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2.2.2对数函数及其性质


复习指数函数的图象和性质

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:
x

a>1 图 象
1
6 5

0<a<1
6 5 4

4

3

3

2

2

1
1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

性 1.定义域: (??,??) 质 2.值域: (0,??) 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y=1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

新授内容:

引例:

y?2 y?2
x

x

有无反函数?若有,则求出.
4

分析:观察图象知,有反函数

x ? log2 y 所以,反函数为: y ? log2 x x ? (0,??)
由 得 1.对数函数的定义:
-4 -2

f?x? = 2x
3 2

1

2

函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数;

它是指数函数

y?a

x

(a ? 0且a ? 1)的反函数。

值域为 (??,??)

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??)

新授内容: 2.对数函数的图象 x y ? a 由于对数函数 y ? loga x 与指数函数 互为反函数, 所以 y ? loga x 的图象与 y ? a x 的图象关于直线 y ? x 对称。
5

4 4

4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6

-2 -2

-2

新授内容: 3.对数函数的性质 a>1
3

0<a<1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5
-2

-2
-2.5

-2.5

定义域:

值域:

(0,+∞) (??,??)
? y?0
? y?0
x ? (0,1)

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0

x ? (0,1)

x ? (1,??)

? y?0
? y?0

函数

x ? (1,??)

在(0,+∞)上是 增 函数

在(0,+∞)上是

讲解范例 例1求下列函数的定义域: 2 y ? log x (1 ) a 解 : 由 x2 ? 0 得 x ? 0 ∴函数 y ? loga x 的定义域是
2

?x | x ? 0?

(2) y ? loga (4 ? x)

解 : 由4 ? x ? 0 得
∴函数 y ? loga (4 ? x) (3) y ? loga (9 ? x 2 )
2

x?4
的定义域是 ?x | x ? 4?

解 : 由 9 ? x ? 0得 ? 3 ? x ? 3 2 y ? log ( 9 ? x ) 的定义域是 ?x | ?3 ? x ? 3? ∴函数 a

讲解范例 例2求下列函数的反函数
?1? (1) y ? ? ? ? 1 ?2?
x
x

(2)
x

1 x2 y ? ( ) ?3 2

( x ? 0)

1? ?1? 解( : 1)y ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? y ?1 ?2? ?2?

? x ? log1 ( y ? 1)
2

? f ?1 ( x) ? log1 ( x ? 1)
2

( x ? ?1)
2

1 x 1 x ? ( ) ? y ?3 (2) y ? ( 2 ) ? 3 2 ? x ? ? log 1 ( y ? 3)

2

? f ( x ) ? ? log 1 ( x ? 3)
2

?1

2

(3 ? x ? 4)

讲解范例 例3 比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log2 3.4, log2 8.5 (2) log0.3 1.8, log0.3 2.7
5.5

解(1) 考查对数函数 y ? log2 x 因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数,于是 log2 3.4 ? log2 8.5 解(2) 考查对数函数 y ? log0.3 x 因为它的底数0<0.3<1,所以它在 (0,+∞)上是减函数,于是
f?x? = 2x

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

f?x? = 0.3x

1.4

1.2

1

log0.3 1.8 ? log0.3 2.7

0.8

0.6

0.4

0.2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

练习 1.画出函数 y ? log3 x, y ? log1 x 的图象,并且说明
3

这两个函数的相同性质和不同性质.
4 4

解:相同性质: 两图象都位于 y轴右方,都经过点(1,0), 这说明两函数的定义域 都是(0,+∞),且当 x=1,y=0. 不同性质: y ? log3 x
-4

3 3

y=log 1 x
3

2 2

1 1

-2 -2

2 2

-1 -1

y=log3x
44

66

-2 -2

-3 -3

的图象是上升的曲线,在(0,+∞)上是增函数; y ? log1 x 的图象是下降的曲线, 在(0,+∞) 上是减函数. 3

练习 2.求下列函数的定义域: (1) y (2 ) y

? log3 (1 ? x)

? (??,1) ? [1,??)
1 ? ( ?? , ) 3 ? (0,1) ? (1,??)

? log3 x

1 (3)y ? log 7 1 ? 3x
1 (4) y ? log x 2

小结 : 1.对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数; 它是指数函数

y?a

x

(a ? 0且a ? 1)的反函数。

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??)
值域为 (??,??)

小结 : 2.对数函数的图象和性质 a>1
3

0<a<1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5
-2

-2
-2.5

-2.5

定义域:

值域:

(0,+∞) (??,??)
? y?0
? y?0
x ? (0,1)

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0

x ? (0,1)

x ? (1,??)

? y?0
? y?0

函数

x ? (1,??)

在(0,+∞)上是 增 函数

在(0,+∞)上是



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