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由三角函数图象求解析式


已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) =( 3



(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

2π 2π 2π π 7π 【解析】选 B.由图象可得最小正周期为 ,于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对 3 3 3 2 12 称,所以 f( 2π π 2 )=-f( )= . 3 2 3

如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 为( (A) )

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值 ? 3 ?

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

【解析】选 A. ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? . 3 2 6 6 已知函数 y=sin ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? ) ( ( 的图像如图所示, 则 ? =________________
【解析】由图可知,

T?

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 5 ? ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?
已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? ?? ? 12 ?



【解析】由图象知最小正周期 T= (x) =0, 2 sin(3 ? 即

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f 3 4 4 3 ? 4

?
4

?? ) =0, 可得 ? ?

?
4

, 所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

2 ? 2? , ?2) . 交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [

)的图象与 x 轴的

, ] ,求 f ( x) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 【解析】 (1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图像上得 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6
又 ? ? (0,

? ?

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? ] (2)? x ? [ , ],      2 x ? ? [ , 12 2 6 3 6
当 2x ? 即x?

?

),?? ?

?

?

? ?
6
=

?

2

,即 x ?

?

6

时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ?

?
6

?

7? 6

2

时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] w.w.w.k.s.5

把函数 y=cos(3x+ 以是( )

? )的图象适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图象,这种变动可 4
B.向左平移

A.向右平移

? 4

? 4

C.向右平移

? 12

D.向左平移

? 12

分析:三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或 图象,此题是已知变换前后的函数,求变换方式的逆向型题目,解题的思路是将异名函数化 为同名函数,且须 x 的系数相同.

? ? ? )=sin( -3x)=sin[-3(x- )] 12 4 4 ? ? ∴由 y=sin[-3(x- )]向左平移 才能得到 y=sin(-3x)的图象. 12 12
解:∵y=cos(3x+ 答案:D 4.将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移

? , 再保持图象上的纵坐标不变, 而横坐标变 3
)

为原来的 2 倍,得到的曲线与 y=sinx 的图象相同,则 y=f(x)是(

? ) 3 2? C.y=sin(2x+ ) 3
A.y=sin(2x+

B.y=sin(2x-

? ) 3 2? D.y=sin(2x- ) 3

分析:这是三角图象变换问题的又一类逆向型题,解题的思路是逆推法. 解:y=f(x)可由 y=sinx,纵坐标不变,横坐标压缩为原来的 1/2,得 y=sin2x;再沿 x 轴向左平移

? ? 2? 得 y=sin2(x+ ),即 f(x)=sin(2x+ ). 3 3 3
? 对称,则 a=–1. 8

若函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

分析:这是已知函数图象的对称轴方程,求函数解析式中参数值的一类逆向型题,解题 的关键是如何巧用对称性. 解:∵x1=0,x2=- ∴f(0)=f(-

? ) 4 ? ? 即 0+a=sin(- )+acos(- ) 2 2
∴a=-1

? ? 是定义域中关于 x=- 对称的两点 4 8

若对任意实数 a, 函数 y=5sin(

2k ? 1 ? 5 π x- )(k∈N)在区间 a, +3] [ a 上的值 出 3 4 6

现不少于 4 次且不多于 8 次,则 k 的值是( ) A.2 B.4 C.3 或 4 D.2 或 3 分析:这也是求函数解析式中参数值的逆向型题,解题的思路是:先求出与 k 相关的周 期 T 的取值范围,再求 k. 解:∵T=

2? 6 ? , (a ? 3) ? a ? 3 2k ? 1 2k ? 1 ? 3

又因每一周期内出现 期. ∴有 4T≥3 且 2T≤3

5 5 值时有 2 次,出现 4 次取 2 个周期,出现 值 8 次应有 4 个周 4 4

3 3 3 6 3 ≤T≤ ,∴ ≤ ≤ 4 2 4 2k ? 1 2 3 7 解得 ≤k≤ ,∵k∈N,∴k=2 或 3. 2 2
即得 巧求初相角 求初相角是高中数学学习中的一个难点, 怎样求初相角?初相角 有几个?下面通过错解剖析,介绍四种方法. 如图,它是函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0),| ? |< π 的图象, 由图中条件,写出该函数解析式. 错解: 由图知:A=5

T 5? 3? ? ?? ? 2 2 2 2? 2 得 T=3π ,∴ω = = T 3 2 ∴y=5sin( x+ ? ) 3
由 将(π ,0)代入该式得:5sin( 由 sin(

? 2 2? ,5)在此函数的图象上,但在 y=5sin( x- )中,令 x 3 3 4 ? ? 2? ? 2 2? = ,则 y=5sin( - )=5sin(- )=-5,由此可知:y=5sin( x- )不合题 3 3 3 4 6 2
分析:由题意可知,点( 意. 那么,问题出在哪里呢?我们知道,已知三角函数值求角,在一个周期内一般总有两个 解,只有在限定的范围内才能得出惟一解. 正解一:(单调性法) ∵点(π ,0)在递减的那段曲线上 ∴

2? 2? + ? )=0,得 + ? =kπ 3 3 2? ? =kπ - (k∈Z) 3 2? ? ∵| ? |<π ,∴ ? =- 或? = 3 3 2 2? 2 ? ∴y=5sin( x- )或 y=5sin( x+ ) 3 3 3 3

2 π + ? )=0 3

2? ? 2? + ? ∈[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z) 3 3 2

由 sin(

? (k∈Z) 3 ? ∵| ? |<π ,∴ ? = 3
∴ ? =2kπ + 正解二:(最值点法) 将最高点坐标(

2? 2? + ? )=0 得 + ? =2kπ +π 3 3

? 2 ? ,5)代入 y=5sin( x+ ? )得 5sin( + ? )=5 3 4 6 ? ? ∴ + ? =2kπ + 6 2 ? ? ∴ ? =2kπ + (k∈Z)取 ? = 3 3
正解三:(起始点法) 函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标 x 正是由ω

x+ ? =0 解得的, 故只要找出起始点横坐标 x0,就可以迅速求得角 ? .由图象求得 x0==-ω x0=-

2 ? ? (- )= . 3 2 3

x ,∴ ? 2

正解四:(平移法)

2 ? x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位,就得到本题图象,故所 3 2 2 ? 2 ? 求函数为 y=5sin (x+ ),即 y=5sin( x+ ). 3 3 2 3
由图象知,将 y=5sin( 【基础知识精讲】 1.用五点法作 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的图像时,我们采用换元法,将ω x+φ 看成 y=sinx 中的 x,模仿 y=sinx 的五点法来作.

?? ? 2 ω x1+φ =0 ? x1=- ? ,ω x2+φ = 2 ? x2= ? 3? ?? ? ?? 2? ? ? 3? 2 ω x3=π ? x3= ? ,ω x4+φ = 2 ? x4= ? ,ω x5+φ =2π ?x5= ? . ? 3? ?? ?? ? ? ?? 2? ? ? 2 2 ? ,0) ? ,A),( ? ,0).( ? ,-A).( 即五点(- ? ,0),(
?
2.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像与 y=sinx 的图像关系. (1)振幅变换 函数 y=Asinx(A>0,且 A≠1)的图像, 可以看作是 y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换, 它实质上 是纵向的伸缩. (2)周期变换 函数 y=sinω x(ω >0,且ω ≠1)的图像,可以看作是把 y=sinx 的图像上各点的横坐标

?

1
都缩短(ω >1)或伸长(0<ω <1 ) 到原来的 ? 倍(纵坐标不变)而得到的, y=sinx 的图像 由

2? 变换为 y=sinω x 的图像, 其周期由 2π 变 ? .这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸
缩. (3)相位变换 函数 y=sin(x+φ )(φ ≠0)的图像,可以看作是把 y=sinx 的图像上各点向左(φ >0)或 向右(φ <0)平移|φ |个单位而得到的.这种由 y=sinx 的图像变换为 y=sin(x+φ )的图像 的变换,使相位 x 变为 x+φ ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换. 应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由 y=sinx 的图 像得到 y=Asin(ω x+φ )+k 的图像. 事实上,设 f、t、h 分别表示相位变换,周期变换,振幅变换,则变换作图法共有以下 不同的程序. (1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f 3.y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)与振动 在物理学中,y=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0),其中 t∈[0,+∞),表示简谐振动的运动 方程.这时参数 A,ω ,φ 有如下物理意义. A 称为振幅,它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.

2? T= ? 称为周期,它表示振动一次所需的时间(亦即函数 y 的最小正周期). 1 ? f= T = 2? 称为振动的频率,它表示单位时间内往复振动的次数,ω t+φ 叫做相位,
当 t=0 时的相位,即φ 称为初相. 4.函数图像的对称变换 一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、 平移、 伸缩等)得到与其图像有关函数的图 像,叫做函数的初等变换. 前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种: (1)函数 y=-f(x)的图像与 y=f(x)的图像关于 x 轴对称. (2)函数 y=f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称. (3)函数 y=f(-x)的图像与 y=-f(x)的图像关于原点对称. -1 (4)函数 y=f (x)(或 x=f(y))的图像与 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称. 【重点难点解析】 重点:用“五点法”画函数 y=Asin(ω x+φ )的简图及三角函数的图像变换. 难点:三角函数的图像变换.即由 y=sinx 的图像变换到 y=Asin(ω x+φ )的过程. 关键:理解 A、ω 、φ 的对图像变化所起的作用.

x ? 例 1 函数 y=3cos( 2 - 4 )的图像可以由 y=sinx 的图像经过怎样的变换得到? x ? ? x ? 解:y=3cos( 2 - 4 )=3sin[ 2 +( 2 - 4 )] x ? =3sin( 2 + 4 ).

? ? 先将 y=sinx 的图像向右平移 4 个单位,得到 y1=sin(x+ 4 )的图像.再将 y1 的图像上各

x ? 点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y2=sin( 2 + 4 )的图像.再将 y2 的图像上各点的纵坐标
伸长到原来的 3 倍,就得到所求函数的图像. 评析:这种图像变换的顺序通常是先作相位变换,再作周期变换,最后作振幅变换.本

x ? 题中若将相位变换与周期变换的顺序交换,得到的结果将是 y=3sin( 2 + 8 )而不是 x ? y=3sin( 2 + 4 ). x ? 例 2 用五点法作出函数 y=4sin( 2 + 3 )在一个周期内的简图. x ? x ? 2? 解:函数 y=4sin( 2 + 3 )的振幅 A=4,周期 T=4π ,令 2 + 3 =0,得初始值 x0=- 3 (初始
值指图像由 x 轴下方向上经过 x 轴时的横截距). 列表:

x ? 2 +3
x

0

? 2 ? 3
4

π

3? 2 7? 3
-4



2? - 3
0

4? 3
0

10? 3
0

y

1 T 评注: 注意到五点的横坐标是从 x0 开始, 每次增加周期的 4 , xi=xi-1+ 4 (i=1,2,3,4) 即
可简化 x 的五个值的运算.

k ? 例 3 设三角函数 f(x)=sin( 5 x+ 3 )(k≠0).
(1)写出 f(x)的最大值 M,最小值 m 和最小正周期 T; (2)试求最小正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函 数 f(x)至少有一个值是 M,一个值是 m.

2? k 10? k 解:(1)M=1,m=-1,T= 5 = .
(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是 M 与一个值是 m,而任意两个整数间的 距离都≥1,因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值 m,必须且只须

f(x)的周期≤1,即

10? k

≤1,|k|≥10π =31.4,可见,k=32 就是这样的最小整数.

例 4 已知正弦数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的一个周期的图像如图所示,试 求函数的解析式.

分析:求函数的解析式,就是确定解析式中 A,ω ,φ 的值.由图像中三个已知点的坐

5? 标列出 A,ω ,φ 的方程组求解.若令 X=ω x+φ ,要注意 x0=- 2 是初始值,对应于 X=0,x=π 时对应于 X=π .

2 5? ∴函数解析式为 y=2sin( 3 x+ 3 ).
【难题巧解点拔】

? 例 1 指出将 y=sinx 的图像变换为 y=sin(2x+ 3 )的图像的两种方法.

? ? 思路 1 x→2x→2(x+ 6 )=2x+ 3 .
1 ? 横坐标缩短为原来的 向左平移 单位 2? ?????????? ? ?????6 ? ? ? ? 纵坐标不变 y=sinx y=sin2x y=sin

解法 1

? ? [2(x+ 6 )]=sin(2x+ 3 ). ? ? 思路 2 x→x+ 3 →2x+ 3 .

? 向左平移 单位 ?????3 ? ? ? ?
解法 2 y=sinx

1 横坐标缩短为原来的 ? ??????????2 ? ? 纵坐标不变 3 ) y=sin(x+

? y=sin(2x+ 3 ).
说明:在解法 1 中,先伸缩,后平移.在解法 2 中,先平移,后伸缩.表面上看来,两种

? ? 变换方法中的平移是不同的(即 6 和 3 ),但由于伸缩变换的影响,所以实质上都是一致的. ? 例 2 函数 f(x)的横坐标伸长到原来的两倍,再向左平移 2 个单位,所得到的曲线是
1 y= 2 sinx 的图像,试求函数 y=f(x)的解析式.
分析:这个问题有两种解法,一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换” ,即将以

1 上变换倒过来,由 y= 2 sinx 变换到 y=f(x);二是代换法,即设 y=Asin(ω x+φ ),然后按题 ? ? 1 设中的变换分两步得:y=Asin[ 2 (x+ 2 )+φ ],它就是 y= 2 sinx,即可求得 A、ω 、φ 的
值.

1 ? 1 ? 解法 1:问题即是将 y= 2 sinx 的图像先向右平移 2 个单位,得 y= 2 sin(x- 2 );再将 1 1 ? 1 横坐标压缩到原来的 2 ,得 y= 2 sin(2x- 2 ),即 y=- 2 cos2x.这就是所求函数 f(x)的解析
式. 例2 已知正弦函数 y=Asin(ω x+φ )的一段曲线(如下图),试求解析式.

2? 4? 4? 解:(1)因为 A=3,T=π ,ω =2,φ =-ω x0=-2(- 5 )= 5 ,所以 y=3sin(2x+ 5 ). ? ? 11 (2)A= 2 ,当 x=0 时, y=1,所以 2 sinφ =1,又|φ |< 2 , 所以φ = 4 ,当 x= 12 π 时, 11? ? 21 21 ? y=0,即 2 sin(ω · 12 + 4 )=0,所以ω = 11 ,所以 y= 2 sin( 11 x+ 4 ).

2? 评析:若已知曲线与 x 轴的交点的坐标,先确定ω = T ;若已知曲线与 y 轴的交点的
坐标,先确定φ ;若先确定ω 则有φ =-ω x0,其中 x0 是离 y 轴最近的递增区间的中心点的横

坐标. 1.如图,是正弦函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的一个周期的图像. (1)写出 f(x)的解析式; (2)若 g(x)与 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,写出 g(x)的解析式.

? 2.试说明 y=cosx 的图像经怎样的变换可得到 y=3cos(3x+ 2 )+1 的图像?
2? 3.已知 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π ) 的最小正周期为 3 ,最小值为-2, 5 且过点( 9 π ,0),求它的表达式.

? 1.已知 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< 2 )的图像在 y 轴上的截距为 1,它

在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π ,-2). (Ⅰ)求 f(x)的解析式;

1 (Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 3 (纵坐标不变),然后再将所得图

? 像向 x 轴正方向平移 3 个单位,得到函数 y=g(x)的图像.写出函数 y=g(x)的解析式并用列
表作图的方法画出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像. 例 2 右图为某三角函数图像的一段 y (1)试用 y=Asin(ω x+φ )型函数表示其解析式; (2)求这个函数关于直线 x=2π 对称的函数解析式. 3 13π π 解: (1)T= - =4π . 3 3 O π 3 2π 1 -3 ∴ω = = .又 A=3,由图象可知 T 2 x π 所给曲线是由 y=3sin 沿 x 轴向右平移 而得到的. 2 3 1 π ∴解析式为 y=3sin (x- ). 2 3 1 π (2)设(x,y)为 y=3sin( x- )关于直线 x=2π 对称的图像上的任意一点,则该点 2 6 1 π 关于直线 x=2π 的对称点应为(4π -x,y),故与 y=3sin( x- )关于直线 x=2π 对称的 2 6 1 π 1 π 函数解析式是 y=3sin[ (4π -x)- ]=-3sin( x+ ) . 2 6 2 6

13π 3

x

π π

点评 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象由 y=sinω x 的图象向左平移(φ >0)或向右平 |φ | 移(φ <0) 个单位.特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量.求一个函数 ω 的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时,要注意解几知识的运用. 2 2 例 1 求函数 f(x)=sin x+2sinxcosx+3cos x 的最大值,并求出此时 x 的值. 分析 由于 f(x)的表达式较复杂,需进行化简. 解 y=sin x+cos x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= π π π 当 2x+ =2kπ + , 即 x=kπ + (k∈Z)时,ymax= 4 2 8 点评 a +b
2 2 2 2

π 2 sin(2x+ )+2 4 2 +2 .

要熟练掌握 y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法, asinx+bcosx=

sin(x+φ ) . π π π 例 2 若θ ∈[- , ] ,求函数 y=cos( +θ )+sin2θ 的最小值. 12 12 4

分析 在函数表达式中, 含有两个角和两个三角函数名称, 若能化成含有一个角和一 个三角函数名称的式子,则问题可得到简化. 解 π π π π 2 y=cos( +θ )-cos[2(θ + )]=cos( +θ )-[2cos (θ + )-1] 4 4 4 4 π π π 1 π 2 2 =-2cos (θ + )+cos( +θ )+1 =-2[cos (θ + )- cos(θ + )]+1 4 4 4 2 4 π 1 2 9 =-2[cos(θ + )- ] + . 4 4 8 π π ∵θ ∈[- , ] , 12 12 π π π ∴θ + ∈[ , ] . 4 6 3

1 π 3 3 -1 ∴ ≤cos(θ + )≤ , ∴y 最小值 = . 2 4 2 2 点评(1) 三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式 (即 f(sinx)或 g(cosx)), 是常见的转化目标; 形如 y=f(sinx)或 y=g(cosx)的最值, (2) 常运用 sinx, cosx 的有界性, 2 通过换元转化成 y=at +bt+c 在某区间上的最值问题;3) ( 对于 y= Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的最值的求法,应先求出 t=ω x+φ 的值域,然后再由 y=Asint 和 y=Acost 的单调性求 出最值. 例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值. 分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示,所以令 sinx+cosx=t,则原三角函 2 数的最值问题转化成 y=at +bt+c 在某区间上的最值问题. 1 2 3 2 解 令 t=sinx+cosx,则 y=t+t +1=(t+ ) + ,且 t∈[- 2 , 2 ] , 2 4 3 ∴ymin= ,ymax=3+ 4 2 .

点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系, 运用换元法将原三角函数的最值问题转化成 2 y=at +bt+c 在某个区间上的最值问题. 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题, 往往通过需要恒等变形, 转化成形如 y=f(sinx)或 y=g(cosx) 型或 y= Asin(ω x+φ )+k 型的三角函数的最值问题,运用三角函数的有界性、单调性求三角 函数的最值. 用换元法解题, 特别要注意 sinx+tcosx 与 sinxcosx 的关系, sinx+cosx=t, 令

t -1 则 sinxcosx= . 2 y=sinxcosx+sinx+cosx,求 x∈[0, π ]时函数 y 的最大值 3

2



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