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2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_9函数模型及其应用课件理新人教A版_图文

必考部分

第二章 函数、导数及其应用

第九节 函数模型及其应用
微知识·小题练 微考点·大课堂

2019 考纲考题考情

微知识·小题练

教材回扣 基础自测

1.三种函数模型性质比较

2.几种常见的函数模型

“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快, 其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增 长速度缓慢。

一、走进教材

1.(必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的 几组数据,如下表:

x 0.50 0.99 2.01 3.98

y -0.99 0.01 0.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( )

A.y=2x

B.y=x2-1

C.y=2x-2

D.y=log2x

解析 根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01, y=0.98,代入计算,可以排除 B,C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满 足题意。故选 D。
答案 D

二、走近高考 2.(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题: “今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡 百只,问鸡翁、母、雏各几何。”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x,y,z,
?? x+y+z=100, 则???5x+3y+13z=100, 当 z=81 时,x=________,y=________。

?x+y=19,

?x=8,

解析 因为 z=81,所以??5x+3y=73, 解得??y=11。

答案 8 11

3.(2017·北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为

3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080。下列各数中与MN最

接近的是(参考数据:lg3≈0.48)( )

A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

解析 因为MN =13036810>0,所以 lgMN =lg13036810=lg3361-lg1080=361lg3- 80≈93.28。所以MN≈1093。故选 D。
答案 D

三、走出误区 微提醒:①对三种函数增长速度的理解不深致错;②建立函数模型出错; ③计算出错。 4.已知 f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,对三个函 数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( ) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析 由图象知,当 x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为 g(x)>f(x)>h(x)。故选 B。
答案 B

5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产 某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)=12x2+2x+20(万元)。1 万件售价是 20 万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36 万件 B.18 万件 C.22 万件 D.9 万件
解析 利润 L(x)=20x-C(x)=-12(x-18)2+142,当 x=18 万件时,L(x) 有最大值。故选 B。
答案 B

6.一个容器装有细砂 a cm3,细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀 速漏出,t min 后剩余的细砂量为 y=ae-btcm3,经过 8 min 后发现容器内还 有一半的细砂,则再经过________min,容器中的细砂只有开始时的八分之 一。
解析 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae-8b=12a,所以 e-8b=12,容 器中的细砂只有开始时的八分之一时,即 y=ae-bt=18a,e-bt=18=(e-8b)3=e -24b,则 t=24,所以再经过 16 min 容器中的细砂只有开始时的八分之一。
答案 16

微考点·大课堂

考点例析 对点微练

考点一 用函数图象的变化刻画变化过程 【例 1】 (2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅 游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单 位:万人)的数据,绘制了下面的折线图。
根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小, 变化比较平稳

解析 通过题图可知 A 不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增 的,所以 B 正确。从图观察 C 是正确的,D 也正确,1 月至 6 月比较平稳, 7 月至 12 月波动比较大。故选 A。
答案 A

当根据题意不易建立函数模型时,根据实际问题中两变量的变化快慢 等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情 况,选择出符合实际情况的答案。

【变式训练】 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里 程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙 述中正确的是( )
A.消耗 1 L 汽油,乙车最多可行驶 5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h,消耗 10 L 汽油 D.某城市机动车最高限速 80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用 乙车更省油

解析 对于 A 选项:由题图可知,当乙车速度大于 40 km/h 时,乙车 每消耗 1 L 汽油,行驶里程都超过 5 km,则 A 错误;对于 B 选项:由题意 可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中 甲车耗油最少,则 B 错误;对于 C 选项:甲车以 80 km/h 的速度行驶时, 燃油效率为 10 km/L,则行驶 1 h,消耗了汽油 80×1÷10=8(L),则 C 错误; 对于选项 D:速度在 80 km/h 以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更 省油,故 D 对。
答案 D

考点二 已知函数模型的实际问题 【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单 位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y=x-a 3+10(x-6)2,其 中 3<x<6,a 为常数。已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日 销售该商品所获得的利润最大。

解 (1)因为 x=5 时,y=11, 所以a2+10=11,a=2。 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y=x-2 3+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x- 3)???x-2 3+10?x-6?2??? =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6。 从而,f′(x)=30(x-4)(x-6)。

于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(3,4)

4

(4,6)

f′(x)



0



f(x)

极大值 42

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点。 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42。 即当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。

求解已给函数模型解决实际问题的关注点 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数。 2.根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数。 3.利用该模型求解实际问题。

【变式训练】 某食品的保鲜时间 y(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃) 满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数)。若该食 品在 0 ℃的保鲜时间是 192 h,在 22 ℃的保鲜时间是 48 h,则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是______ h。
解析 依题意有 192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以 e22k=4e8b =14982=14, 所以 e11k=12或-12(舍去),于是该食品在 33 ℃的保鲜时间是 e33k+b=(e11k)3·eb =???21???3×192=24(h)。
答案 24

考点三 构建函数模型的实际问题微点小专题

方向 1:构建二次函数模型

【例 3】 某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A

地的销售利润(单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x2,在 B 地的销售利润(单位:万 元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售 16 辆该 种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( )

A.10.5 万元

B.11 万元

C.43 万元

D.43.025 万元

解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆,则在 B 地销售该品牌的 汽车(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+ 32=-0.1(x-221)2+0.1×2412+32。因为 x∈[0,16],且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大值 43 万元。故选 C。
答案 C

方向 2:构建分段函数模型 【例 4】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。 研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生 长速度 v(单位:千克/年)是养殖密度 x(单位:尾/立方米)的函数。当 x 不超 过 4 尾/立方米时,v 的值为 2 千克/年;当 4<x≤20 时,v 是 x 的一次函数, 当 x 达到 20 尾/立方米时,因缺氧等原因,v 的值为 0 千克/年。 (1)当 0<x≤20 时,求函数 v 关于 x 的函数解析式。 (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到 最大?求出最大值。

解 (1)由题意得当 0<x≤4 时,v=2; 当 4<x≤20 时,设 v=ax+b, 显然 v=ax+b 在(4,20]内是减函数,
由已知得???240aa++bb==20,, 解得?????ab= =2- 5,18,
所以 v=-18x+52,
??2,0<x≤4, 故函数 v=???-18x+52,4<x≤20。

(2) 设 年 生 长 量 为 f(x) 千 克 / 立 方 米 , 依 题 意 并 由 (1) 可 得 f(x) =
??2x,0<x≤4, ???-18x2+25x,4<x≤20,
当 0<x≤4 时,f(x)为增函数, 故 f(x)max=f(4)=4×2=8; 当 4<x≤20 时,f(x)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18(x-10)2+225,f(x)max =f(10)=12.5。 所以当 0<x≤20 时,f(x)的最大值为 12.5。 即当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值 为 12.5 千克/立方米。

方向 3:构建指数函数、对数函数模型 【例 5】 (1)世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率 约是(参考数据 lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( ) A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8%
解析 (1)设每年人口平均增长率为 x,则(1+x)40=2,两边取以 10 为 底的对数,则 40lg(1+x)=lg2,所以 lg(1+x)=l4g02≈0.007 5,所以 100.007 5 =1+x,得 1+x≈1.017,所以 x≈1.7%。故选 C。
答案 (1)C

(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出:过去五年来,我

国经济实力跃上新台阶。国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元,年

均增长 7.1%,占世界经济比重从 11.4%提高到 15%左右,对世界经济增长

贡献率超过 30%,2018 年发展的预期目标是国内生产总值增长 6.5%左右。如

果从 2018 年开始,以后每年的国内生产总值都按 6.5%的增长率增长,那么

2020 年的国内生产总值约为(提示:1.0653≈1.208)( )

A.93.8 万亿元

B.99.9 万亿元

C.97 万亿元

D.106.39 万亿元

解析 (2)由题意可知,2020 年我国国内年生产总值约为:82.7×(1+

6.5%)3≈99.9(万亿元)。故选 B。

答案 (2)B



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