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2019版高考数学一轮复习第12章选4系列12.1坐标系学案理


12.1 坐标系 [知识梳理] 1.伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :? ?x′=λ ? ?y′=μ ? x?λ >0?, y?μ >0? 的作 用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简 称伸缩变换. 2.极坐标 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ ≥0,θ 可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ ,θ ),则它们之间的关 系为: ?x=ρ cosθ , ? ?y=ρ sinθ ; [诊断自测] 1.概念思辨 ρ =x +y , ? ? ? y tanθ = ?x≠0?. ? x ? 2 2 2 (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系.( ) ) ? 3π ? (2)点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为?2, ?.( 4 ? ? 1 (3)过极点作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ =α 或 θ =π +α .( (4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ =2asinθ .( 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× ) ) 2.教材衍化 (1)(选修 A4-4P15T4)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( 1 π A.ρ = ,0≤θ ≤ cosθ +sinθ 2 1 π B.ρ = ,0≤θ ≤ cosθ +sinθ 4 π C.ρ =cosθ +sinθ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cosθ +sinθ ,0≤θ ≤ 4 答案 A 解析 ∵y=1-x(0≤x≤1), ∴ρ sinθ =1-ρ cosθ (0≤ρ cosθ ≤1); ∴ρ = 1 ?0≤θ ≤π ?.故选 A. ? 2? sinθ +cosθ ? ? 2 ) ?x+1? (2)(选修 A4-4P8T5)通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换,可以把椭圆 9 2 ?y-1? + =1 变为圆心在原点的单位圆,求上述平移变换和伸缩变换,以及这两种变换的合 4 成的变换. 解 先通过平移变换? ? ?x′=x+1, ?y′=y-1, ? ?x+1? ?y-1? x′ y′ 把椭圆 + =1 变为椭圆 + = 9 4 9 4 2 2 2 2 x′ ? ?x″= 3 , 1;再通过伸缩变换? y′ ?y″= 2 , ? 把椭圆 x′2 y′2 9 + 4 =1 变为单位圆 x″ +y″ =1. 2 2 x+1 x″= , ? ? 3 上述两种变换的合成变换是? y-1 y″= . ? ? 2 3.小题热身 ? π? (1)(2017·东营模拟)在极坐标系中,已知点 P?2, ?,则过点 P 且平行于极轴的直线 6? ? 方程是( ) 2 A.ρ sinθ =1 B.ρ sinθ = 3 答案 A C.ρ cosθ =1 D.ρ cosθ = 3 π ? π? 解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P?2, ?转化为点 x=ρ cosθ =2cos = 3,y 6? 6 ? π =ρ sinθ =2sin =1,即( 3,1),过点( 3,1)且平行于 x 轴的直线为 y=1,再化为极 6 坐标为 ρ sinθ =1.故选 A. (2)(2016·北京高考


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