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江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(二十) Word版含解析


江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十) 数学附加分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分.若 多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CA,BD 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于 点 F,连结 FD.求证:∠DEA=∠DFA.

B. (选修 4-2:矩阵与变换) 已知矩阵 M=?

?2 m?的两个特征向量 α =?1?,α =?0?,若 β=?1?,求 M2β . ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?n 1 ? ?0? ?1? ?2? ?

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) t ? ?x=1+2, 已知直线 l 的参数方程为? 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4sinθ ,试判断直线 l ? ?y=t, 与曲线 C 的位置关系.

D. (选修 4-5:不等式选讲) 1 2 3 已知正数 x,y,z 满足 x+2y+3z=1,求 + + 的最小值. x y z

【必做题】 第 22、23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束 1 时,负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙、乙胜丙的概 2 2 率都为 ,各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当裁判. 3 (1) 求第 3 局甲当裁判的概率; (2) 记前 4 局中乙当裁判的次数为 X,求 X 的概率分布与数学期望.

2 2 2 * 23. 记 f(n)=(3n+2)(C2 2+C3+C4+…+Cn)(n≥2,n∈N ).

(1) 求 f(2),f(3),f(4)的值; (2) 当 n≥2,n∈N*时,试猜想所有 f(n)的最大公约数,并证明.

(二十) 21. A. 证明:连结 AD,∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ∠ADB=90°,∴ ∠ADE=90°.(4 分) ∵ EF⊥FB,∴ ∠AFE=90°,∴ A,F,E,D 四点共圆, ∴ ∠DEA=∠DFA.(10 分) B. 解:设矩阵 M 的特征向量 α1 对应的特征值为λ 1,特征向量 α2 对应的特征值为 λ2,
? ?Mα1=λ1α 1, 则由? 可解得 m=n=0,λ 1=2,λ 2=1.(4 分) ?Mα 2=λ2α 2, ?

?1? ?1? ?0? 又 β=? ?=? ?+2? ?=α1+2α2,(6 分) ?2? ?0? ?1? ?1? ?0? ?4? 2 所以 M2β =M2(α1+2α2)=λ1 α 1+2λ2 2α 2=4? ?+2? ?=? ?.(10 分) ?0? ?1? ?2? C. 解:直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0; 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,它表示圆.(4 分) 4 4 由圆心到直线 l 的距离 d= = 5<2,得直线 l 与曲线 C 相交.(10 分) 5 5
1 2 3 1 4 9? + + (x+2y+3z) D. 解: + + =? x y z ?x 2y 3z? 2y 3z 4x 12z 9x 18y =1+4+9+ + + + + + (4 分) x x 2y 2y 3z 3z ≥14+2 2y 4x · +2 x 2y 3z 9x · +2 x 3z 12z 18y · =36, 2y 3z

?当且仅当x=y=z=1时等号成立? 6 ? ?
1 2 3 所以 + + 的最小值为 36.(10 分) x y z 1 2 22. 解:(1) 第 2 局中可能是乙当裁判,其概率为 ,也可能是丙当裁判,其概率为 , 3 3 1 1 2 1 4 所以第 3 局甲当裁判的概率为 × + × = .(4 分) 3 3 3 2 9 (2) X 可能的取值为 0,1,2.(5 分) 2 1 2 2 P(X=0)= × × = ;(6 分) 3 2 3 9 1 1 2 2 1? 2 1 2 1 1 17 × + × + × + × × = ;(7 分) P(X=1)= ×? 3 ?3 3 3 2? 3 2 3 2 3 27 1 2 1 1 1? 4 × + × = .(8 分) P(X=2)= ×? 3 ?3 2 3 3? 27 2 17 4 25 所以 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× = .(10 分) 9 27 27 27
2 2 2 3 23. 解:(1) 因为 f(n)=(3n+2)(C2 2+C3+C4+…+Cn)=(3n+2)Cn+1, 所以 f(2)=8,f(3)=44,f(4)=140.(3 分) (2) 由(1)中结论可猜想所有 f(n)的最大公约数为 4.(4 分) 下面用数学归纳法证明所有的 f(n)都能被 4 整除即可.

① 当 n=2 时,f(2)=8 能被 4 整除,结论成立;(5 分) ② 假设 n=k 时,结论成立,即 f(k)=(3k+2)C3 k+1能被 4 整除, 3 则当 n=k+1 时,f(k+1)=(3k+5)Ck+2 3 =(3k+2)C3 k+2+3Ck+2 2 2 =(3k+2)(C3 k+1+Ck+1)+(k+2)Ck+1(7 分) 2 2 =(3k+2)C3 k+1+(3k+2)Ck+1+(k+2)Ck+1 2 =(3k+2)C3 k+1+4(k+1)Ck+1, 此式也能被 4 整除,即 n=k+1 时结论也成立. 综上所述,所有 f(n)的最大公约数为 4.(10 分)



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