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勾股定理的逆定理教学设计


《18.2 勾股定理的逆定理》教学设计
【教材分析】 “勾股定理的逆定理”一节,是在上节“勾股定理”之后,继续学习的一个直角三角形 的判断定理, 它是前面只是的继续和深化。 勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容 之一,是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一,在以后的解题中,将有十分广泛 的应用, 同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想, 为将来学习解析几 何埋下了伏笔,所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1.理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理. 2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系. 3. 掌握勾股定理的逆定理, 并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角 形. 过程与方法 1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识的发生、发展与形成过程. 2.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形结合方法的应用. 3.通过勾股定理的逆定理的证明,体会数与形结合方法在问题解决中的作用,并能运用 勾股定理的逆定理解决相关问题. 情感、态度与价值观 1.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定 理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系. 2. 在探究勾股定理的逆定理的活动中, 通过一系列富有探究性的问题, 渗透与他人交流、 合作的意识和探究精神. 【教学重难点及突破】 重点 1.勾股定理的逆定理及运用. 2.灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1.勾股定理的逆定理的证明. 2.说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件,其形式和勾股定理的结论形 式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形,需要构造直角三角形才能完成,构造 直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般,设置三个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法,和前面学过的一些 判定方法不同,它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、 互逆的定理, 它们从正反两个方面 揭示了图形的特征性质, 所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念,理解它们通 常困难不大.但对那些不是以“如果??那么??”形式给出的命题,叙述它们的逆命题有 时就会有困难,可以尝试首先把命题变为“如果??那么??”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时,常先画出图形,根 据已知条件计算出各边长, 再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形, 再回答

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问题. 【教学设计】 一、 复习导入 师:上一节课我们学习了勾股定理,请同学们回忆一下:勾股定理的内容是什么? 生:如果直角三角形的两条直角边为 a、b,斜边为 c,那么三边满足的关系为 a2+b2=c2. 师:勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系,即 直角边为 a,b 斜边为 c,则三边满 足 a2+b2=c2(带领学生集体复习勾股定理).思考:勾股定理的题设、结论分别是什么? 生:题设为直角三角形的两条直角边长分别为 a、b,斜边为 c,结论为 a2+b2=c2 师:如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置,即如果三角形的三边长 a,b,c 满足 2 a +b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形?本节课我们一起来研究这个问题. 板书课题:18.2 勾股定理的逆定理 设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结,联想到用三边的关系是否可以判断一个三角 形为直角三角形,自然地引出勾股定理的逆定理. 二、教学新知 1.发现勾股定理的逆定理. 观察发现:师生共同学习古埃及人画直角的方法:把一根长绳打上等距离的 13 个结,然 后以 3 个结间距,4 个结间距、5 个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中 一个角便是直角。 师:相传,我国古人大禹治水也用类似的方法确定直角.下面我们来观察这个三角形,如 果把一个节间距看为一个单位长度,则三角形的边长分别是多少? 生:3、4、5 师:三边满足什么样关系呢? 生:32+42=52. 师:也就是说,如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5,满足关系“32+42=52” ,那么围 成的三角形是直角三角形. 设计意图:介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活实际,激发兴趣. 师:对于其它的数,如:6、8、10;5、12、13 它们也满足两个数的平方和等于第三个数 的平方,那么以它们为边长的三角形是否为直角三角形呢? 动手操作: (1)画一画:

1、用圆规、直尺作△ABC,使 AB=5cm,AC=4cm, BC=3cm 再画一个直角△A`B`C`, 使它的两条直角边边长分别是 A`C`=4cm, B`C`=3cm 2、用圆规、直尺作△ABC,使 AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm 再画一个直角△A`B`C`, 使它的两条直角边边长分别是 A`C`=6cm,B`C`=8cm 3、用圆规、直尺作△ABC,使 AB=13cm,AC=5cm,BC=12cm 再画一个直角△A`B`C`, 使它的两条直角边边长分别是 A`C`=5cm, B`C`=12cm
(2)想一想:请判断这些三角形的形状,并提出猜想. 教师指导学生按要求画三角形、判断形状、猜想命题. 师:根据上面的验证,你会猜想到什么? 生:如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 学生回答,教师板书:如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形. 师:这就是今天我们要学习的命题 2. 设计意图: 通活动通过让学生按已知数据作出三角形, 并测量三角形三个内角的度数来进

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一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件,让学生经历测量、计算、归纳和猜想的 过程,了解几何知识的探索过程. 2.介绍逆命题的概念 师:命题 2 和之前我们学过的命题 1 有什么联系呢? 生:这两个命题的题设和结论正好相反. 师:像这样的两个命题我们叫做互逆命题. 教师出示互逆命题的概念,并介绍原命题和逆命题. 师:你能举出有关互逆命题的例子吗? 学生举手回答,教师及时点评.并让学生思考:在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆 命题都成立吗? 设计意图: 让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念, 在生生互动的过程中掌握互 逆命题的真假性是各自独立的. 3.证明勾股定理的逆定理. 师:对于刚才的猜想命题 2,你能给出证明吗?它的题设和结论是什么? 生:题设是三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ,结论是这个三角形是直角三角形. 根据题设、结论师生共同写出已知、求证. 已知:如图,△ABC 的三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2. 求证:△ABC 是直角三角形.

师:要证明△ABC 是直角三角形,我们需要知道∠C 是直角,那如何证明∠C 是直角呢? 直接在△ABC 中证明,可以吗?这个问题和前面的动手操作问题有相似的地方吗? 小组讨论得出证明思路,证明猜想的正确性.教师适时点拨,总结证明步骤. 师:通过刚才的证明,我们可以得出前面的猜想是正确的.正确的命题我们成为真命题, 通过证明的真命题我们称为定理.我们把它称为勾股定理的逆定理. 板书“勾股定理的逆定理” 师:要判定一个三角形是直角三角形,只需要知道三边是否满足“两边的平方和是否等 于第三边,即较小的两边的平方和是否等于较长边的平方”. 设计意图:引导学生构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生突 破难点. 4.定理的应用 例 1:判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形? (1)a=7,b=24,c=25 (2)a=7,b=8, c=11 师生共同分析(1) ,学生判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形,教师板 书做题过程;学生独立完成(2). 设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习,通过练习把陈述性的定理转换为 认知操作,学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 例 2:下面以 a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形?如果是那么哪一个角是直角? (1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15
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设计意图:让学生在规范的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的认识。 像 25,20,15,能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,称为勾股数. 三、总结提升 引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容,并进行相互交流: (1) 勾股定理的逆定理的内容是什么?它有什么作用? (2) 本节课学了原命题、逆命题等知识,你能说出它们之间的关系吗? (3) 在证明勾股定理的逆定理的过程中,我们学到了什么? (4) 在应用勾股定理的逆定理时,我们应注意什么问题,常见的勾股数组你记熟了 吗? 四、作业布置 1、 习题 18.2 第 2、3 题 2、完成基础训练配套章节 五、板书设计

18.2 勾股定理的逆定理
命题 2 如果三角形的三边 a、 b、c 满足 a2+b2=c2,那么这个三 角形是直角三角形.(勾股定理的 逆定理) 例1 解:(1) ∵ 最大边是 c=25,c2=625, 又∵ a2+b2=72+242=625, ∴ a2+b2=c2, ∴ △ABC 是直角三角形, 最大边 c 所对的角是直角. (2) ∵132+142=169+196=365 152=225≠365 ∴此三角形不是直角三角形.

互逆命题 原命题 逆命题 勾股数

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