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人教版八年级上册数学优质课《完全平方公式课件PPT》


人教版 ·数学 ·八年级(上)

15.2乘法公式

人教新课标

请同学们探究下列问题:一位老人非常喜欢孩子.每 当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他 们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个 孩子,老人就给每个孩子两块塘,…(1)第一天有a 个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这 些孩子多少块糖?(3)第三天这(a+b)个孩子一起 去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多?多多少?为什么? (1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)

在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算,如何 进行这样的运算呢? 能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?

我们知道a2=a?a,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),这样 就转化成多项式与多项式的乘积了.

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像研究平方差公式一样,我们探究一下(a+b)2的运 算结果有什么规律.

计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;

(2)(m+2)2=_______;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;

(4)(m-2)2=________;
(5)(a+b)2=________;

(6)(a-b)2=________.

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m?2+2×2=m2+4m+4 (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p?(-1)+(-1)?p+(-1)×(-1) =p2-2p+1 (4)(m-2)2=(m-2)(m-2) =m2+m?(-2)+(-2)?m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 (5)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 (6)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

通过上面的研究,你能用语言叙述完全平方公式吗?

完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加(或减)它们的积的2倍 用符号怎么表述呢?
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式. 你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公 式吗?

先看图(1),可以看出大正方 形的边长是a+b.还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个矩形组成,? 所以大正方形的 面积等于这四个图形的面积之 和.阴影部分的正方形边长是a, 所以它的面积是a2; 另一个小正方形的边长是b,所以它的面积是b2;另 外两个矩形的长都是a,宽都是b,所以每个矩形的面 积都是ab;大正方形的边长是a+b,其面积是 (a+b)2.于是就可以得出:(a+b)2=a2+2ab+b2.这正 好符合完全平方公式.

如图(2)中,大正方形的边长 是a,它的面积是a2;矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形, 长都是a,宽都是b,所以它们 的面积都是a?b;正方形HCGM 的边长是b,其面积就是b2; 正方形AFME的边长是(a-b),所以它的面积是(ab)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积.? 也就是:(a-b)2=a22ab+b2.这也正好符合完全平方公式.

数学源于生活,又服务于生活,于是我们可以进一 步理解完全平方公式的结构特征.现在,大家可以 轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了.

(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab.? 于是得孩子 们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总 数多2ab块.

例3 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y1 2 ). 2

解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2?(4m)?n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2?y? + ( 2 )2 2 2

1 = y2-y + 4

例4

运用完全平方公式计算: (2) 992 .

(1) 1022 ;

解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2

= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1

= 9 801.

1、完全平方公式的内容是什么?

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2

2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是 三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平 方.而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍. 3、我们要正确理解公式中字母的广泛含义:它 可以是数字、字母或其他代数式,只要符合公 式的结构特征,就可以运用这一公式



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