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2019版高考数学一轮复习第12章选4系列12.1坐标系学案理

12.1 坐标系 [知识梳理] 1.伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :? ?x′=λ ? ?y′=μ ? x?λ >0?, y?μ >0? 的作 用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简 称伸缩变换. 2.极坐标 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ ≥0,θ 可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ ,θ ),则它们之间的关 系为: ?x=ρ cosθ , ? ?y=ρ sinθ ; [诊断自测] 1.概念思辨 ρ =x +y , ? ? ? y tanθ = ?x≠0?. ? x ? 2 2 2 (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系.( ) ) ? 3π ? (2)点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为?2, ?.( 4 ? ? 1 (3)过极点作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ =α 或 θ =π +α .( (4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ =2asinθ .( 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× ) ) 2.教材衍化 (1)(选修 A4-4P15T4)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( 1 π A.ρ = ,0≤θ ≤ cosθ +sinθ 2 1 π B.ρ = ,0≤θ ≤ cosθ +sinθ 4 π C.ρ =cosθ +sinθ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cosθ +sinθ ,0≤θ ≤ 4 答案 A 解析 ∵y=1-x(0≤x≤1), ∴ρ sinθ =1-ρ cosθ (0≤ρ cosθ ≤1); ∴ρ = 1 ?0≤θ ≤π ?.故选 A. ? 2? sinθ +cosθ ? ? 2 ) ?x+1? (2)(选修 A4-4P8T5)通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换,可以把椭圆 9 2 ?y-1? + =1 变为圆心在原点的单位圆,求上述平移变换和伸缩变换,以及这两种变换的合 4 成的变换. 解 先通过平移变换? ? ?x′=x+1, ?y′=y-1, ? ?x+1? ?y-1? x′ y′ 把椭圆 + =1 变为椭圆 + = 9 4 9 4 2 2 2 2 x′ ? ?x″= 3 , 1;再通过伸缩变换? y′ ?y″= 2 , ? 把椭圆 x′2 y′2 9 + 4 =1 变为单位圆 x″ +y″ =1. 2 2 x+1 x″= , ? ? 3 上述两种变换的合成变换是? y-1 y″= . ? ? 2 3.小题热身 ? π? (1)(2017·东营模拟)在极坐标系中,已知点 P?2, ?,则过点 P 且平行于极轴的直线 6? ? 方程是( ) 2 A.ρ sinθ =1 B.ρ sinθ = 3 答案 A C.ρ cosθ =1 D.ρ cosθ = 3 π ? π? 解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P?2, ?转化为点 x=ρ cosθ =2cos = 3,y 6? 6 ? π =ρ sinθ =2sin =1,即( 3,1),过点( 3,1)且平行于 x 轴的直线为 y=1,再化为极 6 坐标为 ρ sinθ =1.故选 A. (2)(2016·北京高考 ) 在极坐标系中,直线 ρ cosθ - 3 ρ sinθ - 1 = 0 与圆 ρ = 2cosθ 交于 A,B 两点,则|AB|=________. 答案 2 解析 将 ρ cosθ - 3ρ sinθ -1=0 化为直角坐标方程为 x- 3y-1=0,将 ρ = 2cosθ 化为直角坐标方程为(x-1) +y =1,圆心坐标为(1,0),半径 r=1,又(1,0)在直线 2 2 x- 3y-1=0 上,所以|AB|=2r=2. 题型 1 平面直角坐标系中的伸缩变换 典例 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 2 2 C. (1)求曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 由题意找出(x,y)与(x1,y1)的关系,采用代入法求解. 解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C 上点(x,y), ? ?x=x1, ?y=2y1, ? 2 依题意,得? 2 2 由 x1+y1=1 得 x +? ? =1, ?2? 故曲线 C 的方程为 x + =1. 4 2 ?y?2 y2 y ? ?x2+ =1, 4 (2)由? ? ?2x+y-2=0, 2 解得? ? ?x=1, ?y=0 ? 或? ? ?x=0, ?y=2. ? 1 ?1 ? 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ,1?,所求直线斜率为 k= , 2 2 ? ? 1? 1? 于是所求直线方程为 y-1= ?x- ?, 2? 2? 化为极坐标方程,并整理得 2ρ cosθ -4ρ sinθ =-3, 3 故所求直线的极坐标方程为 ρ = . 4sinθ -2cosθ 3 方法技巧 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 y=f(x)在变换 φ :? ?x′=λ ? ? ?y′=μ x?λ >0?, y?μ >0? 的作用下的变换方程的求法是 x′ x= , ? ? λ 将? y′ ? ?y= μ 代入 y=f(x),得 y′ μ =f? ?x′?,整理之后得到 y′=h(x′),即为所求 ? ?λ ? 变换之


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