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七、函数奇偶性和周期性——学生版


专题复习:函数的奇偶性和周期性 一、函数的奇偶性 知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义:如果对于函数 f(x) 定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫偶函数. 如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫 奇函数. 2 奇偶函数的性质:
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(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关 于原点对称; 3 f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) ;
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若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分
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非必要条件; 4 判断函数的奇偶性的方法: (1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称 区间,则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域是关于原点的对称区间,再判断 f(-x)= -f(x)或 f(-x)=f(x)是否成 立
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判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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(2)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或 y 轴)对称. 5 设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 应用举例 1、常见函数的奇偶性: k 奇函数: y ? ax ( a 为常数) , y ? sin x , y ? tan x , y ? ( k 为常数) x
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偶函数: y ? a ( a 为常数) , a ? 0 时既为奇函数又为偶函数 , y ? cos x y ? ax2 ( a ? 0) , y ? ax2 ? c ( a ? 0) , y ? ax ( a 为常数) 非奇非偶函数: y ? kx ? b(b ? 0) , y ? ax2 ? bx ? c(b ? 0) , y ? ax ? c (c ? 0) ,
y? k (c ? 0) , y ? a x (a ? 0, a ? 1) , y ? loga x(a ? 0, a ? 1) x?c

既奇又偶函数: y ? 0 2、对奇偶性定义的理解 例 1 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通
1

过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函 数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确;若 y=f(x)既是奇函 数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,故④错误,选 A. 练习:1、 f ( x) , 是定义在 R 上的函数, ) ,则“ f ( x) ,

均为偶函数”是“ h( x) 为偶函数”的(

A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必 要的条件 2、设 f(x)=lg( )是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞) 3、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a (3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ,x∈[- 4 , 4), (5) y ? sin x ? 1 )

例 3 判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1) 解: (1)由 函数
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1? x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) ? 2 ; 1? x | x ? 2 | ?2

1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶 1? x

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2 ? ?1 ? x ? 0 (2)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) , | x ? 2 | ? 2 ? 0 ? ?

∴ f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ? , x2 ?( x 2 ? 2) ? 2

∵ f ( ? x) ? ?

lg[1 ? (? x)2 ] lg(1 ? x 2 ) ? f ( x) ? ? ( ? x) 2 x2

∴ f ( x) 为偶函数

1 ? x2 练习:1、判断函数 f ( x ) = | x ? 2 | ?2

的奇偶性

4、抽象函数奇偶性的判定与证明
2

例 4 已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,
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(1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)

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解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中,
) ( ? () f x (? f ) x? 令 y ? ?x , 得 f0 ) ( ? 0 ) (f 0 ) ( ? f , 令x? y?0, 得 f0 ) ( 0? , , ∴ f0

∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a . 例 5.设 A. 奇函数 C. 是偶函数 D. 是偶函 是 上的任意函数,下列叙述正确的是(C) B. 是

是奇函数

数 解:据奇偶函数性质:易判定 f(x)· f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数 f(x)· |f(-x)|的奇偶取决于 f(x)的性质,只有 f(x)+f(-x)是偶函数正确。 5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值 例 6、已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的表达式. 解:∵f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|, ∴当 x<0 时,f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|. 练习:已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 则 f ( x) 的解析式为
1? x ,求 1? x 1 1 1 1 f (? ) + f (? )+ f( )+ f( ) 的值 2005 2004 2004 2005 1? x ? 0 得函数的定义域是 (?1,1) 解:由 1? x 1? x 1? x ? log 2 ? log 2 1 ? 0 又 f (? x) ? f ( x) ? log 2 1? x 1? x



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例 7 已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2

? f (? x) ? ? f ( x) 成立,? 函数是奇函数
f (? 1 1 )+ f( ) =0 2005 2005 f (? 1 1 )+ f( ) =0 2004 2004
3

∴ f (?

1 1 1 1 ) + f (? )+ f( )+ f( ) =0 2005 2004 2004 2005

例 8 设函数

为奇函数,则

-1

解析:∵f(x)= , ∴f (-x)=- 又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=-f (-x). ∴ = .∴ x 2 ? (a ? 1) x ? a ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ∴a=-1. ,

练习:已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ?a ? 1,2a ?,则 a ? b= 。

6、偶函数性质 f ( x) ? f ( x ) 的应用 偶函数图象关于 y 轴对称,运用 f ( x) ? f ( x ) 可将偶函数问题转化至 ?0,??? 的范 围解决。 例 9 、 设 定 义 在 [-2,2] 上 的 偶 函 数 f ( x) 在 区 间 [0,2] 上 单 调 递 减 , 若
f (1 ? m) ? f (m) ,求实数 m 的取值范围。

解:? f ( x)是偶函数, ? f (?x) ? f ( x) ? f ( x )
? f (1 ? m) ? f (m) ? f (1 ? m ) ? f ( m )

又当 x ? ?0,2? 时, f ( x) 是减函数

1? m ? m 1 ? ? 2 ? 1 ? m ? 2 ? ?1 ? m ? 2 ?2? m? 2

{

1? ? ? m的 取 值 范 围 是 1, ? ?? 2? ?

练习:已知 f ( x) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数,若 x1 ? 0, x2 ? 0 , 且 | x1 |?| x2 | ,则
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A f (? x1 ) ? f (? x2 ) B f (? x1 ) ? f (? x2 ) C ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) D
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? f ( x1 ) ? f (? x2 )

二、函数的周期性 知识点归纳
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定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期
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一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集
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常见函数周期: ①y=sinx,最小正周期 T=2π ; ②y=cosx,最小正周期 T=2π ; ③y=tanx,最小正周期 T=π ; ④y=cotx,最小正周期 T=π . 周期函数变换后的周期 周期函数 f(x) 最小正周期为 T,则 y=Af(ω x+φ )+k 的最小正周期为 T/|ω |. 例 10 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-f(x),求证:2m 是 f(x)的一 个周期. 证明:因为 f(x+m)=-f(x) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m] =-f(x+m) =f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 练习:1 、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=f(x-m),求证:2m 是 f(x) 的一个周期

2、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有f ( x ? m) ? 1 ? f ( x) 个周期.

1 ? f ( x)

,求证:2m 是 f(x)的一

3 、设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?
f ( x) ? 2 x ,则 f (113.5) 的值为(

1 ,且当 x ? ?? 3,?2? 时, f ( x)

)

2 2 1 1 B. C. ? D. 7 5 5 7 三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用 例11 已知 f ( x ) 是偶函数,而且在 (-∞ , 0 ) 上是增函数,问 f ( x ) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上是增函数还是减函数? 解:设 0 < x 1 <x 2 < + ∞则 - ∞ < -x 2 <-x 1 < 0 ∵ f ( x ) 在 (-∞ , 0 ) 上是增函数 ∴ f (-x 2 ) < f ( -x 1 ) ∵ f ( x ) 是偶函数 ∴ f ( x 2 ) < f ( x1 ) 故 f ( x ) 在( 0 ,+ ∞ ) 上是减函数

A. ?

5

知识点:偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上对称性相同 例12 函数 y ? f ( x)(x ? 0) 是奇函数,且当 x ? ?0,??? 时是增函数,若 f (1) ? 0 ,
1 求不等式 f [ x( x ? )] ? 0 的解集 2 1 解: f (1) ? 0 ? f [ x( x ? )] ? f (1) 2

1 1 1 ? 17 1 ? 17 ? 0 ? x( x ? ) ? 1 ? ? x ? 或 ?x?0 2 2 4 4

又函数 y ? f ( x)(x ? 0) 是奇函数,它在对称区间上的单调性相同且
f (?1) ? ? f (1) ? 0
1 ? f [ x( x ? )] ? f (?1) 2 1 ? x( x ? ) ? ?1 ? ? 2

? 原不等式的解集是 {x /

1 1 ? 17 1 ? 17 ?x? 或 ? x ? 0} 2 4 4

例13、 已知 f ( x) 是周期为4的偶函数, 当 x ? ?2,3? 时,f ( x) ? x , 求 f (6.5), f (?1.5) ,
f (5.5)

解: f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 4) ? f ( x)
f (6.5) ? f (4 ? 2.5) ? f (2.5) ? 2.5 f (?1.5) ? f (?1.5 ? 4) ? f (2.5) ? 2.5 f (5.5) ? f (5.5 ? 4 ? f (1.5) ? f (?1.5) ? f (?1.5 ? 4) ? f (2.5) ? 2.5

例 14、

是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且

,则方程 f(x)=0 在

区间(0,6)内解的个数的最小值是 D A.2 B.3 C.4 D.5 解析:依题可知 f(x)=f(x+3).f(2)=f(5)=0. 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴f(-2)=-f(2)=0.∴f(-2)=f(1)=f(4)=0. 又∵奇函数有 f(0)=0,∴f(3)=f(6)=0. ∴在(0,b)内 f(x)=0 解的个数最小值为 5. 练习:1、已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶 函数,则( ) A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
6

2、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 3、若函数 使得 A. 是定义在 R 上的偶函数,在 的 x 的取值范围是 B. C. ( 上是减函数,且 ) D. (-2,2)

) ,则

4、设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= , f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5) 等于( ) A.0 B.1 C. D.5

函数周期性与奇偶性练习题
基础热身
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A.y=-x3,x∈R B.y=sin2x,x∈R 1?x C.y=2x,x∈R D.y=-? ?3? ,x∈R 2x a -1 2.函数 f(x)= x (a>0,a≠1)的图象( ) a A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 3.[2012· 哈尔滨师范大学附中月考] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)= 2 2x -x,则 f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.[2012· 上海卷] 已知 y=f(x)是奇函数,若 g(x) =f(x)+2 且 g(1)=1,则 g(-1)= ________.

能力提升
13? 5.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= x,则 f? ?- 4 ?=( A. ) 3 3 B.- 2 2 1 1 C. D.- 2 2 6. [2012· 长春外国语学校月考] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(x+2)=-f(x), 若 f(1)=1,则 f(3)-f(4)=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 |x-2|+a a 7.[2013· 保定摸底] 若函数 f(x)= ) 2 的图象关于原点对称,则 f2=( 4-x 3 3 A. B.- C.1 D.-1 3 3 8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是一个减函数,若 x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0, 则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.以上都有可能 9.[2013· 银川一中月考] 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+1)+f(x)=3,当
7

x∈[0,1]时,f(x)=2-x,则 f(-2 005.5)=________. 10.[2013· 南昌一中、十中联考] 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,正确 结论的序号是________. f(x) ①f(-x)+f(x)=0;②f(-x)-f(x)=-2f(x);③f(x)f(-x)≤0;④ =-1. f(-x) 2 ? ?x -2x,x≥0, 11.[2012· 南京三模] 若函数 f(x)=? 2 是奇函数,则满足 f(x)>a 的 x 的取 ?-x +ax,x<0 ? 值范围是________. 2 7 12.(13 分)[2012· 衡水中学一调] 已知函数 f(x)=xm- 且 f(4)= . x 2 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

难点突破
-2x+b 13.(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

8



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