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2.1.2指数函数及其性质


2.1.2指数函 数及其性质

2.1.2指 数 函 数及其性质 指

引例:
1.某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2 个,第2次由2个分裂成4个,如此下去, 如果第X次分裂得到Y个细胞,那么某细 胞个数Y与次数x的函数关系是什麽?

第 分裂 次数 一 个 细 胞 一 次 次 二

第 三 次

第 四 次

第 第X次

表达式
…... ...

Y=2
细胞 总数

X

Y 21

2

2

2

3

2 …...
4

2

X

2.某台机器的价值每年折旧率为6%,写出经 过X年,这台机器的价值Y与X的函数关系.

经 过 年 一

第 二 年

第 第 三 年

第 四 年 经过 X年

设 机 器 的 价 值 为 1 6% 6% 6% 6%

表达式

Y=(0.94)

X

机器 价值

Y

(0.94)

1

(0.94)

2

(0.94)

3

(0.94) …...
4

(0.94)X

思考:

y=2x

与y=0.94x

有什么共同特征?

y=ax 中a的范围:
当a>0时,
ax有意义

a<0

a的取值 a>0 0 1

,无研究价值 当a=1时, y = 1X = 1, 是常量

a x = 0 X ≡ 0 无研究价值 当a=0时,若x>0 则
若x≤0 则 a = 0 无意义
x X

当a<0时, a X 不一定有意义,如( 2) 为了便于研究,规定:a>0 且a≠1
提问: 那么什么是指数函数呢?思考后回答? 提问: 那么什么是指数函数呢?思考后回答? 指数函数定义:函数

1 2

y=ax (a>0,且a≠1)

叫做指数函数.其中x是自变量.

3:我们研究函数的性质,通常通过函数图象
来研究函数的哪几个性质? 答: 1.定义域 2.值域 3.单调性 奇偶性等 4.对称性 5

4:那么得到函数的图象一般用什么方法? 那么得到函数的图象一般用什么方法?
列表(求对应的x和y值),描点,作图
用描点法绘制

y =2

X

的草图: 的草图:

1X 用描点法绘制 y = ( ) 的草图: 2

y 用描点法绘制 y = 2 的草图: X … -3 -2 -1 0 1 2
X

3 8

…. …...

Y … 0.125 0.25 0.5

1

2

4


1
y=( 1 )x 2


y=2x

o

x

因为2>1 所以y=2x与y=ax(a>1)的图象相似由此可知y=ax 的性质 因为

1 X 用描点法绘制 y = ( 2 ) 的草图:

X … -3 Y … 8

-2 4

-1 2

0 1

1 0.5

2 0.25

3

….

0.125 …..

1 请思考: y=( )x与y=ax(0<a<1)的图象相似吗? 2


y 1 o



x

我们根据y=2x和y=(2 )x的图象来研究 的图象来研究y=ax (a>0且a≠1)的性质 我们根据 且 的性质 y
1 y=2x y=( 1 )x
2

1

y

x
0 0

x

1.定义域: 2. 值域:

y=ax (a>0且a≠1) 的定义域为:R y=ax (a>0且a≠1) 的值域为:R+

y=ax (a>1)在整个定义域上是单调递增的 3.单调性: 而y=ax (1>a>0)在整个定义域上是单调递减的 4.特殊点:
y=ax (a>1) 和y=ax(0<a>1)都过点(0,1) 并且 ⑴a>1: 当x>0时y>1;当x<0,y∈(0,1) ⑵1>a>0: 当x>0, y∈(0,1);当x<0,y∈(1,+∞)

5.对称性: y=ax和 y=a-x的图象关于轴对称 注意: 注意:请同学们自己将函数的图象和性质总结并列成表

学生通过讨论完成表格

图 象

a>1 y a>1 1 o y=ax x y=ax

0<a<1 y 0<a<1 1 o x

1.定义域: R

2.值域:

(0,+∞)

3.特殊点: (0,1) 4.函数值的 ⑴a>1, 当x>0时y>1; 当x<0,y∈(0,1). 时 ∈ 当 ∈ 当 ∈ 变化规律: ⑵1>a>0,当x>0, y∈(0,1);当x<0,y∈(1,+∞). 5.单调性:
在R上是增函数 上是增函数 在R上是减函数 上是减函数

y=ax和y=a-x关于 轴对称 关于y轴对称 6.对称性:

例1:已知指数函数f(x)=ax (a>0且a≠1) 图像经过点 1 ,3 ),求f(-1)的值. (
3

例2.比较下列各组数的大小: (1)1.7
2.5

2.5

和1.7
3

3

(2)0.8

-0.1

和0.8
x

-0.2

(3)1.70.3和0.93.1
分析:(1)1.7 和1.7 3时的函数值
y

可以看作函数y=1.7 当x分别为2.5和

y=1.7

x

y=0.8

x
y
(0,1) ,

(0,1) ,

2.5 3 x
-0.2 -0.1

O

x

小结: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质? 数形结合的方法记忆 y
y = 2x
2

3.记住两个基本图形:

1 x y=( ) 2

1

y=1
2

-2

-1

o1

x

思考题:

1.比较大小 比较大小(1) 1.01 和1.01 比较大小 3.3 4.5 (2) 0.99 和0.99
2.7 x

3.5

2.函数y=a (a>0且a≠1)在[0,1] 上的最大值与最小值的和为3, 求a的值.

课后作业: 1.阅读课本有关内容 2. 今天作业:59页第5,7,8题 3.研究题: (1)画出 y = 2 及
x

1 x y=( ) 2

的草图

(2)利用函数 Y=2x 的图像,在同一 -x x , 坐标系中分别画出Y = - 2 Y = -2 的草图

再见



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