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(新课标人教版A)数学必修一:2-2-2-1对数函数_图文

2.2.2

对数函数及其性质

第 1 课时 对数函数的图象及性质

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【课标要求】 1.初步理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图象和性质. 3.类比指数函数,研究对数函数的性质. 【核心扫描】 1.对数函数的图象及性质.(重点) 2.根据对数函数的定义判断一个函数是否是对数函数.(易错点)

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自学导引 1.对数函数的定义 函数 y=logax(a>0且a≠1)
2.对数函数的图象与性质

叫做对数函数,其中 x 是自变量.

定义 底数

y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1

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图象

定义域 值域

(0,+∞) R

单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

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共点性

图象过点( 1,0 ),即loga1=0 x∈(0,1)时, x∈(0,1)时, );

函数值 y∈ (-∞,0) ; y∈( 0,+∞

特点

x∈[1,+∞)时, x∈[1,+∞)时,
y∈[ 0,+∞ ) y∈( -∞,0 ]

对称性 函数y=logax与y=

的图象关于 x轴 对称

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想一想: 你知道函数 y=ax 与 y=logax 的定义域与值域的关系吗? 提示 y=ax 的定义域为 R,值域为(0,+∞),y=logax 的定义域

为(0,+∞),值域为 R,即它们的它义域和值域互换. 3.反函数
x 对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)和 y=a (a>0且a≠1)

互为反函

数.

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名师点睛 1.正确理解对数函数的概念 (1)同指数函数一样, 对数函数仍然采用形式定义, y=2log2x, 如 y=log2x2 等都不是对数函数, 只有 y=logax(a>0, a≠1)才是. 且 (2)由于指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的定义域是 R,值域为(0, +∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道,对数函数 y= logax(a>0,且 a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为 R,它们互 为反函数,它们的定义域和值域互换,指数函数 y=ax 的图象 过(0,1)点,故对数函数图象必过(1,0)点.

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2.函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的底数变化对图象位置的影响

观察图象,注意变化规律: (1)上下比较:在直线 x=1 的右侧,a>1 时,a 越大,图象向右 越靠近 x 轴,0<a<1 时,a 越小,图象向右越靠近 x 轴.也就是 说,不论 a 取何值,在第一象限内,a 值越大,图象靠近 x 轴. (2)左右比较:比较图象与 y=1 的交点,交点的横坐标越大, 对应的对数函数的底数越大.
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题型一

与对数函数有关的定义域问题

【例 1】 求下列函数的定义域: 3x2 (1)y=lg(x+1)+ ; 1-x (2)y=log(x-2)(5-x). [思路探索] 根据对数的意义:底数大于 0 且不等于 1,真数大 于 0 建立不等式求解.

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解 (1)要使函数有意义,
?x+1>0, ? 需? ?1-x>0, ? ?x>-1, ? 即? ?x<1. ?

∴-1<x<1,∴函数的定义域为(-1,1). ?5-x>0, ? (2)要使函数有意义,需?x-2>0, ?x-2≠1, ? ∴定义域为(2,3)∪(3,5). ?x<5, ? ,∴?x>2, ?x≠3. ?

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规律方法

求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已

学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下 要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数, 大于 0 且不为 1.

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【变式 1】 求下列函数的定义域: (1)y= lg?2-x?; 解 1 (2)y= . log3?3x-2?

(1)由题意,得 lg(2-x)≥0,

即 2-x≥1,所以 x≤1, 则 y= lg?2-x?的定义域为{x|x≤1}.
?log ?3x-2?≠0, ? 3 ? (2)由 ?3x-2>0, ? ?3x-2≠1, ? 得? ?3x>2, ?

2 解得 x>3且 x≠1.
? ? 2 1 ? ? ?x|x> 且x≠1?. 所以 y= 的定义域为 3 ? ? log3?3x-x? ? ?
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题型二

对数函数的图象

【例 2】 已知函数 y=loga(x+b)的图象如图所示, (1)求实数 a 与 b 的值. (2)函数 y=loga(x+b)与 y=logax 图象有何关系? [思路探索] 由图象上特殊点的坐标求 a,b 值,再结合图象的 平移变换求解.

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解 (1)由图象可知,函数的图象过(-3,0)点与(0,2)点,所以得 方程 0=loga(-3+b)与 2=logab,解出 a=2,b=4. (2)函数 y=loga(x+4)可以看作 y=logax 的图象向左平移 4 个单 位. 规律方法 (1)由图象求函数的参数时,应充分得利用图象中的 特殊点的数量关系求解. (2)常用的几种函数图象变换: ①一般地, 函数 y=f(x± b(a、 为正数)的图象可由函数 y=f(x) a)± b 的图象变换得到.

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将 y=f(x)的图象向左或向右平移 a 个单位可得到函数 y=f(x± a) 的图象, 再向上或向下平移 b 个单位可得到函数 y=f(x± b 的 a)± 图象(记忆口诀:左加右减,上加下减). ②含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换,一般地,y =|f(x)|的图象是保留 y=f(x)图象在 x 轴上方的部分,并把 x 轴 下方的部分以 x 轴为对称轴对称到 x 轴上方而得到的. ③y=f(x)的图象与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称,y=f(x)的图 象与 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称.

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【变式 2】 右图是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 值取 3, 4 3 1 , , ,则图象 C1,C2,C3,C4 相应的 a 值依次是( 3 5 10 4 3 1 A. 3、3、5、10 4 1 3 B. 3、3、10、5 4 3 1 C.3、 3、5、10 4 1 3 D.3、 3、10、5 ).

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解析

过(0,1)作平行于 x 轴的直线,与 C1,C2,C3,C4 的交点

的坐标为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中 a1,a2,a3,a4 分别 为各对数的底,显然 a1>a2>a3>a4,所以 C1,C2,C3,C4 的底 值依次由大到小. 答案 A

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题型三

求函数的反函数

【例 3】 (12 分)求下列函数的反函数. (1)y=10 ; (3)y=
x

?4? (2)y=?5?x; ? ?

x;

(4)y=log7x.

审题指导 本题给出的不是指数函数就是对数函数, 解答本题根 据它们的关系可得结果.

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[规范解答] (1)指数函数 y=10x,它的底数是 10,它的反函数是 对数函数 y=lg x.(3 分) (2)指数函数 =
?4?x 4 ? ? ,它的底数是 ,它的反函数是对数函数 y= 5 ?5?

y

x

.(6 分) 1 x, 它的底数是 , x 3 它的反函数是指数函数 y

(3)对数函数 y=
?1? =? ?x.(9 ?3?

分)

(4)对数函数 y=log7x,它的底数是 7,它的反函数是指数函数 y =7x.(12 分)

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【题后反思】 关于反函数要掌握: (1)指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1, x>0)互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换. (3)它们的图象关于 y=x 对称. 对于其他性质大家可以通过具体的函数自己得到,一般不作要 求.

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【变式 3】 已知函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3x(x>0)的图象 关于直线 y=x 对称,求 y=f(x)的解析式. 解 据题意知 y=f(x)为 y=log3x 的反函数,

而对数函数 y=log3x 的底数是 3, 故它的反函数是指数函数 y=f(x)=3x.

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误区警示 因忽略对数函数的定义域而出错 【示例】 已知函数 y=f(x),x,y 满足关系式 lg(lg y)=lg(3x) +lg(3-x),求函数 y=f(x)的表达式及定义域、值域. [错解] 因为 lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x)=lg(3x(3-x))① 所以 lg y=3x(3-x),所以 y=103x(3
-x)

(x∈R,y>0).

错解没有注意到对数函数的定义域,即表达式①成
?3x>0, ? 立的前提为? ?3-x>0, ?

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[正解] 因为 lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x), ?3x>0, ? 所以?3-x>0, ?lg y>0, ?
?0<x<3, ? 即? ?y>1, ?

又 lg(lg y)=lg(3x)+lg (3-x)=lg(3x(3-x)),所以 lg y=3x(3- x),所以 y=103x(3
-x).

因为 0<x<3,所以
? 27? ∈?1,10 4 ?. ? ?

? 3?2 27 ? 27? 3x(3-x)=-3?x-2? + ∈?0, 4 ?,所以 4 ? ? ? ?

y

所以函数 y=f(x)的表达式为 y=103x(3 为 .

-x)

,定义域为(0,3),值域

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解决含有对数的问题时一定要使对数式有意义,即要 使对数的真数大于 0, 底数大于 0 且不等于 1, 也就是说无论是 解对数方程、对数不等式,还是解决含对数的函数问题都必须 始终关注这一点.

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