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高中数学 第二章基本初等函数2.1.2指数函数及其性质(2个课时)教案 新人教A版必修1


指数函数及其性质( 个课时) 2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时)
教学目标: 一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. . ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. . ②培养学生观察问题,分析问题的能力. . 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. . 二.重、难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. . 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. . 法与教具: 三、学法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. . ②教具:多媒体. .

第一课时

一.教学设想: 教学设想 1. 情境设置 . ①在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y = 1.073x ( x ∈ x ≤ 20)与问题(2)

1 5 中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( ) 30 ]t ,请问这两个函数有什么共同特征. . 2
②这两个函数有什么共同特征

1

1 t 1 1 把P=[( )5730 ]变成P = [( ) 5730 ]t ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为 2 2
指数,即都可以用 y = a x ( a >0 且 a ≠1 来表示). . 二.讲授新课 指数函数的定义
x 一般地,函数 y = a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域

用心

爱心

专心

-1-

为 R. . 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y = 2 (4) y = π (7) y = x
x+2

(2) y = ( ?2) x (5) y = x
2

(3) y = ?2 x (6) y = 4 x
x 2

x

x

(8) y = (a ? 1)

( a >1,且 a ≠ 2 )
x

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a 是一个确 定的实数,所以函数的定义域为实数集 R. .

?当x > 0时,a x等于0 ? 若a = 0, ? x ?当x ≤ 0时,a 无意义 ?
若 a <0,如 y = ( ?2) , 先时,对于x = , x =
x

1 6

1 等等,在实数范围内的函数值不存在. . 8

x x 若 a =1, y = 1 = 1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 y = a ( a > 0, 且a ≠ 1) 的

形式才能称为指数函数, a为常数,象y=2-3 ,y=2 , y = x , y = 3
x x

1 x

x +5

, y = 3x + 1等等,不符合

y = a x (a > 0且a ≠ 1)的形式,所以不是指数函数 .
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. . 下面我们通过 先来研究 a >1 的情况 用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 y = 2 x 的图象

x
y = 2x

?3.00
1 ?8

?2.50

?2.00
1 4

?1.50

?1.00
1 2

0.00
1 y=2x

0.50

1.00
2

1.50

2.00
4

y

用心

0 -

爱心

-

-

专心

-

-

x
-2-

. 再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 y = ( ) 的图象.
x

1 2

x
1 y = ( )x 2

?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50
1 4 1 2

1

2

4

?1? y =? ? ?2?

x

y

8 6 4 2

从图中我们看出 y = 2 与y = ( ) 的图象有什么关系?
x x

通过图象看出 y = 2 与y = ( ) 的图象关于y轴对称, 实质是 y = 2 x 上的 点(-x, y )
x x

1 与y =( )x 上点(-x, y )关于y轴对称. 2 1 x x 讨论: y = 2 与y = ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? 2 1 x 1 x x x ② 利 用 电 脑 软 件 画 出 y=5 , y=3 ,y=( ) ,y =( ) 的 函 数 图 象 . x 3 5 ?1? y = 5x y =? ? ?5? y = 3x x ?1? y =? ? ?3?
0
-2 -4

-6 -8

问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. .

-

用心

0 -

-

-

-

-

x

1 2

1 2

爱心

专心

-3-

从 图 上 看 y=a ( a > 1 ) 与 y=a ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .
x x
8

y = a (0 < a < 1)
x

6

y = a x (a > 1)

4

2

0
-2 -4

-6

-8

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇 偶性. . 问题 3:指数函数 y = a x ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. .

图象特征

函数性质

a >1 0< a <1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方
函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

a >1
非奇非偶函数

0< a <1

函数的定义域为 R 函数的值域为 R
+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [ a, b]上, f (x )=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f ( a ), f (b)]或[ f (b), f ( a )]; (2)若 x ≠ 0, 则f (x) ≠ 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ∈ R; (3)对于指数函数 f ( x ) = a x ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) = a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; 例题: 例 1: 66 例 6)已知指数函数 f ( x ) = a x ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π) (P ,求

用心

爱心

专心

-4-

f (0), f (1), f (?3)的值.
分析:要求 f (0), f (1), f ( ?3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(π 3 ) , 再把 0,1,3 分别代
x 1

入 x ,即可求得 f (0), f (1), f ( ?3). 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第 1,2,3 题 补充练习:1、函数 f ( x ) = ( ) 的定义域和值域分别是多少?
x

1 2

2、当 x ∈ [ ?1,1]时, 函数f ( x) = 3 ? 2的值域是多少?
x

解(1) x ∈ R, y > 0 (2) (-

5 ,1) 3

例 2:求下列函数的定义域: (1) y = 2
4 x ?4

(2) y = ( )

2 3

| x|

分析:类为 y = a x ( a ≠ 1, a > 0) 的定义域是 R,所以,要使(1)(2)题的定义域,保要 , 使其指数部分有意义就得 . 3.归纳小结 作业:P69 习题 2.1 A 组第 5、6 题 . 1、理解指数函数 y = a x ( a > 0), 注意a > 1与0 < a < 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数 学思想 .

第 2 课时 教学过程: 1、复习指数函数的图象和性质 2、例题 例 1: 66 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (P 2.5 3 (1)1.7 . 与 1.7 . . ( 2 ) 0.8
?0.1
0.3 .

与 0.8

?0.2
3.1 .

( 3 ) 1.7 . 与 .

0.9 . .

用心

爱心

专心

-5-

解法 1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出 y = 1.7 的图
x

象,在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为 2.5 . .
8

6

4

2

y = 1 .7 x
5 10

-10

-5

0

-2

-4

-6

-8

的点的上方,所以

1.7 2.5 < 1.73 .
2.5

解法 2:用计算器直接计算: 1.7 所以, 1.7
2.5

≈ 3.77

1.73 ≈ 4.91

< 1.73

解法 3:由函数的单调性考虑
x . 因为指数函数 y = 1.7 在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以, 1.7
2.5

< 1.73

仿照以上方法可以解决第(2)小题 . 注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 . 0.3 3.1 由于 1.7 . =0.9 . 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1, . . 0.3 3.1 把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.7 . 与 0.9 . 的大小 . . . 思考: 1、已知 a = 0.80.7 , b = 0.80.9 , c = 1.20.8 , 按大小顺序排列 a, b, c . 2. 比较 a 与a 的大小 ( a >0 且 a ≠0). . . 指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用. . 例 2(P67 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增 长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿 2 经过 2 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%) 亿 2 3 经过 3 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%) 亿 x 经过 x 年 人口约为 13(1+1%) 亿 20 经过 20 年 人口约为 13(1+1%) 亿 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则
1 3 1 2

y = 13(1 + 1%) x
当 x =20 时, y = 13(1 + 1%) 20 ≈ 16(亿) 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. .
用心 爱心 专心 -6-

小 结: 类似 上面 此题,设 原值 为 N ,平 均增长率 为 P ,则 对于 经过时间 x 后 总 量

y = N (1 + p ) x , 像y = N (1 + p ) x 等形如y = ka x ( K ∈ R , a >0 且 a ≠1)的函数称为指数型
函数 . 思考:P68 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的我 国人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策? 3.课堂练习 ( 1 ) 右 图 是 指数 函 数 ① y = a x ② y = bx
8

③ y = cx

④ y = d x 的 图 象 ,判 断

y = bx y = cx
6

y=a
-10 -5

y = dx

x

4

2

5

10

-2

-4

-6

a, b, c, d 与 1 的大小关系;
(2)设 y1 = a ① y1 = y2
3 x +1

, y2 = a ?2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有:

② y1 > y2

(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的

3 ,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关 4

系式,若要使存留的污垢,不超过原有的 1%,则少要漂洗几次(此题为人教社 B 版 101 页第 6 题). . 归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y = a x 的图象,在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如 y = ka x (a>0 且 a ≠1). . 作业:P69 A 组第 7 ,8 题 P70 B 组 第 1,4 题

用心

爱心

专心

-7-


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