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北京市东城区2011-2012学年度高三第一学期期末理科数学试题及答案


北京市东城区 2011-2012 学年度高三数第一学期期末教学统一检测 数学(理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
求的一项。 (1)已知集合 A ? x x ? 0 , B ? ?0,1,2?,则 (A) A ? B (B) B ? A

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

?

?

(C) A ? B ? B

(D) A ? B ? ?

(2)在复平面内,复数 (A)第一象限

1 ? 2i 对应的点位于 ?i
(C) 第三象限 (D) 第四象限

(B) 第二象限

(3)下列命题中正确的是 (A)如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行 (B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 (C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面 (D)如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面

(4)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中△ABC 是边长 为 2 的正三角形,俯视图的边界为正六边形,那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 (A)

1 2

(B) 1

(C)

3 2
2 2

(D) 2

(5) 在平面直角坐标系内, 若曲线 C :x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0
2

上所有的点均在第二象限内,则实数 a 的取值范围为 (A) ?? ?,?2? (B) ?? ?,?1? (C) ?1,??? (D) ?2,???

(6)如图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( x ? R, ? ? 0) 的图象的最高点, M , N 是 该图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为

-1-

(A)

? 8

(B)

? 4

(C) 4

(D) 8

(7)对于函数 f ( x) lg x ? 2 ?1 ,有如下三个命题: ? ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f (x) 在区间 (?? , 2) 上是减函数,在区间 ?2 , ? ?? 上是增函数; ③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ?2 , ? ?? 上是增函数. 其中正确命题的序号是 (A)①② (B)①③

(C)②③

(D)①②③

(8)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的定义域为 ?a, b? ( a ? b) ,值域为 ?1, 5? ,则在平面直角坐标系 内,点 ( a, b) 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2

-2-

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知 sin ? ? 2 cos ? ,那么 tan 2? 的值为 . .

(10)若非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为 (11)已知函数 f ( x) ? ?

? sin ?x, x ? 0, 5 那么 f ( ) 的值为 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,



(12)在等差数列 ?an ? 中,若 a5 ? a7 ? 4 , a6 ? a8 ? ?2 ,则数列 ?an ? 的公差等于 其前 n 项和 S n 的最大值为 .

; y B F O x

x2 y 2 (13)如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦点为 F , A a b
上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 90 ,则该椭圆的离心率是
?

.

(14)已知不等式 xy ≤ ax ? 2y ,若对任意 x ? ?1, 2?且 y ? ?2 , 3?,该不等式恒成立,则实
2 2

数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分)

C b 已知△ ABC 中, A ,B , 的对边分别为 a , ,c , 角 且 3s n i

Bo? cs

1B ? ,b ? 1 .

5? ,求 c ; 12 (Ⅱ)若 a ? 2c ,求△ ABC 的面积.
(Ⅰ)若 A ?

(16) (本小题共 13 分) 在等差数列 ?an ? 中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ? ??? ? . ≤ 3 S1 S 2 Sn 3

-3-

(17) (本小题共 14 分)
? 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的

中点, PA ? PD ? AD ? 2 . (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PQB ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值, 使 PA // 平面 MQB ;

P M

D Q A

C

(Ⅲ)若 PA // 平面 MQB ,平面 PAD ? 平面 ABCD , 求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

B

(18) (本小题共 13 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? 2ax ? 3x ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)求证:函数 f (x) 在区间 ( ??, 0) 上是增函数; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?(x)( x ??0,1?) 在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

(19) (本小题共 13 分)

已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标 a2 b2

原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心(垂心:三角形三 边高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

-4-

(20)(本小题共 14 分) 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合: 对任意 f ( x) ? M , ①方程 f ( x) ? x ? 0 有 实数根;②函数 f (x) 的导数 f ?(x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 . (Ⅰ)判断函数 f ( x) ?

x sin x ? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 4

(Ⅱ)集合 M 中的元素 f (x) 具有下面的性质:若 f (x) 的定义域为 D ,则对于任意

?m, n? ? D ,都存在 x0 ? ?m , n?,使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ?( x0 ) 成立.试用
这一性质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根; (Ⅲ)对任意 f ( x) ? M ,且 x ? ?a ,b ? ,求证:对于 f ( x ) 定义域中任意的 x1 , x2 , x3 ,当

x2 ? x1 ? 1,且 x3 ? x1 ? 1 时, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 2 .

-5-

东城区 2011-2012 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)A (6)B (3)D (7)A (4)C (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?

4 3
57

(10) 30

?

(11) ?

1 2

(12) ? 3

(13)

5 ?1 2

(14) a ≥ ? 1

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由已知 3 sin B ? cos B ? 1 , 整理得 sin( B ?

? 1 )? . 6 2

………………2 分

因为 0 ? B ? ? , 所以 ? 故B ? 由A?

? ? 5 ? B? ? ?. 6 6 6
? ? ? ? ,解得 B ? . 3 6 6 5? ? ,且 A ? B ? C ? ? ,得 C ? . 12 4
……………4 分



c b ? ,即 sin C sin B

c ? sin 4

?

1 ? sin 3



解得 c ?

6 . 3
? , 3

………………7 分

2 2 2 (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2ac cos B ,又 a ? 2c,B ?

所以 b ? 4c ? c ? 4c ?
2 2 2 2

1 ,解得 b ? 3c . 2

………………10 分

由此得 a ? b ? c ,故△ ABC 为直角三角形, A ?
2 2 2

? 1 ,c ? . 2 3

-6-

其面积 S ? (16) (共 13 分)

1 3 . bc ? 2 6

………………13 分

解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . , 故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ)因为 S n ? 所以 , bn ? 3n?1 . ……………6 分

n(3 ? 3n) , 2
………9 分

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ). S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1



1 1 1 2? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) S1 S2 Sn 3 ? 2 2 3 3 4 n n ?1 ? ?
2 1 (1 ? ). 3 n ?1
………11 分

?

1 1 1 1 ? 1, ≤ ,于是 ≤ 1 ? n ?1 2 2 n ?1 1 2 1 2 )? . 所以 ≤ (1 ? 3 3 n ?1 3
因为 n ≥ 1 ,所以 0 ? 即

1 1 1 1 2 ≤ ? ??? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

……………13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)连接 BD . 因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,
?

所以△ ABD 为正三角形.又 Q 为 AD 中点, 所以 AD ? BQ . 因为 PA ? PD , Q 为 AD 的中点,

-7-

所以 AD ? PQ . 又 BQ ? PQ ? Q , 所以 AD ? 平面 PQB . (Ⅱ)当 t ? ………………4 分
P M

1 时, PA ∥平面 MQB . 3

下面证明: 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . 因为 AQ ∥ BC , 所以
D Q A N

C B

AN AQ 1 ? ? . NC BC 2

因为 PA ∥平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 MQB ? 平面 PAC ? MN , 所以 MN ∥ PA .

PM AN 1 ? ? . MC NC 2 1 1 所以 PM ? PC ,即 t ? . 3 3 1 因为 PM ? PC , 3 PM 1 ? . 所以 MC 2 PM AN 1 ? ? , 所以 MC NC 2 所以 MN ∥ PA .
所以 又 MN ? 平面 MQB , PA ? 平面 MQB , 所以 PA ∥平面 MQB . (Ⅲ)因为 PQ ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD , 所以 PQ ? 平面 ABCD . 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 所在的直 线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Q ? xyz . 由 PA = PD = AD =2, …………9 分

z P M

D Q A x N B y

C

-8-

则有 A(1,0,0) , B(0, 3,0) , P(0,0, 3) . 设平面 MQB 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 由 PA ? (1,0,? 3) , QB ? (0, 3,0) 且 n ? PA , n ? QB , 可得 ?

??? ?

??? ?

? x ? 3 z ? 0, ? 3 y ? 0.

令 z ? 1, 得 x ?

3,y ? 0 .

所以 n = ( 3,0,1) 为平面 MQB 的一个法向量. 取平面 ABCD 的法向量 m = (0,0,1) , 则 cos m,n ?

1 1 m?n ? , ? m n 2 ?1 2
…………14 分

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°.

(18) (共 13 分) 证明: (Ⅰ) f ?( x) ? 6ax ? 6x ? 6x(ax ? 1) .
2

因为 a ? 0 且 x ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f (x) 在区间 ?? ?,0? 上是增函数. (Ⅱ)由题意 g ( x) ? 2ax ? (6a ? 3) x ? 6x, x ??0,1? .
3 2
2 2 则 g ?( x) ? 6ax ? 2(6a ? 3) x ? 6 ? 6 ? ax ? (2a ? 1) x ? 1? . ? ?

…………6 分

…………8 分

令 g ?( x) ? 0 ,即 ax ? (2a ?1) x ?1 ? 0 . ①
2

由于 ? ? 4a ? 1 ? 0 ,可设方程①的两个根为 x1 , x2 ,
2

由①得 x1 x 2 ? ?

1 , a

由于 a ? 0, 所以 x1 x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 ,

g ?( x) ? 6a( x ? x1 )( x ? x2 ) .
-9-

当 0 ? x2 ? 1 时, g ( x2 ) 为极小值, 所以在区间 ?0,1? 上, g ( x) 在 x ? 0 或 x ? 1 处取得最大值; 当 x2 ≥ 1 时,由于 g (x) 在区间 ?0,1? 上是单调递减函数,所以最大值为 g (0) , 综上,函数 g (x) 只能在 x ? 0 或 x ? 1 处取得最大值. 又已知 g (x) 在 x ? 0 处取得最大值,所以 g (0) ≥ g (1) , 即 0 ≥ 8a ? 9 ,解得 a ≤ 所以 a ?( 0 , …………10 分

9 ,又因为 a ? 0 , 8
………13 分

9 ] . 8

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形,得 b ? 1 , a ? 故椭圆方程为

2b ? 2 ,
…………5 分

x2 ? y2 ? 1. 2

(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心, 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 M (0,1) , F (1,0) ,故 k PQ ? 1 . 于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m , …………7 分

由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,
2

4m 2m 2 ? 2 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 , 且 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? . 3 3

……9 分

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1, y1 ?1), FQ ? ( x2 ?1, y2 ) , 故 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 , 得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 . 即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m ? m ? 0 .
2

????

???? ?

- 10 -

整理得 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3
4 或 m ? 1. 3
…………12 分

解得 m ? ?

经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? . 3 3
…………13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为①当 x ? 0 时, f (0) ? 0 , 所以方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根 0; ② f ?( x ) ?

1 1 ? cos x , 2 4

所以 f ?(x) ? ? , ? ,满足条件 0 ? f ?( x) ? 1 ; 4 4 由①②,函数 f ( x) ?

?1 3? ? ?

x sin x ? 是集合 M 中的元素. 2 4

…………5 分

(Ⅱ)假设方程 f ( x) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则 f (? ) ? ? ? 0 , f ( β ) ? β ? 0 . 不妨设 ? ? ? ,根据题意存在 c ? (? , ? ) , 满足 f ( β ) ? f (α) ? ( β ? α) f ?(c) . 因为 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? ,且 ? ? ? ,所以 f ?(c) ? 1 . 与已知 0 ? f ?( x) ? 1 矛盾.又 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根. (Ⅲ)当 x 2 ? x3 时,结论显然成立; 当 x 2 ? x3 ,不妨设 a ? x2 ? x3 ? b . 因为 x ? ? a , b? ,且 f ?( x) ? 0, 所以 f (x) 为增函数,那么 f ( x2 ) ? f ( x3 ) . 又因为 f ?( x) ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x) ? x 为减函数, …………10 分

- 11 -

所以 f ( x2 ) ? x2 ? f ( x3 ) ? x3 . 所以 0 ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 ,即 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 . 因为 x2 ? x1 ? 1 ,所以 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , (1) 又因为 x3 ? x1 ? 1 ,所以 ?1 ? x3 ? x1 ? 1 , (2) (1) ? (2)得 ? 2 ? x2 ? x3 ? 2 即 x3 ? x2 ? 2 . 所以 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 ? 2 . 综上,对于任意符合条件的 x1 , x2 , x3 总有 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 2 成立.……14 分

- 12 -



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