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2014辽宁省数学(文)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3.已知 a ? 2
?

B. 2 ? 3i
1 3

C. 3 ? 2 i

D. 3 ? 2i ) D. c ? b ? a )

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

5.设 a,b,c 是非零向量,已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若 a / /b, b / / c ,则

a / / c ,则下列命题中真命题是(
A. p ? q B. p ? q

) D. p ? (?q)

C. (?p) ? (?q)

6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径 的半圆内的概率是( A. )

? 2

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 8

D

C

A
A. 8 ?

B


7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(

? 4

B. 8 ?

? 2

C. 8 ? ?

D. 8 ? 2?

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8. 已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y 2 ? 2 px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( A. ?



4 3

B. ? 1

C. ?

3 4

D. ?
aa

1 2


9. 设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

1 ? cos ? x , x ? [0, ] ? 1 ? 2 10.已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ,则不等式 f ( x ? 1) ? 的解集为 2 ? 2 x ? 1, x ? ( 1 , ??) ? ? 2
( )

A. [ , ] [ , ]

1 2 4 3

4 7 3 4

B. [ ?

3 1 1 2 ,? ] [ , ] 4 3 4 3

C. [ , ] [ , ]

1 3 3 4

4 7 3 4

D. [ ?

3 1 1 3 ,? ] [ , ] 4 3 3 4

11. 将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [ B.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2



, ] 上单调递减 12 12

? 7?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3
3 2

? ?

12. 当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]



9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

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第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 执行右侧的程序框图,若输入 n ? 3 ,则输出 T ? .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14.已知 x,y 满足条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值为 ? 3x ? y ? 3 ? 0 ?
15. 已知椭圆 C:

.

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 9 4
.
2

线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?
2

16. 对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时, 最小值为 .

1 2 4 ? ? 的 a b c

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ) cos( B ? C ) 的值.

1 , b ? 3 ,求: 3

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18. (本小题满分 12 分)

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某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所 示:

(Ⅰ)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有 差异” ; (Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随 机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

19. (本小题满分 12 分)
0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、

F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点. (Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCG; (Ⅱ)求三棱锥 D-BCG 的体积.

1 附:椎体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高. 3
A E G B F D C

20. (本小题满分 12 分) 圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P
2 2

(如图). (Ⅰ)求点 P 的坐标;

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(Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l : y ? x+ 3 交于 A,B 两点,若 ?PAB 的面积为 2, 求 C 的标准方程.
y

P O x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 , g ( x) ? ( x ? ? ) 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0 ? (0, (Ⅱ)存在唯一 x1 ? (

1 ? sin x 2 x ? ?1 . 1 ? sin x ?

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0,有 x0 ? x1 ? ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A, 作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC=BD,求证:AB=ED.

B D

E

F A

G C

P

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐

l 标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程.

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24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 | x ?1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16x2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N. (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

参考答案
1.D 2.A 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.C 9.D 13. 20 (17)解: 14. 18 15. 12 16. ?1 10.A 11.B 12.C

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? ( Ⅰ ) 由 B A? B C ? 2 得 , c ac o s B

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2 B? .又 cos

1 . 所 以 ca ? 6 . 由 余 弦 定 理 , 得 3

a2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B .
又b ? 3. 所以 a ? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 . 解?
2 2

? ac ? 6,
2 2 ? a ? c ? 13,

得 a ? 2, c ? 3 或 a ? 3, c ? 2 . 因为 a ? c . 所

以 a ? 3, c ? 2 .
2 2 ( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?

1 3

2 2 . 由 正 弦 定 理 得 , 3
C
为 锐 角 . 因 此

c 2 2 2 4 2 sin C ? sin B ? ? ? b 3 3 9

. 因

a?

? b

c 所 以 ,

cos C ? 1 ? sin2 C ? 1 ? (
?

4 2 2 ) 9

7 1 7 2 2 4 2 23 .于是 cos(B? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? ? . ? ? 9 3 9 3 9 27

18. (Ⅰ)将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算.得

x2 ?

n(n11n 22 ? n12 n 21 ) 2 100 ? (60 ?10 ? 20 ?10)2 100 ? 4.762 .由于 4.762 ? 3.841 .所以有 ? ? 21 70 ? 30 ? 80 ? 20 n1? n2? n?1n?2

. 950 / 0 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异” (Ⅱ)从 5 名数学系的学生任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间

?=?(a1, a2 , b1 ),(a1, a2 , b2 ),(a1, a2 , b3 ),(a1,b1, b2 ) , (a1 , b2 , b3 ),(a1, b1, b3 ),(a2 , b1, b2 ), (a2 , b2 , b3 ) ,
i ? 1, 2 . 其中 a i 表示喜欢甜品的学生, (a2 , b1 , b3 ) , b j 表示不喜欢甜品的学生,j ? 1, 2,3 . (b1,b2 , b3 )? .
? 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件出现是等可能的.用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”
这一事件,则 事件 A 是由 7 A ? ?(a1,b1, b2 ),(a1,b2 , b3 ),(a1,b1, b3 ),(a2 ,b1, b2 ),(a2 ,b2 , b3 ), (a2 ,b1, b3 ),(b1,b2 , b3 )? . 个基本事件组成.因而 P ( A) ?

7 . 10

19. (Ⅰ)证明:由已知得 ?ABC ? ?DBC .因此 AC ? DC .又 G 为 AD 中点,所以 CG ? AD ; 同理 BG ? AD ;因此 AD ? 平面 BGC .又 EF / / AD .所以 EF ? 平面 BCG. (Ⅱ)在平面 ABC 内.作 AO ? CB .交 CB 延长线于 O .由平面 ABC ? 平面 BCD .知 AO ? 平 面 BDC .

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又 G 为 AD 中 点 , 因 此 G 到 平 面 BCD 距 离 h 是 AO 长 度 的 一 半 . 在 ?AOB 中 ,
0 A O? A B ?s i n 6 0?

. 3

所以 VD ? BCG ? VG ? BCD ?

1 1 1 3 1 ? S?DBC ? h ? ? ? BD ? BC ? sin1200 ? ? . 3 3 2 2 2

A E G O B F D
20. ( Ⅰ ) 设 切 点 坐 标 为 (x0 , y0 ) (x0 ? 0, y0 ? 0) . 则 切 线 斜 率 为 ?

C

x0 .切线方程为 y0

y? y0 ? ?

x0 (x ? x 0 ) .即 x0 x ? y0 y ? 4 .此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 y0

1 4 4 8 . 由 x02 ? y02 ? 4 ? 2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时,x0 y0 有最大值. 即S 有 S? ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0
最小值.因此点 P 的坐标为 ( 2, 2) . (Ⅱ)设 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . 点 A( x .) 由点 P 在 C 上知 1 , y 1 ) , B( 2x , 2y a 2 b2

? x2 y 2 ? 1, 2 2 ? ? 2 2 2 ? 2 ? 1 . 并 由 ? a 2 b2 得 b x ? 4 3x ? 6 ? 2b ? 0 . 又 x1 , x2 是 方 程 的 根 , 因 此 2 a b ? y ? x ? 3, ?

? 4 3 x1 ? x2 ? ? 2 ? 48 ? 24b2 ? 8b4 ? b , 由 , , 得 . 由 AB ? 2 x ? x ? 2 ? y1 ? x1 ? 3 y2 ? x2 ? 3 ? 1 2 2 2 b 6 ? 2 b ?x x ? 1 2 ? b2 ?
点 P 到直线 l 的距离为

3 1 3 及 S?PAB ? AB ? 2 得 b4 ? 9b2 ? 18 ? 0 .解得 b2 ? 6 或 3 .因此 2 2 2

b2 ? 6 , a 2 ? 3 (舍)或 b2 ? 3 ,
a 2 ? 6 .从而所求 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 6 3

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21. (Ⅰ)当 x ? (0,

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?

?

) 时, f ' ( x) ? ? ? ? sin x ? 2 cosx ? 0,所以 f ( x) 在 (0, ) 上为增函数.又 2 2

? 4 ? 0 .所以存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 . f (0) ? ?? ? 2 ? 0 . f ( ) ? 2 2 2
) 时, (Ⅱ) 当 x?( , ? 化简得 g ( x) ? (? ? x) 2

?

?2

?

?

cos x 2x ? ?1 . 令t ?? ? x. 记 u( t ) ?g ( ? ? t ) ?? 1 ? sin x ?

t cos t 2t ? f (t ) ? ? 1 . t ? (0, ) .则 u ' (t ) ? .由(Ⅰ)得,当 t ? (0, x 0 ) 时, u ' (t ) ? 0 ;当 1 ? sin t ? 2 ? (1 ? sin t )
t ? ( x0 , ) 时, 从而在 ( x0 , ) 上 u(t ) 为增函数, 由 u ( ) ? 0 知, 当 t ? [ x0 , ) 时, u(t ) ? 0 , u ' (t ) ? 0 . 2 2 2 2
所 以 u(t ) 在 [ x0 ,

?

?

?

?

?
2

) 上 无 零 点 . 在 (0, x 0 ) 上 u(t ) 为 减 函 数 , 由 u(0) ? 1及 u ( x0 ) ? 0 知 存 在 唯 一
. 设 0

? ? t0 ? (0, x 0 ) , 使 得 u( x0 ) ? 0 . 于 是 存 在 唯 一 t0 ? (0, ) , 使 得 u(t0 ) 2
x1 ? ? ? t0 ? ( , ? ) . g ( x1 ) ? g (? ? t0 ) ? u(t0 ) ? 0 2
.因此存在唯一的 x1 ? (

?

?
2

, ? ) ,使得 g ( x1 ) ? 0 .由于 x1 ? ? ? t0 , t0 ? x 0 ,所以 x0 ? x1 ? ? .

22. (Ⅰ)因为 PG ? PD .所以 ?PDG ? ?PGD .由于 PD 为切线,所以 ?PDA ? ?DBA .又由于 ?PGD ? ?EGA ,故 ?DBA ? ?EGA . 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD, 从而?BDA ? ?PFA
0 0 由于 AF ? EP ,所以 ?PFA ? 90 ,于是 ?BDA ? 90 .故 AB 为圆的直径.

(Ⅱ)连接 BC、DC .由于 AB 是直径,故 ?BDA ? ?ACB ? 90 .在 Rt ? BDA 和 Rt ?ACB 中,
0

AB ? BA,AC ? BD . 从而 Rt ?BDA ? Rt ?ACB . 于是 ?DAB ? ?CBA . 又因为 ?DCB ? ?DAB ,
所以 ?DCB ? ?CBA .故 DC / / AB .由于 AB ? EP ,所以 DC ? EP , ?DCE 为直角.于是 ED 为直径.由(Ⅰ)得, ED ? AB .

B D

E

F A

G C

P

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? x ? x1 , 由 x12 ? y12 ? 1 得 y ? 2 y , ? 1

23. (Ⅰ)设 ( x1 , y1 ) 为圆上的点,经变换为 C 上点 (x, y) .依题意,得 ?

y x 2 ? ( )2 ? 1 . 2
2 ? x ? cos t , y 即曲线 C 的方程为 x ? ( t 为参数) . ? 1 .故 C 的参数方程为 ? 4 ? y ? 2sin t , 2

? 2 y2 ? x ? 1, ? x ? 0, ? 1, ?x ? (Ⅱ)由 ? 解得 ? 或? 不妨设 P 4 1 2 的中点坐标为 1 (1,0), P 2 (0, 2) .则线段 PP ? y ? 0, ? y ? 2, ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
1 ( ,1) . 2
所求直线的斜率为 k ?

1 1 1 .于是所求直线方程为 y ? 1 ? (x ? ) .化为极坐标方程为 2 2 2

2? cos ? ? 4? sin ?
? ?3 ,即 ? ?

3 . 4sin ? ? 2 cos ?

24.(Ⅰ) f ( x) ? ? 时,

?3x ? 3, x ?[1, ??), 4 4 当 x ? 1 时, 由 f ( x) ? 3 x ? 3 ? 1 得 x ? . 故1 ? x ? ; 当 x ?1 3 3 ?1 ? x, x ? (??,1), ? ? 4? ?. 3?

由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 .所以 f ( x) ? 1 的解集为 M ? ? x 0 ? x ?
2 2 (x- ) ? 4, (Ⅱ) 由 g ( x) ? 16x ? 8x ? 1 ? 4 得 16 解得:?

1 4

1 3 ? 1 3? ?x? . 因此 N ? ? x ? ? x ? ? , 4 4 4 4? ?

故M

? 3? N ? ?x 0 ? x ? ? . 4? ?
N 时, f ( x) ? 1 ? x ,故

当 x?M

x2 f ( x) ? x ?[ f ( x)]2 ? xf ( x)[ x ? f ( x)] ? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ?

1 1 1 ? ( x ? )2 ? . 4 2 4

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