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2015年《寒假总动员》高三数学寒假作业(背学练测)专题12 三视图、体积(测)(解析版)]


时间:45 分钟 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分)

总分:100 分

1. (2012 年高考湖南卷理科 3)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视 图不可能是( )

2.(2012 年高考新课标全国卷理科 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D) ??

3.(2012 年高考新课标全国卷理科 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,

?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为(
( A)



2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

4.(2012 年高考江西卷理科 10)如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是 侧 棱 SC 上 一 动 点 , 过 点 E 垂 直 于 SC 的 截 面 将 正 四 棱 锥 分 成 上 、 下 两 部 分 , 记

SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下面部分的体积为 V ( x), 则函数 y ? V ( x) 的图像大致为(



5. (2012 年高考全国卷理科 4)已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为

CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为(
A.2 B.

) D.1

3

C. 2

积法得 CF ? 1 ,选 D. 【考点定位】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解。体现了 转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可. 6.【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】一个四面体的顶点在空间直 角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面 体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】已知三棱柱

ABC ? A1 B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB ? 3,AC ? 4, AA1 ? 12,则球O的半径为 (
A. )

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

[答案]C [解析 ] 构建长方体的棱长分别为 3,4,12.体对角线长为 3 +4 +12 =13 ,外接圆的半径为
2 2 2

13 ,故选 C. 2
[考点定位]:本题考查空间几何体模型的认识. 8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是( )

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一个几何体的三视图如图所示,该 几何体从 上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 V1 , V2 , V3 , V4 ,上面两个简单几何体均 为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体,则有

A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4

B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

[考点定位]本题借助三视图还原实物图考查体积的计算,考查空间想象能力和计算能力.

10.【2013 年全国高考新课标(I)理科】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容 器的厚度, 则球的体积为( 500π 3 A、 cm 3 ) 866π 3 B、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (2012 年高考辽宁卷理科 13) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ______________。

12.(2012 年高考辽宁卷理科 16)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求 面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_______.

【考点定位】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能 力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注 意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。 13. (2012 年高考江苏卷 7)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 cm3.

【考点定位】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强,结合空间中点线 面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥 A ? BB1 D1 D 的高为 AO , 这是解决该类问题的关键.在复习中,要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢,并且 会灵活运用.本题属于中档题,难度适中. 14.(2012 年高考天津卷理科 10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体 积为

m3 .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 15. (2012 年高考湖北卷理科 19) 如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上 确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小

【解析】 (Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x . 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) , AD ? DC , AD ? BD ,且 BD

DC ? D ,

所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90 ,所以 S?BCD ?
VA? BCD ?

1 1 BD ? CD ? x(3 ? x) .于是 2 2

1 1 1 1 AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2 x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12
3

1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ? ? , ? 12 ? 3 3 ?

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.

故 ?ENH ? 60 ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 . 【考点定位】本小题考查空间线线与线面的位置关系,考查同学们的空间想象能力、逻辑推理

能力、分析问题与解决问题的能力. 16. (2012 年高考湖南卷理科 18) 如图 5, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4, BC=3, AD=5, ∠DAB=∠ABC=90°, E 是 CD 的中点.
[ 来源 %:*中#国 教~育 出@ 版网]

(Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90 知,AD / / BC , 又BG / / CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形,故

GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2.
在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

BG ? AB 2 ? AG 2 ? 2 5, BF ?
8 5 . 5

AB 2 16 8 5 ? ? . BG 2 5 5

于是 PA ? BF ?

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ? 16 ? ? . 3 3 5 15

(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即

CD ? PB CD ? PB

?

PA ? PB PA ? PB

.


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