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安徽省潜山县野寨中学2015-2016学年高二数学上学期第二次段考试题 文


野寨中学 2015-2016 学年度第一学期高二年级第二次段考 数学(文)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.若 p : x ? 1, q :

1 ? 1 ,则 p 是 q 的 ( x



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充 要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则 ?p 是 ( ) A. ?x ? R,sin x ? 1 B. ?x ? R,sin x ? 1 C. ?x ? R,sin x ? 1 D. ?x ? R,sin x ? 1 3.下列叙述正确的个数是( ) ①若 p ? q 为假命题,则 p、 q 均为假命题; ②若命题 p : ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; ③在 ?ABC 中“ ?A ? 600 ”是“ cos A ?

④若向量 a, b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角。 A、1 B、2 C、3 D、4 ) D.

? ?

? ?

?

?

1 ”的充要条件; 2

4.函数 f ? x ? ? a ln x ? x 在 x ? 1 处取得极值,则 a 的值为( A. 0 B. ?1 ) C. ?

1 2

1 2

5.函数 y ? x3 ? 3x 的单调递减区间是( A. ? ??,0? B. ? 0, ???

C. ? ?1,1?

D. ? ??, ?1? ? ?1, ???

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m= ( 6.若焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 m
A. 3 B.



3 2

C.

8 3

D.

2 3

7.椭圆的两个焦点分别为 F1 (?8, 0) 、 F2 (8,0) ,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是 20 ,则椭圆的标 准方程为( )

x2 y 2 ? ?1 A. 100 36

x2 y2 ? ?1 B. 400 336

1

x2 y2 C. ? ?1 36 100

x2 y 2 D. ? ?1 20 12
)

8.已知抛物线 x 2 ? 2ay ( a 为常数)的准线经过点 (1, ? 1) ,则抛物线的焦点坐标为( A. (?1, 0) 9. k ? 5 是方程为 B. (1, 0) C. (0, ? 1) D. (0, 1)

x2 y2 ? ? 1 的曲线表示椭圆时的 ( k ?5 6?k
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

A.充分不必要条件 C.充分必要 条件

10.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? ln x ,则 f ?(1) ? ( A. ? e 11.已知双曲线 范围是( A. (1,3) ) B. ( B. ?1 C. 1 D. e



x 2 y2 - = 1 (a>0,b>0)的渐近线与圆 ( x ? 2)2+y2= 1 相交,则双曲线的离心率的取值 a 2 b2

2 3 ,+∞) 3

C. (1,

2 3 ) 3

D. (3,+∞)

12.设函数 f ( x), g ( x) 在 [ a, b] 上均可导,且 f ?( x) ? g ?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有( A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)



二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分) 13. 函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的极值是____________ 2
. .

14.抛物线 y 2 ? ?4 x 的准线方程为
3 2

15.若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调增函数,则 m 的取值范围是 16 . F1 (?4,0) 、 F2 (4,0) 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的两个焦点,点 M 是双曲线 C 上一点,且 m 4


?F1MF2 ? 600 , 则 ?F1MF2 的面积为
三、解答题(本题共 6 大题)

2

17.已知命题 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ,命题 q : x 2 ? 2x ? (1 ? m)(1 ? m) ? 0?m ? 0? ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条 3

件,求实数 m 的取值范围.(10 分)

18.(12 分)已知命题 P:任意“ x ? ? ,命题 q: “存在 x ? R, x 2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 ” 1, 2? , x 2 ? a ? 0 ” 若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。

19. (12 分)已知抛物线 C : y ? 4 x 与 直线 y ? 2 x ? 4 交于 A , B 两点.
2

(1)求弦 AB 的长度; (2)若点 P 在抛物线 C 上,且 ?ABP 的面积为 12 ,求 P 点的坐标.

20. (12 分)已知函数 f ? x ? =alnx+x +bx+1 在点(1,f(1) )处的切线方程为 4x? y? 12=0。
2

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求 f ? x ? 的单调区间和极值。

2 21.(12 分)定义在实数集上的函数 f ( x) ? x ? x, g ( x) ?

1 3 x ? 2x ? m . 3

(1)求函数 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; (2)若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? [?4, 4] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22. (12 分)已知椭圆

3 x2 y2 1) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 B (0 , 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若点 B 始终在 以 PQ 为直径的圆内,求实数 k 的取值范围.
3

野寨中学 2015-2016 学年度第一学期高二年级第二次段考 数学(文)参考答案 1.A 6.B 11.C 13. ? 2.C 7.A 12.B 3.B 8.D 4.B 9.B 5.C 10.B

1 2

14. x ? 1

?1 ?3 16. 4 3

15. ? , ?? ?

? ?

17. m ? 9

x ?1 ? 2可得 ? 2 ? x ? 10 3 由 q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0)可得 1? m ? x ? 1? m 方法一:??p : x ? ?2或x ? 10, ?q : x ? 1 ? m或x ? 1 ? m ? ?p是?q的必要不充分条件,则 ?p ?? ?q且?q ? ?p
试题解析:解由 p : 1 ?

? x x ? 1? m或x ? 1? m, m ? 0 ? x x ? ?2或x ? 10

?

? ?

?

?1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? ?2 ?? 或? ,解得m ? 9 ?1 ? m ? 10 ?1 ? m ? 10 ? 实数 m 的取值范围是 ?9,??? . ?p ?? ?q且?q ? ?p 方法二:? ?p是?q的必要不充分条件,则 ? q ?? p且p ? q

??x ? 2 ? x ? 10?? ?x1? m ? x ? 1? m, m ? 0?

?1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? ?2 ?? 或? ,解得m ? 9 ?1 ? m ? 10 ?1 ? m ? 10 ? 实数 m 的取值范围是 ?9,??? .
18. a ? ?? 1, 1? ? ?3, ? ??

2 1, 2? , x 2 ? a ? 0 ” 试题解析:命题 p : 任意“ x ? ? ,只需 a ? x ,对 x ? [1,2] 恒成立,而 y ? x 2 在 [1,2]

上 是 增 函数 , x ? 1 时 , y m i n ? 1 , 即: a ? 1 ; 命 题 q : “ 存在 x ? R, x 2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 ” ,只需

? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0, 即:? 1 ? a ? 3 .则 p : a ? 1 ,q : a ? ?1或a ? 3 , 根据 “p 或 q” 为真, “p 且 q” 为假命题, 只要 p、q
一真一假即可. (1)若 p 真 q 假,则 ?

a ?1 ? a ?1 ? (2) p 假 q 真,则 ? ?? ?1a ? 1 , ? a ? 3 ,综上所述: ?? 1 ? a ? 3 ?a ? ?1或a ? 3 a 的取值范围是 a ? ?? 1, 1? ? ?3, ? ??

19. (1) 3 5 ; (2) ? 9, 6 ? 或 ? 4, ?4 ?
4

试题解析: (Ⅰ)设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,由 ? 法一:又由韦达定理有 x1 ? x2 ? 5 , x1 x2 ? 4 , ∴ AB ? 1 ? 2 | x1 ? x2 |? 1 ? 2 ?
2 2 2

? y ? 2x ? 4 ? y ? 4x
2

得 x2 ? 5x ? 4 ? 0 , ? ? 0 .

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 5 ? 25 ? 16 ? 3 5 .

法二:解方程得: x ? 1 或 4 ,∴ A 、 B 两点的坐标为 ?1, ?2? 、 ? 4, 4 ? , ∴ AB ?

(4 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 3 5 .
? yo 2 ? , yo ? ,设点 P 到 AB 的距离为 d ,则 d ? ? 4 ?
yo 2 ? yo ? 4 2 5 ? 12 ,
yo 2 ? yo ? 4 2 5

(Ⅱ)设点 P ?



∴ S? ABC ? ∴ ∴

1 ?3 5 ? 2

yo 2 ? yo ? 4 ? 8 . 2

yo 2 ? yo ? 4 ? ?8 ,解得 yo ? 6 或 yo ? ?4 , 2 ∴ P 点为 ? 9, 6 ? 或 ? 4, ?4 ? .
20. (1) f ( x) ? 12ln x ? x 2 ?10x ? 1 ; (2) f ( x) 在区间 (0, 2) 和 (3, ??) 单调递增,在区间 (2,3) 单调递 减, f极大值 ? 12ln2 ? 15, f极小值 ? 12ln3 ? 20 .

a ? 2 x ? b ,由题 f ' (1) ? 4, f (1) ? ?8 x ?a ? 12 ? f (1) ? b ? 2 ? ?8 则? ,解得 ? ?b ? ?10 ? f ' (1) ? a ? b ? 2 ? 4
试题解析: (1)求导 f ' ( x) ? 所以 f ( x) ? 12ln x ? x 2 ?10x ? 1

f ( x) 定义域为 (0,??) , f ' ( x) ?

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 2或x ? 3 ,

12 2( x 2 ? 5 x ? 6) ? 2 x ? 10 ? x x

所以 f ( x) 在区间 (0, 2) 和 (3, ??) 单调递增,在区间 (2,3) 单调递减. 故 f极大值 ? f (2) ? 12ln 2 ?15, f极小值 ? f (3) ? 12ln 3 ? 20

5 3 2 试题解析: (1)∵ f ( x) ? x ? x ,当 x ? 1 时, f (1) ? 2 ∵ f '( x) ? 2 x ? 1 ? f '(1) ? 3 ∴所求切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ? 3x ? y ? 1 ? 0 . 1 3 2 (2)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 3 x ? m ? h '( x) ? ( x ? 3)( x ? 1) 3 ∴当 ?4 ? x ? ?1 时, h '( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 3 时, h '( x) ? 0 ; 当 3 ? x ? 4 时, h '( x) ? 0 ;
21. (1) 3x ? y ? 1 ? 0 , (2) (??, ? ] 要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 h( x)max ? 0 .
5

由上知 h( x) 的最大值在 x ? ?1 或 x ? 4 取得.

5 20 5 5 , h(4) ? m ? ? m? ? 0? m? ? 3 3 3 3 5 ∴实数 m 的取值范围 (??, ? ] . 3 2 x 3 1 ? y 2 ? 1; 22. (Ⅰ) (Ⅱ) k ? ( ? , ) 10 2 4 ?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? ? ?e ? ? a 2 ,解得 ?b ? 1 , 试题解析: (Ⅰ)由题意知 ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c ?c ? 3 x2 ? y 2 ? 1. 椭圆的标准方程为: 4 (Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0.(?) 2 ? ? y ?1 ?4 依题意:直线 l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点,
而 h(?1) ? m ? 所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0 ----① ,由(*)式, x1 ? x2 ? ?

16k 2 (1 ? 4k 2 )

②,

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ③,

2 ? 8k 2 4k , y2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ??? ? ??? ? 由点 B 在以 PQ 为直径的圆内,得 ?PBQ 为钝角 或平角,即 BP ? BQ ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BP ? BQ ? ?2x2 ? y2 ? 1 ? 0 . BP ? (? 2, ?1 ), BQ ? (x2,y2 ? 1 )
由①②③, x2 ?

4 ? 16k 2 4k ? ?1 ? 0 2 1 ? 4k 2 即 1 ? 4k ,
整理得 20k ? 4k ? 3 ? 0 .
2

解得: k ? ( ?

3 1 , ). 10 2

6



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