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陕西省西安交通大学苏州附属中学2015届高三期中模拟考试数学试卷

2015 届高三数学期中模拟考试试卷 数学
1.函数 f(x)=lnx+ 1-x的定义域为 . . .

2.已知复数 z1=-2+i, z2=a+2i(i 为虚数单位, a∈R). 若 z1z2 为实数, 则 a 的值为 3.若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ( 0 ? ? ?

π π )的图象关于直线 x ? 对称,则 θ ? 2 6

a1 4.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1,a3,a7 成等比数列,则 d 的值为 5.若 log a 12 ? 1 ,则 a 的取值范围是 a ?1
2

y


O π 6 -2
2

6.已知集函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的 π 图象如下图所示,则 f(3)= .

· 11π x 12

7.已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x ? ax ? 1 . (第 6 题图) 若 f ( x) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 . .

8.已知正实数 x, y 满足 ( x ? 1)( y ? 1) ? 16 ,则 x ? y 的最小值为 9.函数 y ? ex ? ln x 的值域为 .

10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的解集为



2π → 1 → 1 → → → → → 11.已知| OA |=1,| OB |=2,∠AOB= 3 , OC =2 OA +4 OB ,则 OA 与 OC 的夹角大 小为 .

12.设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,且 bi ? ai2 (i ?1 ,2,3) ,则 数列{bn}的公比为 .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a >0 时,实数 b 的最小值是 . 14.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数)的导函数为 f′(x).对任意 x∈R,不等式 f(x) b2 ≥f′(x)恒成立,则a2+c2的最大值为 15.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . (1)若 a ? b ,求

? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

sin ? ? cos? 的值; sin ? ? cos?

1 16.在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . (1)求角 A 的大 2 小;
(2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.

17. 设数列{a }的前 n 项和为 S ,点 ( n, n ) (n∈N*)均在函数 y=3x-2 的图象上.(1)求数列{a } n n n n 的通项公式; (2)设 bn ?

S

m 3 ,T 是数列{b }的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有都成立的最小正整数 m n n 20 an an?1

该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心 18. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示), 圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧 所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 x 的函数关系式; 元/米,弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 x 为何值时, y 取得最大值?

?
O (第 18 题图)

19.设数列{an}的首项不为零,前 n 项和为 Sn,且对任意的 r,t ? N*,都有

Sr ? r St t

(1)求 ? ?.
2

数列{an}的通项公式(用 a1 表示) ; (2)设 a1=1,b1=3, bn ? Sbn?1 n ≥ 2 , n ? N* ,求证:数 列 ?log3 bn ? 为等比数列; (3)在(2)的条件下,求 Tn ? ?
k ?2 n

?

?

bk ?1 . bk ? 1

5 20. 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . (1)当 a ? ?2 时, 2 求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使 得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立,求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,
在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 B 处作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不 存在,请说明理由.

1.(0,1]

2 .4

3.

? 3

4. 2

5.

? 4 ,+??

6. 1

7.

? 2, ?? ?

8. 8

9.

+? ? ? 2,
10. -?,2+1?

?

?

11. 60°

12. 3 ? 2 2

13. ?1

14. 2 2-2

15. (1) 由 a ? b 可知,a ? b ? 2 cos ? ? sin ? ? 0 , 所以 sin ? ? 2 cos ? , …………………………… 2分 所 以

s ?? s ??

?

? ?

i ? ? . ……………………………………………………6 分 i ?

(2)由 a ? b ? (cos? ? 2,sin ? ? 1) 可得,

a ? b ? (cos? ? 2)2 ? (sin? ? 1)2 ? 6 ? 4cos? ? 2sin ? ? 2 ,
即 ①
1 ? 2 cos ? ? sin ? ? 0



……………………………………………………………10 分
? 又 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 , 且? ?( 0 , ) 2
3 ? sin ? ? ? ? 5 ②, 由①②可解得,? , ………………… ?cos ? ? 4 ? 5 ?

12 分

s

所 ? ?? 4


2



i 14 分 ? ……………………………

2

?

2

1 1 16.解: (1)由 a cos C ? c ? b 及正弦定理得: sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2 1 又 sin B ? sin ? A ? C ? 所以 sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? sin C 2 1 即 sin A cos C ? cos A sin C ? sin A cos C ? sin C 2 1 ? cos A sin C ? sin C 2 1 又 sin C ? 0 所以 cos A ? 2
又0 ? A ?? 所以 A ?
2 2

?

3
2

(2)由余弦定理可得: a ? b ? c ? 2bc cos A

? a ? 15, b ? 4
即: c ? 4c ? 1 ? 0
2

?1 5? 1 ? 6 c 2 ? ?2 ? 4 c?
所以 c ? 2 ? 3

1 2

17. 点(n,Sn/n),(n∈N+)均在函数 y=3x-2 的图像上。所以 ∴Sn= 3n 2 -2n 当 n=1 时,a1=S1=3-2=1 当 n≥2 时,an=Sn-S(n-1) =( 3n 2 -2n)-[ 3(n ? 1)2 -2(n-1)] =6n-5 上式对 n=1 也成立 ∴an=6n-5

sn ? 3n-2 n

(2) bn ?

3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? an an?1 ? 6n ? 5?? 6n ? 1? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1? ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ∴Tn=b1+b2+b3+....+bn= ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 13 19 ? ? 6n ? 5 6n ? 1 ? ?
1? 1 ? = ?1 ? ? 2 ? 6n ? 1 ?



1 ?0 6n ? 1

∴1 ?

1 ?1 6n ? 1

那么 Tn ?

1 2

∵Tn<

m 对所有 n∈N+都成立 20



1 m ? 2 20

所以 m ? 10

符合条件的最小正整数 m=10
18(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所 以

??

1 ? x 0 ,………………………………………………………………………………4 分 10 ? x (2) 花 坛 的 面 积 为

1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) .………………7 分 2 装 饰 总 费 用
9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10x ,



………………………………………9 分 总 费 用 的 比

所 以 花 坛 的 面 积 与 装 饰 2 ? x ? 5 x ? 50 x ? 5 x ? 50 y= =? , …………………11 分 170 ? 10 x 10(17 ? x)
2

39 1 324 3 12 当且仅当 t=18 时取等号, 此时 x ? 1,? ? . ? (t ? )≤ , 10 10 t 10 11 答: 当 x ? 1 时, 花坛的面积与装饰总费用的比最大. ………………………………………… 14 分 2 S S 19.【解】 (1)因为 a1 ? S1 ? 0 ,令 t ? 1 , r ? n ,则 r ? r ,得 n ? n2 ,即 Sn ? a1n 2 .… St t S1
令 t ? 17 ? x , 则y?

??

2分 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? a1 (2n ? 1) ,且当 n ? 1 时,此式也成立. 故数列{an}的通项公式为 an ? a1 (2n ? 1) . 5分 (2)当 a1 ? 1 时,由(1)知 an ? a1 (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,Sn=n2. 依题意,n ≥ 2 时,bn ? Sbn?1 ? bn?12 , 7分
n ? N) ,且 log3 b1 ? 1 , 于是 log3 bn ? log3 bn?12 ? 2log3 bn?1 (n ≥ 2,

……………

………

故数列 ?log3 bn ? 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列. 10 分 (3)由(2)得 log3 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 bn ? 32 (n ? N* ) . 12 分
n?1

……………

………

32 ? 1 ? 1 2k ?2 bk ?1 3 于是 ? ? ? 1 ? 1 . bk ? 1 32k ?1 ? 1 32k ?2 +1 32k ?2 ? 1 32k ?2 ? 1 32k ?1 ? 1

?

?

k ?2

??

?

?

………

15 分 所以 Tn ? ?
k ?2 n n bk ?1 ? ? 2k ?1 ? 1 ?1? 1 . bk ? 1 k ? 2 3 2 ? 1 32k ?1 ? 1 2 3 2n?1 ? 1 a ? ?2 20.(1) 当

?

?

……… 16 时 ,



f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .

………………………………………2 分

1 1 令 f ?(x)<0, 解得 ?2 ? x ? , 所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) .………………………… 3 3
4分
2 ?3 x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? 2 (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

5 有 唯 一 2 x03 ? x02 ? x0 ? b ? 0 2 解.……………………………………………………………6 分 5 令 g ( x) ? 2x3 ? x2 ? x ,则 g ?( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所 以 g ( x) 在 区 间 (??, ? ) , (? , ??) 上 是 增 函 数 , 在 (? , ? ) 上 是 减 函 2 3 2 3 数,……………8 分 1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g ( ? ) ? ? , 2 8 3 54 b 故 实 数 的 取 值 范 围 是 7 1 (??, ? ) ? (? , ??) . ……………………………………………10 分 54 8 (3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 与 曲 线 C : y ? f ( x) 联 立 方 程 组 , 得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 即


5 ( x ? x0 )2 [ x ? (2 x0 ? )] , 2 所 以 点 的 横 坐 标 B 5 xB ? ?(2 x0 ? ) . …………………………………………………………12 分 2 5 25 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2x0 ? ) ? 12x02 ? 20x0 ? ?a, 2 4

25 ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ? , 4 0 , ?4 ? ? ? ? ??4 所 以 解 得 ? 25 ( ? ? 1) a ? ? 0. ? ? 4
若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12x02 ? 20x0 ?



25 . ………………………………………………15 分 12 25 25 故a? 时, 存在常数 ? ? 4 , 使 k2 ? 4k1 ;a ? 时, 不存在常数 ? , 使 k2 ? ? k1 . …… 12 12 16 分 a?



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