 A,B 两种商品,为科学决策,他们试生产 A.B 两种商品

100 千克进行深入研究,已知现有甲种原料 293 千克,乙种原料 314 千克,生产 1 千克 A 商品,1 千

克 B 商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示.

甲种原料(单位:千克) 乙种原料(单位:千克) 生产成本(单位:元)

A 商品

3

2

120

B 商品

2.5

3.5

200

设生产 A 种商品 x 千克,生产 A.B 两种商品共 100 千克的总成本为 y 元,根据上述信息,解答下列问

题:

(1)求 y 与 x 的函数解析式(也称关系式),并直接写出 x 的取值范围;

(2)x 取何值时,总成本 y 最小?

【分析】(1)根据题意表示出两种商品需要的成本,再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案; (2)利用一次函数增减性进而得出答案. 【解答】解:(1)由题意可得:y=120x+200(100﹣x)=﹣80x+20000,


解得:72≤x≤86; (2)∵y=﹣80x+20000, ∴y 随 x 的增大而减小, ∴x=86 时,y 最小, 则 y=﹣80×86+20000=13120(元). 【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的应用,正确利用表格获得正确信息是解题关键.

13. (2018·湖北省武汉·8 分)用 1 块 A 型钢板可制成 2 块 C 型钢板和 1 块 D 型钢板;用 1 块 B 型 钢板可制成 1 块 C 型钢板和 3 块 D 型钢板.现准备购买 A、B 型钢板共 100 块,并全部加工成 C、D 型 钢板.要求 C 型钢板不少于 120 块,D 型钢板不少于 250 块,设购买 A 型钢板 x 块(x 为整数) (1)求 A、B 型钢板的购买方案共有多少种? (2)出售 C 型钢板每块利润为 100 元,D 型钢板每块利润为 120 元.若童威将 C、D 型钢板全部出售, 请你设计获利最大的购买方案. 【分析】(1)根据“C 型钢板不少于 120 块,D 型钢板不少于 250 块”建立不等式组,即可得出结论; (2)先建立总利润和 x 的关系,即可得出结论. 【解答】解:设购买 A 型钢板 x 块,则购买 B 型钢板(100﹣x)块,

根据题意得,



解得,20≤x≤25, ∵x 为整数, ∴x=20,21,22,23,24,25 共 6 种方案, 即:A、B 型钢板的购买方案共有 6 种; (2)设总利润为 w,根据题意得, w=100(2x+100﹣x)+120(x+300﹣3x)=100x+10000﹣240x+36000=﹣14x+46000, ∵﹣14<0, ∴当 x=20 时,wmax=﹣14×20+46000=45740 元, 即:购买 A 型钢板 20 块,B 型钢板 80 块时,获得的利润最大. 【点评】此题主要考查了二元一次不等式组的应用,一次函数的性质,根据题意得出正确的等量关系 是解题关键. 14. (2018·广东广州·12 分)友谊商店 A 型笔记本电脑的售价是 a 元/台,最近,该商店对 A 型笔 记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案,方案一:每台按售价的九折销售,方案二:若购买不超过 5 台,每台按售价销售,若超过 5 台,超过的部分每台按售价的八折销售,某公司一次性从友谊商店

购买 A 型笔记本电脑 x 台。 (1)当 x=8 时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少?最少费用是多少元? (2)若该公司采用方案二方案更合算,求 x 的范围。 【答案】(1)解:∵x=8, ∴方案一的费用是:0.9ax=0.9a×8=7.2a, 方案二的费用是:5a+0.8a(x-5)=5a+0.8a(8-5)=7.4a ∵a>0, ∴7.2a<7.4a ∴方案一费用最少, 答:应选择方案一,最少费用是 7.2a 元. (2)解:设方案一,二的费用分别为 W1 , W2 , 由题意可得:W1=0.9ax(x 为正整数), 当 0≤x≤5 时,W2=ax(x 为正整数), 当 x>5 时,W2=5a+(x-5)×0.8a=0.8ax+a(x 为正整数),



,其中 x 为正整数,

由题意可得,W1>W2 , ∵当 0≤x≤5 时,W2=ax>W1 , 不符合题意, ∴0.8ax+a<0.9ax, 解得 x>10 且 x 为正整数, 即该公司采用方案二购买更合算,x 的取值范围为 x>10 且 x 为正整数。 【考点】一元一次不等式的应用,一次函数的实际应用,根据实际问题列一次函数表达式 【解析】【分析】(1)根据题意,分别得出方案一的费用是:0.9ax,方案二的费用是:5a+0.8a(x-5) =a+0.8ax,再将 x=8 代入即可得出方案一费用最少以及最少费用. (2)设方案一,二的费用分别为 W1 , W2 , 根据题意,分别得出 W1=0.9ax(x 为正整数),

,其中 x 为正整数,再由 W1>W2 , 分情况解不等式即可得出 x 的取值范围.

15. (2018·重庆(A)·10 分)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽 改造。 (1) 原计划是今年 1 至 5 月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米,其中道路硬化的里程 数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍,那么,原计划今年 1 至 5 月,道路硬化和里程数至少是多少千米? (2) 到今年 5 月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是 原计划的最小值。2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米, 每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1 : 2,且里程数之比为 2 : 1,为加快美丽乡村建设, 政府决定加大投入。经测算:从今年 6 月起至年底,如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a% (a>0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础

上分别增加 a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%, 8a%,求 a 的值。 【考点】。一元一次不等式的应用,一元二次方程的应用 【解析】解: (1) 设道路硬化的里程数至少是 x 千米。
则由题意得:x≥4(50-x) 解不等式得:x≥40 答:道路硬化的里程数至少是 40 千米。

(2) 由题意得: 2017 年:道路硬化经费为:13 万/千米,里程为:30km 道路拓宽经费为:20 万/千米,里程为:15km ∴今年 6 月起: 道路硬化经费为:13(1+a%)万/千米,里程数:40(1+5a%)km 道路拓宽经费为:26(1+5a%)万/千米,里程数:10(1+8a%)km 又∵政府投入费用为:780(1+10a%)万元 ∴列方程: 13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%) 令 a%=t,方程可整理为: 13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t) 520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t) 化简得:

2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)

t(10t-1)=0

∴ t1

?

0 (舍去), t2

?

1 10

.

∴a = 10

答:a 的值为 10。

【点评】

本题考察一元一次不等式的应用,一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化,道路拓

宽的里程数及每千米需要的经费求出。

(1) 利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的 4 倍”列出不等式求解。

(2) 根据 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费,表示出 6 月起道路硬化及道路拓宽

的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。



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