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指数函数及其性质(第二课时)


§2.1.2指数函数及其性质

指数函数的图像

用描点法画出指数函数

y=2 ,y=3
x

x

的图象。

用描点法作函数 ? 2 和y ? 3 的图象 y .
x x

函 数 图 象 特 征

x
y=2x




-3
1/8

-2
1/4

-1
1/2

0
1

1
2

2
4

3
8




y=3x

… 1/27

1/9

1/3
x

1

3
x

9

27



yy ? 3

y?2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

用描法画出指数函数
1 x 1 x y?( ) ,y?( ) 2 3

的图象。

1 x 1 x 用描点法作函数 y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象 . 2 3

函 数 图 象 特 征

x

… -3

-2 4 9
1 x y?( ) 3

-1 2 3 y

0 1 1

1

2

3



y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 x y?( ) 2

1/2 1/4 1/3 1/9

1/8 … 1/27 …

若不用描点法,这
两个函数的图象又该如

何作出呢?
1

y=1
X

O

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y ? 2x
底数互为倒 数的两个指 数函数图象:

1

关于y轴对称
1

0

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

y

指数函数的性质
1 当 a>1时

y ? ax
(a ? 1)

◆定义域 ◆值域 ◆定点 ◆奇偶性 ◆单调性 ◆函数分布特点

1

x
0

1.向上无限伸展,向下与x 轴无限接近

2.图象可向左、右两方无限伸展 3. 当X≥0时,y≥1; 当x≤0时,y≤1

y

指数函数的性质
1 当 0<a<1时 ◆定义域 ◆值域 ◆定点 ◆奇偶性 ◆单调性 ◆函数分布特点

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 0
x

1.向上无限伸展,向下与x 轴无限接近 2.图象可向左、右两方无限伸展
当X≥0时,0<y≤1;

3.

当x≤0时,y≧1

当 x > 0 时,y > 1.0<a<1 当 x < 0 时,. 0< y < 1
y

a>1
y

图象 定义域 值域 定点 奇偶性 单调性 函数值 分布

(0,1)

y=1
x

y=1
O

(0,1)
x

O

当 x < 0 时,y > 1; R 当x>0 (0, +∞) 时, 0< y < 1。 (0,1) 非奇非偶函数

在R上是增函数
>1 (x>0)

在R上是减函数
<1 (x>0)

ax

=1 (x=0) <1 (x<0)

ax

=1 (x=0)
>1 (x<0)

(3)指数函数① f(x)=mx② g(x)=nx满足不 等式1>n>m>0,则它们的图象是 ( C )

曲线C1,C2,C3,C4 分别是指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx,和的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是

b<a<1<d<c

例题讲解
例2 已知指数函数f(x)的图象经过点(3,π),
求f(0)、f(1)、f(-3)的值. 分析:指数函数的图象经过点 有 f ?3? ? ? , 1 3 即 a ? ? ,解得 a ? ? 3 x 于是有 f ? x ? ? ? 3
所以:
0 1 3 3

?3,? ?


想一 想

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?
?1

1 f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π

例题讲解 例3 比较下列各题中两个值的大小:
(1) 1.72.5, 1.73 ;

(2) 0.8-0.1, 0.8-0.2 ;
(3) 1.70.3, 0.93.1;

方法总结
比较指数大小的方法
①构造函数法:要点是利用函数的单调性,数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的), 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。

课堂练习
2.如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=(a-1)x2 的图象只可能是( )
y y y y

x

x

x

x

A

B

C

D


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