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2011年高考数学试题分类汇编——三角函数


三角函数
安徽理(9)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,

?

6

且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x ) 的单调递增区间是

?

2

(A) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

(9)A【命题意图】本题考查正弦函数的有界性,考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【 解 析 】 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 则 f ( ) ? sin(

?

?

?
3

6

6

? ?) ? 1 , 所 以

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z , ? ? k? ?

?

, k ? Z . 由 f ( ) ? f (? ) ,( k ? Z ), 可 知 2 6

?

即s 所以 ? ? 2k? ? n i ?0 ? , sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) ,

?

6

,k ?Z , 代入 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,
,得 k? ?

? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 得 6 ,由 2k? ? 剟2 x ? 2 6
A.
o

?

2k ? ?

?
2

?
3

剟x

k? ?

?
6

,故选

(14)已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为_______________ (14) 15 3 【命题意图】本题考查等差数列的概念,考查余弦定理的应用,考查利用公式求 三角形面积. 【 解 析 】 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ? 4, a, a ? 4 , 最 大 角 为 ? , 由 余 弦 定 理 得

(a ? 4)2 ? a2 ? (a ? 4)2 ? 2a(a ? 4)cos120 ,则 a ? 10 ,所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面
积为 S ?

1 ? 6 ?10 ? sin120 ? 15 3 . 2

安徽文(15)设 f ( x ) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a,b ? R,ab ? 0,若 f ( x) ? f ( ) 对一切则

?

6

x ? R 恒成立,则①f (

11? )?0 12

[来源:学科网 ZXXK]

②f (

? 7? ) < f ( ) ③f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 5 10

-1-

④f ( x ) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

⑤ 存在经过点(a,b)的直线与函数的图 f ( x ) 像不相交 以上结论正确的是 (写出 所有正确结论的编号). (15)① ③ 【命题意图】本题考查辅助角公式的应用,考查基本不等式,考查三角函数求值,考查 三角函数的单调性以及三角函数的图像. 【 解 析 】

f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ? a 2 ? b2 sin(2 x ? ? ) ?

a 2 ? b2





? ? ? ? 3 1 f ( ) ? a sin ? b cos ? a ? b …0 ,由题意 f ( x) ? f ( ) 对一切则 x? R 恒成立, 6 6 3 3 2 2


a 2 ? b2 ?

3 1 3 2 1 2 3 , a ? b 对 一 切 则 x ? R 恒 成 立 , 即 a 2 ? b2 ? a ? b ? ab 2 2 4 4 2

a2 ? 3b2 剠2 3ab

00恒 成 立 , 而 a2 ? 3b2 …2 3ab , 所 以 a2 ? 3b2 = ? 2 3ab , 此 时

?? ? a ? 3b ? 0 .所以 f ( x) ? 3b sin 2 x ? b cos 2 x ? 2b sin ? 2 x ? ? . 6? ?
①f (

11? ? 11? ? ? 正确; ) ? 2b sin ? ? ? ? 0 ,故① 12 6? ? 6

②f (

7? ? 7? ? ? ? 47? ? ? 13? ) ? 2b sin ? ? ? ? 2b sin ? ? ? 2b sin ? 10 ? 5 6? ? 30 ? ? 30

? ?, ?

? ? 2? ? ? ? 17? ? ? 13? ? f ( ) ? 2b sin ? ? ? ? 2b sin ? ? ? 2b sin ? ?, 5 ? 5 6? ? 30 ? ? 30 ?
所以 f (

? 7? ) < f ( ) ,② 错误; 5 10

③f (? x) ? ? f ( x) ,所以③ 正确; ④ 由① 知 f ( x) ? 3b sin 2 x ? b cos 2 x ? 2b sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

? ?

??

?,b ? 0, 6?
k? ?

?
2

剟2 x ?

?
6

2 k? ?

?
2

2 知 k? ?

2? 剟x 3

?
6

2 ,所以③ 不正确;

⑤ 由① 知 a ? 3b ? 0 ,要经过点(a,b)的直线与函数的图 f ( x ) 像不相交,则此直线与横轴 平行,又 f ( x ) 的振幅为 2b ? 3b ,所以直线必与 f ( x ) 图像有交

-2-

点.⑤ 不正确.

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 , (16) 在 ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, a= 3 , b= 2 ,
求边 BC 上的高. (16)解:∵ A+B+C=180°,所以 B+C=A, 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A) ? 0 , 即 1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ?

1 ,又 0°<A<180°,所以 A=60°. 2

在△ABC 中,由正弦定理

b sin A 2 sin 60 2 a b ? ? ? 得 sin B ? , a 2 3 sin A sin B

又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°, ∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75 ? 2 sin(45 ? 30 )

? 2(sin 45 cos30 ? cos 45 sin30 ) ? 2(
北京理 9.在

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? 2 2 2 2 2

ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

?
4

, tan A ? 2 ,则 sin A ? _______, a ? ______.

【解析】由 tan A ? 2 ? sin A ?

2 5 ,正弦定理可得 a ? 2 10 。 5
? 6

15.已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 .(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

解: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? (2) ? 当 2x ?

?

?
?
6

? 2x ? ??

?
6

?

?
6

2? ? ? ? ,当 2 x ? ? 即 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最大值 2; 3 6 2 6

6

) ,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ;

6

即x??

?

6

时,函数 f ( x ) 取得最小值 ?1 ;

北京文(9)在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ? 福建理 3.若 tan ? ? 3 ,则 A.2 B.3

? 1 , sin A ? ,则 a ? 4 3

.

5 2 3
D

sin 2 ? 的值等于 cos 2 a
C .4 D.6

14.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等 于______.

2
-3-

16.(本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ?

13 . 3

?
6

处取得最大值,且最大值为

a3 ,求函数 f ( x) 的解析式.
13 1 得 a1 ? ,所以 an ? 3n?2 ; 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3 ? 3 ,因为函数 f ( x ) 最大值为 3,所以 A ? 3 ,
解:(Ⅰ)由 q ? 3, S3 ? 又当 x ?

?
6

时函数 f ( x ) 取得最大值,所以 sin(

?
3

? ? ) ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6



所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

)。
D D. 3 2

1 ? 福建文 9.若?∈ (0,2),且 sin2?+cos2?=4,则 tan?= 2 A. 2 3 B. 3 C. 2

14.若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于 21.(本小题满分 12 分)

设函数 f(?)= 3sin? +cos?,其中,角?的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重 合,终边经过点 P(x,y),且 0≤?≤?。 1 3 (Ⅰ)若 P 的坐标是(2, 2 ),求 f(?)的值;

? ?x+y≥1 (Ⅱ)若点 P(x,y)为平面区域? x≤1 上的一个动点,试确定角??的取值范围,并求函数 ? ? y≤1
f(?) 的最小值和最大值。 ? 21、 (Ⅰ)f(?)=2; (Ⅱ)??=0 时 f(?)min=1,?=3时 f(?)min=2。 广东理16.(本小题满分12分)

1 ? 已知函数f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R 3 6 5? (1)求f ( )的值; 4

? 10 6 ? ?? (2)设? , ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? )的值. 2 13 5 ? 2?

-4-

解 : (1) f (

5? 5? ? ? ) ? 2 sin( ? ) ? 2 sin ? 2 . 4 12 6 4 ? 10 5 ? 12 (2) f (3? ? ) ? 2 sin ? ? ,? sin ? ? ,? ? ? [0, ],? cos? ? ; 2 13 13 2 13 ? 6 3 ? 4 f (3? ? 2? ) ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos ? ? ,? cos ? ? ,? ? ? [0, ],? sin ? ? . 2 5 5 2 5 12 3 5 4 16 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
-9

广东文 12.设函数 f ( x) ? x 3 cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ?

16. (本小题满分 12 分)

?? ?1 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , x ? R . 6? ?3
(1)求 f ? 0 ? 的值;
? ?? (2)设 ? , ? ? ?0, ? , ? 2?

? ? 10 6 ? f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值. 2 ? 13 5 ?

? ? 解: (1) f (0) ? 2sin( ? ) ? ?2sin ? ?1 6 6
(2)
10 ? 1 ? ? ? f (3? ? ) ? 2sin[ ? (3? ? ) ? ] ? 2sin ? , 13 2 3 2 6 6 1 ? ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin[ ? (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? 2 cos ? 5 3 6 2 5 3 ? sin ? ? ,cos ? ? , 13 5 12 ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , 13 4 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 5 5 3 12 4 63 ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? ? 13 5 13 5 65
湖北理 3.已知函数 f ?x? ? 3 sin x ? cos x , x ? R ,若 f ?x ? ? 1 ,则 x 的取值范围为 A.

? ? ? ? x k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? ? ? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

C. ? x k? ?

?
6

? x ? k? ?

? 5? ,k ? Z? 6 ?

D. ? x 2k? ?

? ?

?
6

? x ? 2k? ?

? 5? ,k ? Z? 6 ?

-5-

【答案】B 解析:由条件 3 sin x ? cos x ? 1 得 sin ? x ?

? ?

??

1 ? ? ,则 6? 2

2k? ?

?
6

? x?

?
6

? 2k? ?

5? ? ,解得 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ,所以选 B. 6 3 1 . 4

16. (本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值. 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力 解析: (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

1 ?4 4

∴c ? 2 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 .

15 1 ?1? 2 (Ⅱ)∵ cos C ? ,∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? , 4 4 ?4?

2

a sin C ? ∴ sin A ? c

15 4 ? 15 2 8
2

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角,

? 15 ? 7 ? ? ∴ cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? 8 ? ?
2

∴ cos? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ? 湖北文没有新题 湖南理 6. 由直线 x ? ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 4 16

?
3

,x ?
C.

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(
D. 3



A.

1 2

B.1

3 2

答案:D
?

解析:由定积分知识可得 S ?

?

??
3

3

cos xdx ? sin x | 3? ?
? 3

?

3 3 ? (? ) ? 3 ,故选 D。 2 2

11.如图 2, A, E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC ? 4 ,

-6-

AD ? BC ,垂足为 D, BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为
答案:



2 3 3 3 , 3

解析:由题可知, ?AOB ? ?EOC ? 60? , OA ? OB ? 2 ,得 OD ? BD ? 1 , DF ?

又 AD ? BD ? CD ? 3 ,所以 AF ? AD ? DF ?
2

2 3 . 3


湖南文 7.曲线 y ? A. ?

sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4
C. ?

1 2

B.

1 2

2 2

D.

2 2

答案:B 解析: y' ?

cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cos x ? sin x) 1 ? ,所以 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x)2

y'|

x?

?
4

?

1 ? 。 (sin ? cos )2 2 4 4

?

1

?

17. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 4 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C.
因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?

?

?
4

3? ? A. 于是 (II)由(I)知 B ? 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

-7-

江苏 7.已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________. tan 2 x

4 答案: 9
解析:

? 1 ? tan x 1 tan x tan x ( 1- tan 2 x) 4 tan( x ? ) ? ? 2,? tan x ? ,? = = ? . 2 tan x 4 1 ? tan x 3 tan 2 x 2 9 2 1- tan x

本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式,正弦余弦函数的诱导公式,两 角和与差的正弦余弦正切,二倍角的正弦余弦正切及其运用,中档题.

? ( x ? ? ), A ( ?, ?是 , 常 数 , A ? 0, ? ? 0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则 9. 函 数 f ( x) ? A s i n
f (0) ? ____
答案:

6 2
2, T 7 ? ? ? ? ? ? , ? ? 2, 4 12 3 4

解析:由图可知: A ?

2?

7? 3? ? ? ? ? 2 k? ? , ? ? 2 k? ? , 12 2 3

? 6 f (0) ? 2 sin(2k? ? ) ? 3 2
由图知: f (0) ?

第9题图

6 2

本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质, y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质以及诱导公 式,数形结合思想,中档题. 15.(本小题满分 14 分 )在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
答 案 : ( 1 )

?

sin( A ? ) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A, cos A ? 0, tan A ? 3, 0 ? A ? ? ? A ? 6 3 1 2 2 2 2 (2)在三角形中, cos A ? , b ? 3c,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? 8c , a ? 2 2c 3

?

?

-8-

由正弦定理得: 出直角三角形)

1 2 2c c 2 2 2 ,而 sin A ? 1 ? cos A ? ? , ? sin C ? .(也可以先推 3 sin A sin C 3

(也能根据余弦定理得到 cos C ?

2 2 1 ,0 ? C ? ? ? sin C ? ) 3 3

解析:本题主要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能 力,容易题. 江西理 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a , b , c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a 2 ? b 2 ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.

C . 2

C C C C cos ? 1 ? 2 sin 2 ? 1 ? sin ,即 2 2 2 2 C C C C C C sin (2 cos ? 2 sin ? 1) ? 0 ,由 sin ? 0 得 2 cos ? 2 sin ? 1 ? 0 2 2 2 2 2 2 C C 1 C 3 ? ,两边平方得: sin ? 即 sin ? cos 2 2 2 2 4 C C 1 C C ? C ? ? ? cos ? ? 0 知 sin ? cos ,则 ? ? ,即 ? C ? ? ,则由 (2)由 sin 2 2 2 2 2 4 2 2 2
【解析】 (1)由已知得 2 sin

sin

C 3 7 ? 得 cosC ? ? 2 4 4
2 2 2

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2abcosC ? 8 ? 2 7 ,所以 c ?

7 ? 1.

江西文 14、 已知角 ? 的顶点为坐标原点, 始边为 x 轴的正半轴, 若 p ? 4, y ? 是角 ? 终边上一点, 且 sin ? ? ?

2 5 ,则 y=_______. 5
y 2 5 对边 ?? ? y ? ?8 = 5 斜边 16 ? y 2

答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角。 sin ? ?

(PS:大家可以看到,步骤越来越少,不就意味着题也越来越简单吗?怎么能说高考题是难题 偏题。 ) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C . (1)求 cos A 的值;
-9-

(2)若 a ? 1, cos B ? cosC ?

2 3 ,求边 c 的值. 3

解: (1)由 3a cos A ? c cos B ? b cos C 正弦定理得:

nc o A s?s i A n 所 以 3s i n Ac o s A?si n Cc o B s ?s i n Bc o C s ? s i nB ( ? C) 及 : 3 s i A

1 c oA s? 。 3
(2)由 cos B ? cosC ?

2 3 2 3 , cos(? ? A ? C ) ? cosC ? 展开易得: 3 3 6 a c 3 , 正弦定理: ? ?c? 3 sin A sin C 2

coC s ? 2s i n C ? 3 ?si n C?

【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题,题目偏难。第一问主要涉及到正弦 定理、诱导公式及三角形内角和为 180°这两个知识点的考查属于一般难度;第二问同样是对 正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂。 辽宁理 4.△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a ,则 A. 2 3 D B. 2 2 C. 3 D. 2

b ? a

( 7. 设 sin
A. ?

?

7 9

1 n i2 ? ? +?) = , 则s 4 3 1 1 B. ? C. 9 9

A D.

7 9
?
2
) ,y= f ( x) 的

辽宁文 12.已知函数 f ( x) =Atan( ? x+ ? ) ( ? ? 0, | ? |? 部分图像如下图,则 f ( A.2+ 3

?
24

)?

B. 3 D. 2 ? 3

C.

3 3

B 17. (本小题满分 12 分) △ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a. (I)求

b ; (II)若 c2=b2+ 3 a2,求 B. a
2 2

17.解: (I)由正弦定理得, sin A ? sin B cos A ?

2 sin A ,即

sin B(sin2 A ? cos2 A) ? 2 sin A
- 10 -

故 sin B ?

2 sin A, 所以
2 2

b ? 2. a
2

………………6 分

(II)由余弦定理和 c ? b ? 3a , 得 cos B ? 由(I)知 b2 ? 2a2 , 故 c2 ? (2 ? 3)a2 . 可得 cos B ?
2

(1 ? 3)a . 2c

1 2 , 又 cos B ? 0, 故 cos B ? , 所以B ? 45 2 2

…………12 分

全国Ⅰ理(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =

(A) ?
B

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
f (? x) ? f ( x) ,则

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?
A

? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ? 单 调递增 ?

(16)在 V ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为

。2 7

全国Ⅰ文 (6) 如图, 质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 p0( 2 ,? 2 ) , 角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 C

- 11 -

(10)若 sin a = -

4 ? ,a 是第一象限的角,则 sin( a ? ) = 5 4
(B)

A

(A)-

7 2 10

7 2 10

(C) -

2 10

(D)

2 10

(16)在

? ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135 .若 AC ? 2 AB ,

则 BD=_____

2+ 5

全国Ⅱ理 5)设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将 y ? f ? x ? 的图像向右平移 所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)

? 个单位长度后, 3

1 3

(B)3

(C)6

(D)9

【答案】 :C 【命题意图】 :本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。 【解析】 :由题意知

?
3

?k?

2?

? 为函数 f ? x ? x ??cos ?? ? ?0 周 期 的 正 整 数 倍 , 所 以 3

?

(k ? N * ), ? ? 6k ? 6 ,故 ? 的最小值等于 6.

(14)已知 ? ? ( 【答案】 :?

?
2

, ? ) ,sin ? =

5 ,则 tan2 ? =___________. 5

4 3

【命题意图】 :本小题主要考查了同角三角函数的基本关系式及二倍角公式。 【 解 析 】 : 由 sin

?
?

=

5 5

,

? ? ? ( ,? )
2





2 c ?o? s ? 5

5

? , ?t
2

1

? a

n ? ? ? 21 ?

2 t a n 4 , ? t a n ?2 ? t a n 3

(17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
- 12 -

△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90°, a ? c ?

2b ,求 C.

【命题立意】:本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系, 突出考查边角互化的转化思想及消元方法的应用. 【解析】 :由 A-C=90°,得 A=C+90° B ? ? ? ( A ? C ) ? 90? ? 2C (事实上 0? ? C ? 45? ) 由

a ? c ? 2b



















s A ?i

n C?

s

i B ?n

C ?2

s?

i C ? n

?s

i C n ?

( ?

9

即 cos C ? sin C ? 2coc2C ? 2(cos2 C ? sin 2 C) ? 2(cos C ? sin C)(cos C ? sin C)

cos C ? sin C ? 0

? cos C ? sin C ? 2 cos(C ? 45?) ?
3? 2

2 1 ,cos(C ? 45?) ? , C ? 45? ? 60?,?C ? 15? 2 2
【答案】 ?

全国Ⅱ文(14)已知 ? ? (? , ), tan ? ? 2 ,则 cos? ?

5 . 5

3? cos 2 ? 1 1 ? ? , 又 ? ? (? , ), cos ? ? 0 【解析】由 cos ? ? 2 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5
2

所以 cos ? ? ?

5 . 5

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c .
己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c. 【解析】(Ⅰ)由正弦定理 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, 可变形为

a 2 ? c2 ? 2ac ? b2
cos B ?





a2 ?

c2 ?

2 b2 ?

, a由 c 余







a 2 ? c 2 ? b2 2ac 2 ? ? 2ac 2ac 2

又 B ? (0, ? ) ,所以 B ?

?
4

(Ⅱ)首先 sin A ? sin(45 ? 30 ) ?

2? 6 3 . sin C ? sin 60 ? . 4 2

- 13 -

b sin A ? 由正弦定理 a ? sin B

2?

2? 6 3 2? b sin C 4 2 ? 6. ? 3 ? 1. ,同理 c ? ? sin B 2 2 2 2
a? 的值为 6

山东理 3.若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan=

(A)0 【答案】D

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan 6.若函数 f ( x) ? sin ? x (ω>0)在区间 ? 0, (A)3 【答案】C 【解析】由题意知,函数在 x ? 17.(本小题满分 12 分) (B)2 (C)

a

a? 2? ? ? tan ? tan ? 3 ,故选 D. 6 6 3

? ?? ?? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ω= ? ? 3? ?3 2?
(D)

3 2

2 3

?
3

处取得最大值 1,所以 1=sin

??
3

,故选 C.

在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I) (II)

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 若 cosB= , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4


【 解 析 】( Ⅰ ) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所 以

co s A- 2 co s C = co s B b

2 c-a

=

2sin C ? sin A sin B

,



sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 s i n A (?B ) ? 2 s iB n( ? C,即 )

sin C =2. sin A c sin C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: =2,即 c=2a,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: a sin A 1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B , 即 22 ? 4a 2 ? a 2 ? 2a ? 2a ? , 解 得 a ? 1 , 所 以 c=2, 又 因 为 4
sin C ? 2sin A ,所以
cosB=

1 1 1 15 15 15 ,所以 sinB= ,故 ?ABC 的面积为 ac sin B ? ?1? 2 ? = . 2 2 4 4 4 4

- 14 -

山东文 (17) (本小题满分 12 分) 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cosB= , ABC的周长为5,求b的长. 4
(Ⅰ)求 【 解 析 】( Ⅰ ) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所 以

co s A- 2 co s C = co s B b

2 c-a

=

2sin C ? sin A sin B

,



sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 s i n A (?B ) ? 2 s iB n( ? C,即 )
sin C ? 2sin A ,所以

sin C =2. sin A

(Ⅱ)由

sin C 1 ? 2 得 c ? 2 ,∵ cos B ? ,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 4a 2 sin A 4

∴ b ? 2a ,又 a ? b ? c ? 5 得 a ? 1, b ? 2
陕西理 6.函数 f ( x) ?

x ? cos x 在 [0, ??) 内

( )

(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 【分析】利用数形结合法进行直观判断,或根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断。 【解】选 B (方法一)数形结合法,令

f ( x) ? x ? cos x ? 0 ,则 x ? cos x ,设函数 y ? x
和 y ? cos x ,它们在 [0, ??) 的图像如图所示,显然两函 数的图像的交点有且只有一个,所以函数

f ( x) ? x ? cos x 在 [0, ??) 内有且仅有一个零点;
(方法二)在 x ? [

?
2

, ??) 上, x ? 1 , cos x ? 1 ,所以
?0
; 在

f ( x) ? x ? cos x
f ?( x) ? 1 2 x

x?(

?

0 2

,, ]

? sin x ? 0 , 所 以 函 数 f ( x) ? x ? cos x 是 增 函 数 , 又 因 为 f (0) ? ?1 ,

f( )? 2

?

?

? ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? cos x 在 x ? [0, ] 上有且只有一个零点. 2 2

- 15 -

7. 设集合 M ? { y | y ?| cos2 x ? sin 2 x |, x ? R} ,N ? {x || x ? |? 则M

1 i

i 为虚数单位,x ?R } , 2,

N 为( )
(C) [0 , 1) (D) [0 , 1]

(A) (0,1) (B) (0 , 1]

【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模,不等式等知识点。 【解】选 C 因为 | x ? |?

y ?| cos2 x ? sin 2 x |?| cos2x |?[0,1] ,所以 M ? [0,1] ;
2 ,所以 | x ? i |? 2 ,即 | x ? ( ?i) | ? 2 ,又因为 x ?R,所以 ?1 ? x ? 1 ,即

1 i

N ? (?1,1) ;所以 M

N ? [0,1) ,故选 C.

18. (本小题满分 12 分) 叙述并证明余弦定理. 【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导,这是高考考查的常规方向和考点, 引导考生回归课本,重视基础知识学习和巩固. 【解】叙述: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦之积的两倍。或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
证明: (证法一) 如图, c ? BC
2

? AC? AB ?
2

?

??

AC ? AB
2

?

? AC ? 2 AC ? AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2
即 同理可证

2

2

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

(证法二)已知 ?ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c, ,以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴 建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) , ∴ a ?| BC | ? (b cos A ? c) ? (b sin A) ? b cos A ? 2bc cos A ? c ? b sin A
2 2 2 2 2 2 2 2 2

- 16 -

? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,
即 同理可证

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

陕西文 6.方程 x ? cos x 在 ? ??, ??? 内 (A)没有根 (C) 有且仅有两个根 (B)有且仅有一个根

( )

(D)有无穷多个根

【分析】数形结合法,构造函数并画出函数的图象,观察直观判断. 【解】选 C 构造两个函数 y ?| x | 和 y ? cos x ,在同一个坐标系内画出它们的图像,如图所 示,观察知图像有两个公共点,所以已知方程有且仅有两个根.

上海理 6.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,则 A、B 两点之 间的距离为 8.函数 y ? sin ? 千米.

6
.

?? ? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的最大值为 ?2 ? ?6 ?

2? 3 4

上海文 4、函数 y ? 2sin x ? cos x 的最大值为

5
0 0

8、在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标 C,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,则 A, C 两点之 间的距离 是 千米

6
)A

17.若三角方程 sin x ? 0 与 sin 2 x ? 0 的解集分别为 E , F ,则( (A) E ? F (B) E ? F (C) E ? F (D) E

F ??

- 17 -

四川理 6.在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是 (A) (0, ] 6 答案:C

?

(B) [ , ? ) 6

?

(C) (0, ] 3

?

(D) [ , ? ) 3

?

解析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C 得 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,即 ∴ cos A ?

1 ? ,∵ 0 ? A ? ? ,故 0 ? A ? ,选 C. 3 2 17. (本小题共 l2 分) 7? 3? 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ) ,x ? R. 4 4 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; 4 4 ? (Ⅱ)已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求证: [ f (? )]2 ? 2 ? 0 . 5 5 2 本小题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公式、诱导公式 等基础知识和基本运算能力,函数与方程、化归与转化等数学思想. 7? 7? 3? 3? (Ⅰ)解析: f ( x) ? sin x cos ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4
? 2 sin x ? 2 cos x ? 2sin( x ? ) ,∴ f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ,最小值 f ( x)min ? ?2 . 4 4 4 (Ⅱ)证明:由已知得 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 5 5

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

?

两式相加得 2cos ? cos ? ? 0 ,∵ 0 ? ? ? ? ? ∴ [ f (? )]2 ? 2 ? 4sin 2 四川文没有新题 天津理

?

?
4

2

,∴ cos ? ? 0 ,则 ? ?

?

2



?2?0.

2 2 7 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若 a ? b ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? (
A. 30 ? B. 60 ?

) . C. 120? D. 150?
2 2

【解】由 sin C ? 2 3sin B 及正弦定理得 c ? 2 3b ,代入 a ? b ? 3bc 得

a2 ? b2 ? 3b ? 2 3b ? 6b2 ,即 a 2 ? 7b2 ,又 c2 ? 12b2 ,
由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 12b2 ? 7b2 6 3 , ? ? ? 2 2bc 2 4 3b 4 3

所以 A ? 30? .故选A. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

- 18 -

(Ⅱ)若 f ? x0 ? ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? .求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

【解】 (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1得

?? ? f ? x ? ? 3 ? 2sin x cos x ? ? ? 2cos2 x ? 1? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
所以函数的最小正周期为 T ?

2? ? ? ? 7? ? ? ?? ? ? .因为 x ? ?0, ? ,所以 2 x ? ? ? , ? . 2 6 ?6 6 ? ? 2?

所以 2 x ?

?

?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? ,即 x ? ?0, ? 时,函数 f ? x ? 为增函数,而在 x ? ? , ? 时, 6 ?6 2? ? 6? ?6 2?

函数 f ? x ? 为减函数,所以 f ? 小值.

? 7? ?? ? ?? ? ?? ?1 为最 ? ? 2sin ? 2 为最大值, f ? ? ? 2sin 2 6 ?6? ?2?
? ?

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,f ? x0 ? ? 2sin ? 2 x0 ?

??

6 ?? 3 ? 又由已知 f ? x0 ? ? , 则n s i 2 ? x0 ? ? ? . ?, 5 6? 6? 5 ?

因为 x0 ? ?

?? ? ? 2? 7? ? ? ?? ? ? , ? ,则 2 x0 ? ? ? , ? ,因此 cos ? 2 x0 ? ? ? 0 , 6? 6 ? 3 6 ? ? ?4 2?

所以 cos ? 2 x0 ?

? ?

??

4 ?? ?? ?? ? ? ? ,于是 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? , 6? 5 6 ? 6? ??

4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ?? ? ? ? . ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? ? ? 5 2 5 2 10 6? 6 6? 6 ? ?
天津文 8.右图是函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? x ? R ? 在区间 ? ?

? ? 5? ? , ? 6 6 ? ?

上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将 y ? sin x ? x ? R ? 的 图象上的所有的点( A.向左平移 来的 ) .

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原 3 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

- 19 -

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? ? ? ? 【解】解法 1.如图,平移需满足 ? ? ? ? ? ,解得 ? ? .因此首先将 ? 2 6 3 ? y ? sin x ? x ? R ? 的图象上的所有的点向左平移 个单位长度, 3
C.向左平移 又因为该函数的周期为 T ? 2 ? 的所有的点横坐标缩短到原来的

? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ,于是再需把 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上 ? 3 ? 6 ??

1 倍.故选A. 2

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 6? 解法 2.由已知图象得 ? 解得 ? ? 2, ? ? ,又 A ? 1 , 3 ? ? ? ? ?? ? ? , ? 3 ?
所以图中函数的解析式是 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?

因此该函数的图象是将 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上的所有的点向左平移 所得各点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把 3

1 倍,纵坐标不变得到的.故选A. 2 AC cos B ? 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, . AB cos C (Ⅰ)证明: B ? C .
(Ⅱ)若 cos A ? ?

1 ?? ? .求 sin ? 4 B ? ? 的值. 3 3? ? AC cos B sin B cos B ? ? 及正弦定理得 , AB cos C sin C cos C

【解】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由

于是 sin B cos C ? cos B sin C ? 0 ,即 sin ? B ? C ? ? 0 , 因为 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? ,则 ?? ? B ? C ? ? , 因此 B ? C ? 0 ,所以 B ? C . C ?和 ( Ⅰ ) ( Ⅱ ) 由 A? B ? ?



A ? ? ? 2B







c oB ? s 2 ? ??

c? ?Bo s ?

1 ? A 2, 3

?c o s

又由 B ? C 知 0 ? 2 B ? ? ,所以 sin 2 B ?

2 2 4 2 . sin 4 B ? 2sin 2 B cos 2 B ? . 3 9

- 20 -

7 cos 4 B ? cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? . 9
所以 sin ? 4B ?

? ?

??

? ? sin 4B cos ? cos 4B sin ? 3? 3 3

?

?

4 2 ?7 3 . 18

浙江理 9.设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在零点的是 . A. ? ?4, ?2? A 13.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为 B. ? ?2,0? C. ?0, 2? D. ? 2, 4?

?

?

4

4



. 1

18. (本小题满分 14 分)

?π π? ? 2?π 已知函数 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .ks**5u ?4 2? ?4 ?
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值和最小值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围 4 2 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? ? ?π ?2 ?? ??

?π π? ? ?

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . ……………………………………………………3 分 3? ?
π? π π 2π ?π π? ? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?
∴ f ( x)max ? 3, f ( x)min ? 2 .……………………………………………………………7 分

?π π? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? ,……………………………9 分 ?4 2?
∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1, 4) .……14 分

浙 江 文 ( 5 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 a, b, c . 若 a cos A ? b sin B , 则

s i nA c o A s?
A.D

2 c oB s?

1 2

B.

1 2

C. -1

D.1

( 18 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 ,

0 ?? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,

- 21 -

点 P 的坐标为 (1, A) . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ )若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?

2? ,求 A 的 3

值. (1)本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基 础知识。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题意得, T ?

2?

?
3

? 6.

因为 P (, A)在y ? A sin( 所以 sin(

?
3

x ? ? ) 的图象上,

?
3

, ?? ) ? 1. 又因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

(Ⅱ) 解: 设点 Q 的坐标为 ( x0 , ? A) , 由题意可知

?

3 6 2? 连接 PQ,在 ?PRQ中, ?PRQ ? ,由余弦定理得 3

x0 ?

?

?

3? , 得 x0 ? 4 , 所以 Q 4 , ( )A ? 2

cos ?PRQ ?
解得 A ? 3.
2

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? 4 A2 ) 1 ? ?? . 2RP ? RQ 2 2 A ? 9 ? A2
又 A ? 0, 所以A ? 3.

2 (a ? b) ? c2 ? 4 ,且 C=60°, 重庆理(6)若 ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足

则 A (A)

ab







4 3

(B) 8 ? 4 3

(C) 1

(D)

2 3

(14)已知 sin ? ?

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 14 的值为__________ ? ?? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

(16) (本小题满分 13 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

? ?? ? ? x ? 满足 f (? ) ? f (0) ,求函数 f ( x) 3 ?2 ?

在?

? ? 11? ? 上的最大值和最小值 ? ? 4 24 ? ?

- 22 -

解: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)当 x ? [

?
6

);

, ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,函数 f ( x) 递增; 4 3 6 3 2 ? 11? ? ? 3? ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,函数 f ( x) 递减; 当 x ?[ , 3 24 6 2 4 ? 11? ? ] 上的最大值为 f ( ) ? 2 所以 f ( x ) 在 x ? [ , 4 24 3 ? 11? ? 11? 11? ) ? 2 ,所以 f ( x) 在 x ? [ , ] 上的最小值为 f ( )? 2。 又 f ( ) ? 3, f ( 4 24 4 24 24
重庆文(8)若

? ?

?

? ?

的内角 、 、 满足 (B)

,则

D

(A)

(C)

(D)
4 3

(12)若

,且

,则



.

(18) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.)

设函数

.[来源:学科网]

(Ⅰ)求

的最小正周期;

( Ⅱ ) 若函数

的图象按

,

平移后得到函数

的图象 , 求



, 上的 最大值.

解:(Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 ,所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ; 2

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x ? 由 x ? [0,

?
4

)?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 3 2 6

?
4

] ? 2x ?

?
6

? [?

? ?

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