9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市2015届2014年高三数学(文)模拟试题分类汇编:椭圆

北京市 2015 届 2014 年高三数学(文)模拟试题分类汇编: 椭圆
一、选择题 1. (2013-2014 丰台第一学期期末)设点 F1, F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

uuu r uuu r 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 的最小值为 0 ,则椭圆的离
心率为 (A)
1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

3 4

二、解答题 1.(2013 北京卷文) 直线 y ? kx ? m( m ? 0 )W : 坐标原点 (1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长。 (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形。

x2 ? y 2 ? 1相交于 A ,C 两点,O 是 4

2. (2014 北京卷文)已知椭圆 C: x ? 2 y ? 4 .
2 2

(1) 求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度 的最小值.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,过焦点且垂直于 a 2 b2 长轴的直线被椭圆截得的弦长为 1 ,过点 M (3,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A, B .
3. (2014 昌平期末)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点),求实数 t 的取值范 围.

uur

uu u r

uu u r

1

4. (2013-2014 朝阳期末)已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F 1 (? 2,0) , F 2 ( 2,0) ,一个顶 点为 A(0, ?1) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在斜率为 k (k ? 0) 的直线 l ,使直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,满足

AM ? AN . 若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.

5. (2013-2014 东城期末)已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为( 3 , 2 a b 2

0) . (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆的右焦点且斜率为 k 的直线与椭圆交于点 A(xl ,y1),B(x2,y2) ,若

x1 x2 y1 y2 ? 2 ? 0 , 求斜率 k 是的值. a2 b
x2 y2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 b 6. (2013-2014 海淀第一学期期末)已知椭圆 C : a 的离心率为 2 ,右焦
点为 F ,右顶点 A 在 圆 F : ( x ? 1)2 ? y2 ? r 2 (r ? 0) 上. (Ⅰ)求椭圆 C 和圆 F 的方程; (Ⅱ)已知过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B ,与圆 F 交于另一点 P .请判断是否存 在斜率不为 0 的直线 l , 使点 P 恰好为线段 AB 的中点, 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

7. (2013-2014 石景山第一学期期末) 已知椭圆 C : 且椭圆 C 的离心率为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (2 , 0) , a 2 b2

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,且 P 为线段

MN 中点,再过 P 作直线 l ? MN .证明:直线 l 恒过定点,并求出该定点的坐标.

2

8. (2014 朝阳一模) 已知椭圆 C : ( Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 3 一个焦点为 ( 3,0) . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) , 2 a b 2

(Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与 x 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的 垂直平分线与 x 轴交于点 Q ,求

| AB | 的取值范围. | PQ |

2 y2 9. ( 2014 大兴一模)已知椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )的右焦点为 F (2, 0) , 离心率为 a b

2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 经过点 M (0,1) 且与椭圆 C 交于不同 2
两点 A,B,当点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围.

x2 y 2 6 10.(2014 年东城一模)已知椭圆 G: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 A(1, )和点 B a b 3
(0,-1) . (I)求椭圆 G 的方程, (Ⅱ) 设过点 G 与直线 y=x+m 相交于不同的两点 M, N, 是否存在实数 m, 使得|BM|=|BN|? 若存在,求出实数 m;若不存在,请说明理由.

x2 y2 11. (2014 年房山一模)已知椭圆 C : 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F (1, 0) ,离心 a b
率为

2 .设 P 是 椭 圆 C 长 轴 上 的 一 个 动 点 , 过 点 P 且斜率为 1 的 直 线 l 交 椭 圆 于 2

A , B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 | PA | ? | PB | 的 最 大 值 .
2 2

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b 12. (2014 年丰台一模)如图,已知椭圆 E: a 的离心率为 2 ,过
左焦点 F (? 3,0) 且斜 率为 k 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,直线 l :

x ? 4ky ? 0 交椭圆 E 于 C,D 两点.
3

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:点 M 在直线 l 上; (Ⅲ) 是否存在实数 k , 使得四边形 AOBC 为平行四边形? 若存在求出 k 的值,若不存在说明理 由.

13.(2014 年海淀一模)已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 4 上两点,点 M 的坐 标为 (1,0) . (Ⅰ)当 A, B 关于点 M (1,0) 对称时,求证: x1 ? x2 ? 1 ; (Ⅱ)当直线 AB 经过点 (0,3) 时,求证: ?MAB 不可能为等边三角形.

14.(2014 年西城一模)已知椭圆 W: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,过右焦点和短轴 b2

一个端点的直线的斜率为 ?1 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程. (Ⅱ) 设斜率为 k 的直线 l 与 W 相交于 A, B 两点, 记 ?AOB 面积的最大值为 S k , 证明:

S1 ? S 2 .

x2 y2 15.(2014 年延庆一模)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左 a b
顶点 A 和上顶点 D ,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 是椭圆上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 与直线 l:x ? 4 分别 交于 M , N 两点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)(ⅰ) 设直线 AS , BS 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证 k1 ? k 2 为定值; (ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值. A D O Y S B N

l
M x

4

16.(2014 年昌平二模)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 (?1,0), F2 (1,0) , a 2 b2
3 . 4
[来源:学。科。网]

点 P 是椭圆 C 上的一点, PF1 与 y 轴的交点 Q 恰为 PF1 的中点, OQ ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若点 A 为椭圆的右顶点,过焦点 F1 的直线与椭圆 C 交于不同的两点 M , N , 求

?AMN 面积的取值范围.

17.(2014 年朝阳二模)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 点到右顶点的距离为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,右焦 2

( Ⅱ ) 若 直 线 l : mx ? y ? 1 ? 0 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 , 是 否 存 在 实 数 m , 使

O A? O B ? O A ? O成立?若存在,求 B m 的值;若不存在,请说明理由.
x2 y 2 6 18.(2014 年东城二模)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F (2, 0) ,且离心率为 . a b 3
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过点 M (3,0) 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 A, B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为

C ,求△ MBC 面积的最大值.

x2 y 2 19.(2014 年丰台二模)已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离 a b
心率为为

2 .点 P 在椭圆 E 上,且 ?PF1F2 的周长为 4 2 ? 4 . 2
[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)若直线 l : y ? x ? m 与椭圆 E 交于 A, B 两点,O 为坐标原点,求△AOB 面积 的最大值.

20.(2014 年海淀二模)已知椭圆 G 的离心率为 (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程;

2 ,短轴端点分别为 A(0,1), B(0, ?1) . 2

(Ⅱ)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 BC 与 x 轴交于点 M ,判断
5

以线段 MD 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由. 21.(2014 年顺义二模)已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ,且线段 AB 的垂直平分线过定点 P ( , 0) ,求实数 k 的取值范围.

2 . 2

1 2

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,斜率为 k 的直 22.(2014 年西城二模)设 F1 , F2 分别为椭圆 W : 2
线 l 经过右焦点 F2 ,且与椭圆 W 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)求 ?ABF1 的周长; (Ⅱ)如果 ?ABF1 为直角三角形,求直线 l 的斜率 k .

北京市 2015 届 2014 年高三数学(文)模拟试题分类汇编:
6

椭圆参考答案
一、选择题 B 二、解答题 1. 解: (1)线段 OB 的垂直平分线为 y ? 因为四边形 OABC 为菱形, 所以直线 y ?

1 , 2

1 与椭圆的交点即为 A , C 两点 2

对椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1,令 y ? 得 x ? ? 3 2 4

所以 AC ? 2 3 (2)方法一:当点 B 不是 W 的顶点时,

? y ? kx ? m ? 联立方程 ? x 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 A( x1 , y1 ) , C ( x1 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 4 8km x x ? , , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 ? y2 ? k x ? k2x ? m 1? m ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m
??
?

8k 2 m ? 2m 1 ? 4k 2

2m 1 ? 4k 2
2 2

若四边形 OABC 为菱形,则 OA ? OC ,即 OA ? OC 所以 x12 ? y12 ? x22 ? y22 即 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) 因为点 B 不是 W 的顶点,所以 x1 ? x2 ? 0 ,

7

所以

x1 ? x2 y2 ? y1 ? y2 ? y1 x1 ? x2

8km 2 即 ? 1 ? 4k ? ?k ,即 k ? 4k 2m 1 ? 4k 2
所以 k ? 0 此时,直线 AC 与 y 轴垂直,所以 B 为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾, 所以四边形 OABC 不可能为菱形 方法二: 因为四边形 OABC 为菱形,所以 OA ? OC , 设 OA ? OC ? r ( r ? 1 )

x2 ? y 2 ? 1的交点 则 A , C 两点为圆 x ? y ? r 与椭圆 4
2 2 2

? x2 ? y 2 ? r 2 4(r 2 ? 1) ? 2 联立方程 ? x 2 得x ? 2 3 ? ? y ?1 ?4
所以 A , C 两点的横坐标相等或互为相反数。 因为点 B 在 W 上 若 A , C 两点的横坐标相等,点 B 应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。 若 A , C 两点的横坐标互为相反数,点 B 应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。 所以四边形 OABC 不可能为菱形。 2. (Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2 所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 . 因此 a ? 2 , c ? 2 . c 2 故椭圆 C 的离心率 e ? ? . a 2 2? , ? x0 ,y0 ? ,其中 x0 ≠ 0 . (Ⅱ)设点 A , B 的坐标分别为 ? t ,
因为 OA ? OB , 所以 OA ? OB ? 0 , 即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?
2 2 ? 2 y0 ? 4 ,所以 又 x0

2 y0 . x0

8

AB ? ? x0 ? t ? ? ? y0 ? 2?
2 2

2

? 2y ? 2 ? ? x0 ? 0 ? ? ? y0 ? 2 ? x 0 ? ? 4 y2 2 2 ? x0 ? y0 ? 20 ? 4 x0
2 2 ? x0 ?

2

2 2 ? 4 ? x0 ? 4 ? x0 ? ?4 2 2 x0

?

2 x0 8 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? x0 ≤ 4? . 2 x0 2 x0 8 2 2 2 ? 4 时等号成立,所以 AB ≥ 8 . ? 2 ≥ 4 ? 0 ? x0 ≤ 4 ? ,且当 x0 2 x0

因为

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .

x2 y 2 3. 解:(I)因为所求椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c ? 2 3 , a b 所以 c ? 3 .
设过焦点且垂直于长轴的直线为 x ? c . 因为过焦点且垂直于长轴的直线 l 被椭圆截得的弦长为 1 , 代入椭圆方程解得: y ? ?

b2 1 b2 ? . ,即 a 2 a

? ?c ? 3, ? a ? 2, ? ? ? 2 2 2 由 ?a ? b ? c , 解得 ?b ? 1, ? b2 1 ? ?c ? 3. ? ? , ? ?a 2 x2 ? y 2 ? 1. 所以所求椭圆的方程为: 4 (Ⅱ)设过点 M (3,0) 的直线 l 的斜率为 k ,显然 k 存在. uur uu u r r uu u r (1)当 k ? 0 时, OA ? OB ? 0 ? tOP ,所以 t ? 0 . (2)当 k ? 0 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) . ? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 消 y 并整理得 2 ? ? y ?1 ?4 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 4 ? 0 .

……… 6 分

2 2 4 2 2 当 ? ? 24 k ? 4(1 ? 4k )(36k ? 4) ? 0 时,可得 0 ? k ?

1 . 5

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,则

24k 2 36k 2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

9

因为 OA ? OB ? tOP , 所以 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x0 , y0 ) . 所以 x0 ? ( x1 ? x2 ) ?

uur

uu u r

uu u r

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k . y0 ? ( y1 ? y2 ) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 6k ] ? t t t (1 ? 4k 2 )

(24k 2 )2 144k 2 ? ? 4. t 2 (1 ? 4k 2 )2 t 2 (1 ? 4k 2 )2 36k 2 9 2 ?9? 解得 t ? . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 2 因为 0 ? k ? , 5 4 2 所以 0 ? 4k ? . 5 9 2 所以 1 ? 1 ? 4k ? . 5 5 1 ?1. 所以 ? 9 1 ? 4k 2 9 ? 9. 所以 5 ? 1 ? 4k 2 9 ? ?5 . 所以 ?9 ? ? 1 ? 4k 2 9 ?4. 所以 0 ? 9 ? 1 ? 4k 2 2 所以 0 ? t ? 4 .
由点 P 在椭圆上得 所以 t ? (?2, 0) (0, 2) . 综合(1) (2)可知 t ? (?2, 2) 4. 解: (Ⅰ)设椭圆方程为

…………13 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) .则依题意 a 2 b2

2 2 2 c ? 2 , b ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 3

于是椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

……….4 分

(Ⅱ)存在这样的直线 l . 依题意,直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,则

? x2 2 ? ? y ?1 由? 3 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ? y ? kx ? m ?
10

因为 ? ? 36k 2m2 ? 4(3k 2 ? 1)(3m2 ? 3) ? 0 得 3k 2 ? m2 ? 1 ? 0 ……………… ①

6km ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 3k ? 1 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 中点为 P( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ? x x ? 3m ? 3 ? 1 2 3k 2 ? 1 ?
于是 x0 ? ?

3km m , y0 ? kx0 ? m ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1

因为 AM ? AN ,所以 AP ? MN . 若 m ? 0 ,则直线 l 过原点, P(0, 0) ,不合题意. 若 m ? 0 ,由 k ? 0 得,

y0 ? 1 k ? ?1 ,整理得 2m ? 3k 2 ? 1 ………………② x0

由①②知, k 2 ? 1 , 所以 ?1 ? k ? 1 又 k ? 0 ,所以 k ? (?1, 0) 5.

(0,1) .

……….14 分

6. 解: (Ⅰ)由题意可得 c ? 1 , 又由题意可得 所以 a ? 2 ,
11

----------------------------------1 分
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

c 1 ? , a 2

----------------------------------2 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

------------------------------ ----3 分 ---------------------------------4 分 --------------------------------5 分

x2 y2 ? ? 1. 4 3

所以椭圆 C 的右顶点 A(2,0) , 代入圆 F 的方程,可得 r 2 ? 1 , 所以圆 F 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . (Ⅱ)法 1: 假设存在直线 l : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0) 满足条件,

------------------------------6 分

-----------------------------7 分

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ----------------------------8 分 ? ? 1 ? 3 ? 4
16k 2 , ---------------------------------9 分 4k 2 ? 3 8k 2 ?6k , 2 ), 可得中点 P ( 2 --------------------------------11 分 4k ? 3 4k ? 3 8k 2 ?6 k 2 ? 1) 2 ? ( 2 ) ?1 由点 P 在圆 F 上可得 ( 2 4k ? 3 4k ? 3
设 B( x1 , y1 ) ,则 2 ? x1 ? 化简整理得 k 2 ? 0 又因为 k ? 0 , 所以不存在满足条件的直线 l .
Z§X§X§K]

--------------------------------13 分

--------------------------------14 分

[来源:学§科§网

(Ⅱ)法 2: 假设存在直线 l 满足题意. 由(Ⅰ)可得 OA 是圆 F 的直径, 所以 OP ? AB . 由点 P 是 AB 中点,可得 | OB |?| OA |? 2 . 设点 B( x1 , y1 ) ,则由题意可得 -----------------------------7 分 ------------------------------8 分 --------------------------------9 分 --------------------------------10 分 -------------------------------11 分
[来源:学,

x12 y12 ? ?1. 4 3

又因为直线 l 的斜率不为 0,所以 x12 ? 4 , 所以 | OB |2 ? x12 ? y12 ? x12 ? 3(1 ?

x12 x2 ) ? 3 ? 1 ? 4 ,-------------------------------13 分 4 4

这与 | OA |?| OB | 矛盾,所以不存在满足条件的直线 l . --------------------------14 分 7.解: (Ⅰ)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上,
12

所以

4 0 ? ? 1, a 2 b2
……………1 分

所以 a 2 ? 4 , 因为椭圆 C 的离心率为

1 , 2
, ……………2 分

所以

a 2 ? b2 1 c 1 ? ,即 ? a 2 a2 4

解得 b2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

……………4 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 3 ,), 2 2

……………5 分

(Ⅱ)设 P(?1, y0 ) , y0 ? (?

①当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) ,

N ( x2 , y2 ) ,
由?

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 , ? y ? y0 ? k ( x ? 1) ,

2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? (8ky0 ? 8k 2 ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k 2 ?12) ? 0 , ……………7 分

所以 x1 +x2 ? ?

8ky0 ? 8k 2 , 3 ? 4k 2

……………8 分

因为 P 为 MN 中点,

8ky0 ? 8k 2 x1 ? x2 = ? 1 = ? 2. 所以 ,即 ? 2 3 ? 4k 2
所以 kMN ?

3 ( y0 ? 0) , 4 y0
所以 kl ? ?

……………9 分

因为直线 l ? MN ,

4 y0 , 3

所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 显然直线 l 恒过定点 ( ?

4 y0 4y 1 ( x ? 1) ,即 y ? ? 0 ( x ? ) , 3 3 4
……………11 分

1 , 0) . 4

②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 ,

13

此时直线 l 为 x 轴,也过点 ( ? 综上所述直线 l 恒过定点 ( ?

1 , 0) . 4

……………13 分 ……………14 分

1 , 0) . 4

? a 2 ? b 2 =3, ? 8. 解: (Ⅰ)由题意得 ? 1 解得 a =2 , b ? 1 . 3 ? 2 ? 2 ? 1, ? a 4b
x2 ? y2 ? 1 . 所以椭圆 C 的方程是 4
……………………………………4 分

? y ? k ( x ? 1), ? (Ⅱ)由 ? x 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 x x ? , , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

[来源:Zxxk.Com]

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

?2k . 1 ? 4k 2

所以线段 AB 的中点坐标为 (

4k 2 ?k , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
?k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

于是,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 Q (

3k 2 , 0) ,又点 P(1, 0) , 1 ? 4k 2

所以 PQ ? 1 ?

3k 2 1? k 2 . ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2
2

4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) 8k 2 2 4k 2 ? 4 又 AB ? (1 ? k )[( . ) ? 4? ] ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) | AB | 1 ? 3k 2 2 1 ? 4k 2 ? ? 4 ? 4 3? 于是, . 2 2 1? k | PQ | 1? k 1? k 2 1 ? 4k 2
因为 k ? 0 ,所以 1 ? 3 ?

2 ? 3. 1? k 2
………………………………14 分

所以

| AB | 的取值范围为 (4, 4 3) . | PQ |
14

9. 解: (Ⅰ)由右焦点 F (2,0) ,可得 c ? 2 , -----------1 分 又离心率 e ?

c 2 ,可得 ? a 2

a ? 2 2 ------------2 分
--------------------5 分



b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 --------------3 分

2 y2 ?1 所以标准方程为 x ? 8 4

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? 1 ? 联立方程组 ? 2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 6 ? 0(*) , ------------2 分 x ? ? 1 ?8 4 ?
所以 x1 ? x2 ?

? 4k ?6 , x1 ? x2 ? , --------------3 分 由右焦点 F(2,0) , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

因为右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,所以 FA ? FB <0 ---------------------------5 分 所 以 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 ---------------------6 分 所以 (1 ? k ) ?
2

即 x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

?6 ? 4k 8k ? 1 ? (k ? 2) ? ?5? <0 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 k ?

1 --------------8 分 8

经检验当 k ? -----------9 分 10.

1 时,(*)有解, 即直线 l 与椭圆相交 所以直线 l 的斜率 k 的范围为 (-∞,1 ) 8 8

15

11. 解: (Ⅰ)由已知, c ? 1 , ∴ a?

c 2 , ? a 2
-----------------3 分 -----------------4 分

2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1
x2 ? y 2 ? 1. 2

∴ 椭圆的方程为

(Ⅱ)设点 P(m,0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,则直线 l 的方程为 y ? x ? m , -----------------2 分

?y ? x ? m ? 由 ? x2 消去 y ,得 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

-----------------4 分

2m 2 ? 2 4m , x1 x2 ? 3 3
-----------------6 分

2 2 ∴ | PA |2 ? | PB |2 ? ( x1 ? m)2 ? y1 ? ( x2 ? m)2 ? y2

? 2[( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m2 ]
? 2[( 4m 2 2(2m2 ? 2) 4m ) ? ? 2m ? ? 2m 2 ] 3 3 3
-----------------8 分

4 8 ? ? m2 ? 9 3
2 ∵ ? 2 ?m? 2, 即 0? m ? 2

2 2 ∴当 m ? 0 时, (| PA | ? | PB | ) max ?

8 8 2 2 , | PA | ? | PB | 的 最 大 值 为 . 3 3
---------------10 分

e?
12. 解: (Ⅰ)由题意可知

c 3 ? a 2 , c ? 3 ,于是 a ? 2, b ? 1 .
16

x2 ? y2 ? 1 4 所以,椭圆的标准方程为 程.---------------------------------3 分
(Ⅱ)设

A( x1 , y 1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y 0 ) ,

? y ? k( x ? 3) ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? 2 2 2 2 ? 4 即 (4k ? 1) x ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0 .

所以,

x1 ? x2 ?

?8 3k 2 x1 ? x2 ?4 3k 2 3k x ? ? y0 ? k ( x0 ? 3) ? 2 0 2 2 4k ? 1 , 2 4k ? 1 , 4k ? 1 ,

?M (
于是

?4 3k 2 3k , 2 ) 2 4k ? 1 4 k ? 1 .

?4 3k 2 3k ? 4k ? 2 ?0 2 4k ? 1 因为 4k ? 1 ,所以 M 在直线 l 上.---------------------------9 分
(Ⅲ)设存在这样的平行四边形,则 M 为 OC 中点

? x ? ?4ky ? 2 1 ?x y3 y3 ? ? ? y2 ? 1 y0 ? ? (x , y ) 4k 2 ? 1 . 2 .因为 ? 4 设点 C 的坐标为 3 3 ,则 ,解得

1
于是 2 4k ? 1
2

?

3|k | 1 2 k2 ? k?? 2 4k ? 1 ,解得 8 ,即 4 .
2 2 k?? 4 时四边形 AOBC 的对角线互相平分,即当 4 时四边形

k??
所以,当

AOBC 是平行四边形.------------------ ------------------------------14 分 13. 解: (Ⅰ)证明:因为 A, B 在椭圆上,

ì ? x12 + 2 y12 = 4, ① ? 所以 í 2 2 ? ? ? x2 + 2 y2 = 4. ②
因为 A, B 关于点 M (1,0) 对称, 所以 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 0 ,

-----------------------------------1 分

--------------------------------2 分

2 2 将 x2 ? 2 ? x1, y2 ? ? y1 代入②得 (2 ? x1 ) ? 2 y1 ? 4 ③,

由①和③消 y1 解得 x1 ? 1 , 所以 x1 = x2 = 1.
17

------------------------------------------4 分 ------------------------------------------5 分

(Ⅱ)当直线 AB 不存在斜率时, A(0, 2), B(0, 可得 AB = 2 2, MA =

2) ,
-----------------------6 分

3 , ?ABM 不是等边三角形.

当直线 AB 存在斜率时,显然斜率不为 0. 设直线 AB : y ? kx ? 3 , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) , 联立 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 4, ? y ? kx ? 3,

消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 12kx ? 14 ? 0 ,

------------------7 分

? ? 144k 2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ?14 ? 32k 2 ? 56
由 ? ? 0 ,得到 k ?
2

7 4



-----------------------------------8 分

又 x1 ? x2 ?

14 ?12k , x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 x0 =

- 6k 3 , y0 = kx0 + 3 = , 2 1 + 2k 1 + 2k 2

所以 N (

?6k 3 , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

-------------------------------------------10 分

假设 ? ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB , 又因为 M (1, 0) ,

3 2 所以 kMN ? k ? ?1, 即 1 ? 2k ? k ? ?1 , ?6k ?1 1 ? 2k 2
2 化简 2k ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ?

---------------------11 分

1 2

---------------12 分

这与①式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意 k 不能使得 MN ? AB ,故 ? ABM 不能为等边三角形. ------------14 分 14.(Ⅰ)解:由题意,得椭圆 W 的半焦距 c ? 1 ,右焦点 F (1, 0) ,上顶点 M (0, b) ,… 1 分 所以直线 MF 的斜率为 k MF ? 解得 b ? 1 , 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,得 a 2 ? 2 ,
18

b?0 ? ?1 , 0 ?1
……………… 3 分

所以椭圆 W 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

……………… 5 分

(Ⅱ)证明:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,其中 k ? 1 或 2, A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) .… 6 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,……………… 7 分 2 ? ? y ?1 ?2
所以 ? ? 16k 2 ? 8m 2 ? 8 ? 0 , 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? (*)

2m 2 ? 2 ?4km , . x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……………… 8 分

所以 | AB |? 1 ? k

2

1? k 2 ?4km 2 2m 2 ? 2 ( ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
|m| 1? k 2


8(2k 2 ? m 2 ? 1) .… 9 分

因为原点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ?

……………… 10 分

所以 S ?AOB ?

2 1 m 2 (2k 2 ? m 2 ? 1) , ……………… 11 分 | AB | ?d ? 2 1 ? 2k 2 2 m 2 (3 ? m 2 ) , 3

当 k ? 1 时,因为 S ?AOB ?

所以当 m 2 ?

2 3 时, S ?AOB 的最大值 S1 ? , 2 2
……………… 12 分

验证知(*)成立; 当 k ? 2 时,因为 S ?AOB ?

2 m 2 (9 ? m 2 ) , 9

所以当 m 2 ?

2 9 时, S ?AOB 的最大值 S 2 ? ; 2 2

验证知(*)成立. 所以 S1 ? S 2 . ……………… 14 分

注:本题中对于任意给定的 k , ?AOB 的面积的最大值都是

2 . 2

19

15. 解:(Ⅰ).椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

………3 分

(Ⅱ)(ⅰ)设点 S 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,

y y0 y ∴ k1 ? k 2 ? ? 0 ? 20 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4
x 2 2 2 ∵点 S 在椭圆上,∴ 0 ? y0 ? 1 ,∴ x0 ? 4 ? ?4 y0 4
∴ k1 ? k 2 ? ?
2

2

………5 分

1 4

………7 分

(ⅱ) 设直线 AS 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) , 则 M (4,6k1 ) 且 k1 ? 0 ∵ k1 ? k 2 ? ? ………9 分

1 4
1 ( x ? 2) 4k1
………10 分

∴ 直线 BS 的方程为 y ? ?

∴ N (4,?

1 ), 2k1
1 , 2k1

………11 分

故 | MN |? 6k1 ?

………12 分

∴ | MN |? 6k1 ?

1 1 ? 2 6k1 ? ?2 3, 2k1 2k1

…………13 分

当且仅当 6k1 ?

3 1 ,即 k1 ? 时等号成立, 6 2k1
…………14 分

∴ k1 ?

3 时,线段 MN 的长度取得最小值为 2 3 . 6

16. 解: (I)因为 Q 为 PF1 的中点, O 为 F1F2 的中点, OQ ? 所以 PF2 // OQ ,且 PF2 ? 2 OQ ?
20

3 , 4
………1 分

3 . 2

所以 PF2 ? F 1F 2 . 因为 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) , 所以 PF1 ?

F1 F2 ? PF2

2

2

?

5 . 2

………2 分 ………3 分

5 3 ? ?4, 2 2 2 2 2 所以 a ? 2, b ? a ? c ? 3 .
因为 2a ? PF1 ? PF2 ?

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4 3 (Ⅱ)设过点 F1 (?1,0) 的直线 l 的斜率为 k ,显然 k ? 0 . (1)当 k 不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 所以 MN ? 3 . 因为 A(2, 0) , 1 9 所以 S ?AMN ? MN AF1 ? . 2 2 (2)当 k 存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 ,消 y 并整理得: ?1 ? ? 3 ?4 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 ?8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
因为 MN ?

………4 分

…………5 分

…………6 分

…………7 分

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[
?

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? ] (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
…………8 分

12(k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2

又因为点 A(2, 0) 到直线 y ? k ( x ? 1) 的距离 d ? 所以 S ?AMN ?

3k k 2 ?1



…………9 分

1 ? d ? MN 2 3k 1 12(k 2 ? 1) ? ? ? 2 2 3 ? 4k k 2 ?1
[来源:Zxxk.Com]

k k 2 ?1 ? 18 ? 3 ? 4k 2 k 2 ( k 2 ? 1) ? 18 (3 ? 4k 2 ) 2
21

k4 ? k2 9 ? 24k 2 ? 16k 4 1 1? 2 k ? 18 9 24 ? ? 16 k4 k2 1 设 m ? 2 ,则 k 1? m S?AMN ? 18 2 9m ? 24m ? 16 1 ? 18 2 9m ? 24m ? 16 m ?1 1 ? 18 2 9(m ? 1) ? 6(m ? 1) ? 1 m ?1 1 . ? 18 1 9( m ? 1) ? ?6 m ?1 因为 m ? 0 , 所以 m ? 1 ? 1 . 1 1 因为函数 f ( x ) ? 9 x ? 在 ( , ??) 上单调递增, x 3 1 ? 10 . 所以 9( m ? 1) ? m ?1 1 ? 6 ? 16 . 所以 9(m ? 1) ? m ?1 1 1 所以 ? . 1 9(m ? 1) ? ? 6 16 m ?1 ? 18
所以

…………10 分

…………11 分

…………12 分

1 1 9(m ? 1) ? ?6 m ?1
1 9( m ? 1) ?

?

1 . 4

所以 18

1 ?6 m ?1

?

9 2

所以 0 ? S ?AMN ?

9 . 2 9 . 2

…………13 分 …………14 分

综合(1) (2)可知 0 ? S ?AMN ?

22

17. (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a 2 b2

c 1 ? ?e ? ? , 2 2 2 依题意 ? a 2 解得 c ? 1 , a ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 3 . ? ?a ? c ? 1.
所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………………….4 分

(Ⅱ)不存在实数 m ,使 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,证明如下: 把 y ? ?mx ? 1 代入椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12 中,整理得 (3 ? 4m2 ) x2 ? 8mx ? 8 ? 0 . 由于直线 l 恒过椭圆内定点 ? 0, ?1? ,所以判别式 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8m ?8 , x1 ? x2 ? . 2 4m ? 3 4m 2 ? 3

依题意,若 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,平方得 OA ? OB ? 0 . 即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (?mx1 ? 1) ? (?mx2 ? 1) ? 0 , 整理得 (m2 ? 1) x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 , 所以 (m2 ? 1)

?8 8m2 ? ?1 ? 0 , 4 m 2 ? 3 4m 2 ? 3
5 ,矛盾. 12
………………….14 分

整理得 m ? ?
2

所以不存在实数 m ,使 | OA ? OB |?| OA ? OB | .

18. 解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,

c 6 . ? a 3

2 2 可得 a ? 6 , b ? 2 .

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………………………5分 6 2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) .
23

? y ? k ( x ? 3), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ?18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 . (*) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

18k 2 27k 2 ? 6 故 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
不妨设 x1 ? x2 ,显然 x1 , x2 均小于 3 . 则S
AMC

?

1 ? 2 y1 ? (3 ? x1 ) ? y1 (3 ? x1 ) , 2

S

ABC

?

1 ? 2 y1 ? ( x2 ? x1 ) ? y1 ( x2 ? x1 ) . 2
ABC

S

MBC

?S

?S

AMC

? y1 (3 ? x2 ) ? k (3 ? x1 )(3 ? x2 )
3k 3k 2 ? 1

? k [9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] ?

?

3k 2 3k 2

?

3 . 2
1 2 ,此时方程(*)为 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 ,满足 ? ? 0 . 3
………………………………13 分

等号成立时,可得 k 2 ?

3 所以 ?MBC 面积 S 的最大值为 2 . 19.

24

20. .解:(Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

x2 ? y 2 ? 1( a ? 1) -----------------------1 分 a2

a2 ? 1 1 2 ? ,----------------------------------------------------------------3 分 ,可得 e 2 ? a2 2 2 2 解得 a ? 2 , -----------------------------------------------------------4 分 2 x 所以椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 . ----------------------------------------------------5 分 2 (Ⅱ)法一:
设 C ( x0 , y0 ), 则 D( ? x0 , y0 ), x0 ? 0 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 BC 的方程为 y ? ------------------------------------------------------6 分

y0 ? 1 x ?1 , x0

------------------------------------------------------7 分

令 y ? 0 ,得 xM ?

x0 x ,所以 M ( 0 ,0) . --------------------------8 分 y0 ? 1 y0 ? 1

所以 AM ? (

x0 , ?1), AD ? (? x0 , y0 ? 1), ---------------------------------------9 分 y0 ? 1
25

所以 AM ? AD ?

? x0 2 ? y0 ? 1 , y0 ? 1

-----------------------------------------10 分

又因为

x0 2 y0 2 2( y0 2 ? 1) ? ? 1 ,代入得 AM ? AD ? ? 1 ? y0 ? y0 ? 1 2 1 y0 ? 1

------------11 分

因为 ?1 ? y0 ? 1 ,所以 AM ? AD ? 0 . 分

-----------------------------------------------------------12

所以 ?MAN ? 90 , -------------------------------------------------------13 分 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上 . ---------------------------------------------14 分 法二:设直线 BC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M ( ,0) . 分

1 k

------------------------------------------------6

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 由? 化简得到 x2 ? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? 1,
所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 所以 y2 ? kx2 ? 1 ? k

4k , -------------------------------------8 分 2k 2 ? 1

4k 2k 2 ? 1 ? 1 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4k 2k 2 ? 1 ?4 k 2 k 2 ? 1 , 2 ) ,所以 D ( 2 , ) ----------------------------------------9 分 所以 C ( 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 1 ?4k 2k 2 ? 1 , ? 1), ---------------------------------------------10 分 所以 AM ? ( , ?1), AD ? ( 2 k 2k ? 1 2k 2 ? 1 ?4 2k 2 ? 1 ?2 ? 2 ?1 ? 2 ? 0 , --------------------------------------12 分 所以 AM ? AD ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 所以 ?MAN ? 90 , ---------------------------------------13 分 MN 所以点 A 不在以线段 为直径的圆上. ---------------------------------14 分

21. 解: (Ⅰ)由已知椭圆的焦点在

x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1 ,————2 分 ? 椭圆 E 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 ————4 分 2

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (Ⅱ) ? x 2 ,消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ————6 分 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 直线 l 与椭圆有两个交点, ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 2k (*)————8 分

26

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ?

?4km ?2km , ? AB 中点的横坐标 x0 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
AB 中点的纵坐标 y0 ? kx0 ? m ?

m ————10 分 1 ? 2k 2

2km m , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 1 ' 设 AB 中垂线 l 的方程为: y ? ? ( x ? ) k 2

? AB 的中点 D (?

D 在 l ' 上, ? D 点坐标代入 l ' 的方程可得 m ?

?1 ? 2k 2 (**)————12 分 2k

2 2 将 m ? 1 ? 2k (*)代入解得 k ?

2 2 , ,或 k ? ? 2 2

? k ? (??, ?

2 2 ) ( , ??) ————14 分 2 2

22. (Ⅰ)解:椭圆 W 的长半轴长 a ?

2 ,左焦点 F1 (?1,0) ,右焦点 F2 (1,0) ,…… 2 分

由椭圆的定义,得 | AF , | BF , 1 | ? | AF 2 |? 2a 1 | ? | BF 2 |? 2a 所以 ?ABF1 的周长为 | AF .………… 5 分 1 | ? | AF 2 | ? | BF 1 | ? | BF 2 |? 4a ? 4 2 (Ⅱ)解:因为 ?ABF1 为直角三角形,
o o o 所以 ?BF 1 A ? 90 ,或 ?BAF 1 ? 90 ,或 ?ABF 1 ? 90 , o 当 ?BF 1 A ? 90 时,

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,…………… 6 分

? x2 2 ? ? y ? 1, 由 ?2 ? y ? k ( x ? 1), ?

得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ,…………… 7 分
2 2 2 2

4k 2 2k 2 ? 2 所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……………… 8 分

o 由 ?BF 1 A ? 90 ,得 F 1A? F 1B ? 0 ,……………… 9 分

27

因为 F 1 A ? ( x1 ? 1, y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 1, y2 ) , 所以 F 1 A? F 1B ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2

? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2
2k 2 ? 2 4k 2 2 ? (1 ? k ) ? ? (1 ? k ) ? ? 1 ? k 2 ? 0 ,………10 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
2

解得 k ? ?

7 . 7

……………… 11 分

o o 当 ?BAF 1 ? 90 (与 ?ABF 1 ? 90 相同)时,

则点 A 在以线段 F1F2 为直径的圆 x ? y ? 1 上,也在椭圆 W 上,
2 2

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 2 解得 A(0,1) ,或 A(0, ?1) ,……………… 13 分 2 2 ? x ? y ? 1, ?
根据两点间斜率公式,得 k ? ?1 , 综上,直线 l 的斜率 k ? ?

7 ,或 k ? ?1 时, ?ABF1 为直角三角形.……14 分 7

28



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图