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高中物理竞赛及自主招生动量和能量专题


高中物理竞赛及自主招生动量和能量专题
一、知识网络

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二、方法总结
1、解决力学问题的三种解题思路:⑴以牛顿运动定律为核心,结合运动学公式解题(适合于力 与加速度的瞬时关系、圆周运动的力和运动关系、匀变速运动的问题),这一思路在上面已进行解 决。⑵从动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律的角度解题(适用于单个物体、物体系的受力 问题和位移问题)。⑶从动量守恒守恒定律的角度解题(适用于相互作用的物体系的碰撞、打击、 爆炸、反冲等问题)。 2、理解好功能关系:做功的过程就是能量转化的过程,做了多少功,就有多少能量发生转 化,因此功是能量转化的量度。中学阶段通常会遇到如下一些功能关系:

2

3、动量的能量结合解题的思路 A.仔细审题,把握题意 在读数的过程中,必须认真、仔细,要收集题中的有用信息,弄清物理过程,建立清晰的物 体图景,充分挖掘题中的隐含条件,不放过每一个细节。进行物理过程分析时(理论分析或联想 类比),注意把握过程中的变量、不变量、关联量之间的关系。 B.确定研究对象,进行运动、受力分析 C.思考解题途径,正确选用规律 (1)涉及求解物体运动的瞬时作用力、加速度以及运动时间等,一般采用牛顿运动定律和运 动学公式解答; (2)不涉及物体运动过程中的加速度和时间,而涉及力、位移、速度的问题,无论是恒力还 是变力,一般采用动能定理解答;如果符合机械能守恒条件也可用机械能守恒定律解答。 (3)若涉及相对位移问题时,则优先考虑能量的转化和守恒定律,即系统足服摩擦力做的总 功等于系统机械能的减少量,系统的机械能转化为系统的内能。 (4)涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,必须注意到一般这些过程中均隐含有系统机 械能与其他形式能量之间的转化。这类问题由于作用时间都极短,动量守恒定律一般大有可为。 D.检查解题过程,检验解题结果。

三、重点热点透析
1、应用动能定理求变力做的功
【例 1】 如图所示, 跨过定滑轮的轻绳两端的物体 A 和 B 的质量分别 为 M 和 m, 物体 A 在水平面上, A 由静止释放, 当 B 沿竖直方向下落 h 时, 测得 A 沿水平面运动的速度为v ,这时细绳与水平面的夹角为? .试分 析计算 B 下降 h 过程中,A 克服地面摩擦力做的功.(滑轮的质量和摩擦 均不计)

2、碰撞中的动量守恒和能量守恒
在研究碰撞类问题时,只要抓住适用条件,注意速度的矢量性、相对性、瞬时性和同物性, 弄清碰撞过程中能量转化的途径 (动能转化为内能时即为非弹性碰撞; 动能转化为势能时, 在碰 撞过程中动能也不守恒,只有刚接触、将分离时动能才守恒),简化复杂的物理过程(将多个研
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究对象和多个物理过程的问题,分解为多个简单的过程逐一研究),巧用典型模型及结论(弹性 碰撞,“子弹打木块”,“弹簧连接模型”),问题定能迎刃而解。 【例 2】如图所示,A、B、C 三个小球位于同一水平面上,它们大小相同,B、C 质量相等, 都是 A 球质量的一半,B、C 两球开始静止,A 球以速度 v0 向右运动,要使 A 球能分别将 B、C 两 球撞上高度分别为 h1=0.8m、h2=0.2m 的平台(且都不再返回)。已知 A 和 B 的碰撞没有机械能损 失,A 和 C 碰后粘在一起,不计一切摩擦,求 v0 的范围。

3、应用动量守恒定律解答木块与木板类问题
首先要从受力角度分析,木板、木块的运动规律,木块在木板上有相对滑动时,要特别注意辨 别题目的两个隐含条件,一是两者是否达到相同速度,达到相同速度后又如何运动;二是木板的长 度限定时,木块在木板上相对滑动是否会滑出木板。做这类题目,一定要画好运动示意图,要特别 注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系。 【例 3】如图所示,三块木板 A、B、C 的质量均 为 m,长度均为 L.A、B 置于水平地面上,它们的间 距 s=2m. C 置于 B 板的上端并对齐. A、 B、 C 之间及 A、

B 与地面之间的动摩擦因数均为μ =0.2,最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力。开始时,三个物 体处于静止状态。现给 A 施加一个水平向右,大小为 0.6mg 的恒力 F,假定木板 A、B 碰撞时间极短
且碰撞后粘连在一起,最终 C 没有脱离 A 板,g 取 10m/s .求: (1)最终 A、B、C 的速度是多少? (2)要使 C 完全离开 B 并不脱离木板 A,每块木板的长度应满足什么条件?
2

4

4、如何解答水平弹簧类的动量守恒中的极值问题 弹簧连接的物体(简称弹簧连接体)极值问题的解答思路是抓住基本规律,分清运动过程,在 满足动量守恒的条件下抓住能量这条主线进行求解。 【例 4】 在光滑水平导轨上放置着质量均为 m 滑块 B 和 C,B 和 C 用轻质弹簧拴接,且都处于静止状态。在 B 的右 端有一质量也为 m 的滑块 A 以速度 v0 向左运动,与滑块 B 碰撞的碰撞时间极短, 碰后粘连在一起, 如图 4 所示, 求弹 簧可能具有的最大弹性势能和滑块 C 可能达到的最大速度。
C B 图4

v0
A P

四、能量和动量专题练习:
(一)、单项选择题
1.(09 年广东理科基础 8)游乐场中的一种滑梯如图所示。小朋友从轨道顶端由静止开始下滑,沿 水平轨道滑动了一段距离后停下来,则( A.下滑过程中支持力对小朋友做功 B.下滑过程中小朋友的重力势能增加 C.整个运动过程中小朋友的机械能守恒 D.在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功 2. 如图所示,在光滑水平面上放一个质量为 M 的斜面体,质量为 m 的物体沿 M 的斜面由静止开 始自由下滑,下列说法中正确的是( ) A.M 和 m 组成的系统动量守恒 B.M 和 m 组成的系统动量不守恒 C.M 和 m 组成的系统水平方向动量守恒 D.M 和 m 组成的系统竖直方向动量守恒 3.在一次救灾行动中,需要把飞机上的 50 麻袋粮食投放到行驶的列车上.已知列车的质量为 M, 列车在铁轨上以速度 v0 做匀速直线运动, 列车上方的飞机也沿铁轨以速度 v1 同向匀速飞行.在某 段时间内,飞机连续释放下 50 袋粮食,每袋粮食质量为 m,且这 50 袋粮食全部落在列车车厢 内.不计列车与铁轨之间的摩擦,则列车载有粮食后的速度为( ) )

5

A.

B.

C.

D.

4.如图,质量为 3 kg 的木板放在光滑的水平地面上,质量为 1 kg 的木块放在木板上,它们之间有 摩擦,木板足够长,两者都以 4 m/s 的初速度向相反方向运动.当木板的速度为 2.4 m/s 时,木块 ( ) B.处于减速运动阶段 D.静止不动 A.处于匀速运动阶段 C.处于加速运动阶段

5.在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球 A、B,质量都为 m.现 B 球静止,A 球向 B 球运动, 发生正碰.已知碰撞过程中总机械能守恒,两球压缩最紧时的弹性势能为 Ep,则碰前 A 球的速度 等于( ) A. B. C. D.

6.一装有柴油的船静止于水面上,船前舱进水,堵住漏洞后用一水泵把前舱的水抽往后舱(如图 所示),不计水的阻力,船的运动情况是( ) A.向前运动 B.向后运动 C.静止 D.无法判断

7.如图所示,完全相同的 A、B 两物块随足够长的水平传送带按图中所示方向匀速转动,AB 间夹有 少量炸药,对 A、B 在炸药爆炸过程及随后的运动过程中有下列说法,其中正确的是( A.炸药爆炸后瞬间,A、B 两物体速度方向一定相同 B.炸药爆炸后瞬间,A、B 两物体速度方向一定相反 C.炸药爆炸过程中,A、B 两物体组成的系统动量不守恒 D.A、B 在炸药爆后到 A、B 两物体相对传送带静止过程中动量守恒 )

(二)、双项选择题
8.(09 年全国卷Ⅰ21)质量为 M 的物块以速度 v 运动, 与质量为 m 的静止物块发生正撞,碰撞后两 者的动量正好相等,两者质量之比 M/m 可能为( A.2 B.3 C.4 ) D.5

9.用大、小两个锤子钉钉子,大小锤子质量分别为 M、m,且 M=4m,钉钉子时设两个锤子的动量相 等, 两只钉子的质量也相等, 受到木板的阻力也相同, 且每次碰撞中钉子获得锤子的全部动能, 下列说法中正确的是( C.两把锤子钉得一样深 ) B.小锤子每次把钉钉子钉得深些 D.大小锤子每次把钉钉子钉入木板的深度深度之比为 1:4 A.大锤子每次把钉钉子钉得深些

10. 如图所示, 一直角斜面体固定在水平地面上, 左侧斜面倾角为 60°, 右侧斜面倾角为 30°, A、 B 两个物体分别系于一根跨过定滑轮的轻绳两端且分别置于斜面上,两物体下边缘位于同一高

6 60° 30°

度且处于平衡状态,不考虑所有的摩擦,滑轮两边的轻绳都是平行于斜面,若剪断轻绳,让物 体从静止开始沿斜面滑下,下列叙述正确的是( A.两物体的质量之比为 mA : mB ? 1 : 3 B.着地瞬间两物体的速度相等 C.着地瞬间两物体的机械能相等 D.着地瞬间两物体所受的重力的功率相等
v P Q



11.(四川省成都市)如图所示,位于光滑水平桌面,质量相等的小滑块 P 和 Q 都可以视作质点,Q 与轻质弹簧相连,设 Q 静止,P 以某一初动能 E0 水平响 Q 运动并与弹簧发生相互作用,若整个作用过程中无机械能损失, 用E1表示弹簧具有的最大弹性势能, 用E2表示Q 具有的最大动能, 则 ( A. E1 ? ) D. E2 ? E0

E0 2

B. E1 ? E0

C. E 2 ?

E0 2

12.光滑水平桌面上有两个相同的静止木块(不是紧捱着),枪沿两个木块连线方向以一定的初速 度发射一颗子弹,子弹分别穿过两个木块。假设子弹穿过两个木块时受到的阻力大小相同,且 子弹进入木块前两木块的速度都为零。忽略重力和空气阻力的影响,那么子弹先后穿过两个木 块的过程中( ) B.每个木块增加的动能相同 D.每个木块移动的距离不相同 A.子弹两次损失的动能相同 C.因摩擦而产生的热量相同

(三)、非选择题
13. 在光滑水平面上静置有质量均为 m 的木板 AB 和滑块 CD, 木板 AB 上表面粗糙. 动摩擦因数为 ? , 滑块 CD 上表面是光滑的 1/4 圆弧,其始端 D 点切线水平且在木板 AB 上表面内,它们紧靠在一 起, 如图所示. 一可视为质点的物块 P, 质量也为 m, 从木板 AB 的右端以初速度 v0 滑上木板 AB, 过 B 点时速度为 v0/2,又滑上滑块 CD,最终恰好能滑到滑块 CD 圆弧的最高点 C 处,求: (1)物块滑到 B 处时木板的速度 vAB; (2)木板的长度 L; (3)滑块 CD 圆弧的半径

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14.质量为 m 的小球 B 用一根轻质弹簧连接.现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内,平 衡时弹簧的压缩量为 x0,如图所示,小球 A 从小球 B 的正上方距离为 3 x0 的 P 处自由落下,落 在小球 B 上立刻与小球 B 粘在一起向下运动,它们到达最低点后又向上运动,并恰能回到 O 点 (设两个小球直径相等,且远小于 x0, 略小于直圆筒内径) ,已知弹簧的弹性势能为 k?x ,
2

1 2

其中 k 为弹簧的劲度系数, ?x 为弹簧的形变量.求: (1)小球 A 的质量. (2)小球 A 与小球 B 一起向下运动时速度的最大值.

15. 如图所示, 水平传送带 AB 长 L=4.5m, 质量为 M=1kg 的木块随传送带一起以 v1=1m/s 的速度 向右匀速运动(传送带的传送速度恒定),木块与传送带间的动摩擦因数 μ=0.5.当木块运动 到传送带的最右端 A 点时, 一颗质量为 m=20g 的子弹以 v0=300m/s 水平向左的速度正好射入 木块并穿出,穿出速度 u=50m/s,以后每隔 1s 就有一颗子弹射向木块,并从木块中穿出,设 子弹穿过木块的时间极短,且每次射入点各不相同,g 取 10m/s ,求: (1)在被第二颗子弹击中前木块向左运动到离 A 点多远处? (2)木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中? (3)试说明从第一颗子弹射入木块到第二颗子弹刚要射入的时间内,子弹、木块和传送带三 者构成的系统是如何产生内能的?
2

8

动量和能量答案
【例 1】 【解析】AB 为质点组,AB 间轻绳的拉力为内力, A 与 B 的运动速度大小不等 v B ? v A cos? ? v cos? ①

轻绳对 A 和 B 的拉力为内力,做功代数和为零,系统只有 B 的重力 和 A 的摩擦力做功, 由质点组动能定理WGB ? W fA ? ①②联立解得:W fA

1 1 2 mv B ? Mv 2 ? 0 2 2 1 1 ? mgh ? Mv 2 ? mv 2 cos 2 ? 2 2



【点评】由于绳子拉力的变化,使其向上的分量也在变化,从而使A与地面的摩擦力发生变化,故 必须采用系统的动能定理才能解答,而不能用功的定义式。 【例 2】【解析】设 B、C 质量为 m,A 质量为 2m,A、B 碰后瞬间速度为 v1、v2,A、B 系统动量 守恒,有: 2mv0=2mv1+mv2
1 2 = 1 2mv2 + 1 mv2 2mv0 1 2 2 2 2

① ②
9

由①②解出:v1=v0/3

v2=4v0/3 ③ ④

1 2 mv ?mgh1 ,得出v 0 ?3m/s 欲使 B 能达到 h1 高度,有: 2 2 1 2mv2 ?2mgh,得出v 0 ?12m/s 欲使 A 与 B 碰后不能达到 h1 高度,有: 2 1

欲使 A 与 C 碰后能一起上升到 h2 高度,满足:2mv1=3mv2
1 2 3mv ? 3mgh ,得出v ? 9m/s 3 2 2 0



综上可知

9m/s≤v0≤12m/s

【点评】抓住题中 A、B 的弹性碰撞、A 返回与 B 的非弹性碰撞几个隐含条件,建立对应的碰撞 模型,再利用过顶的临界条件,问题就迎刃而解。 【例 3】【解析】(1)一开始 A 与水平地面之间的滑动摩擦 力 f1=μmg,A 在 F 的作用下向右加速运动。 由动能定理得: (F-f1)s= mv1

1 2

2



A、B 两木块的碰撞瞬间,满足动量守有:

mv1=(m+m)v2



碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中, 设 AB 整体、 C 向前移动的位移分别为 S1、S2 受滑动摩擦力分别为 f2=3μmg、f3=μmg, 三者的外力之和为零系统动量守恒, 有:2mv2=(2m+m)v3 ③ 解①②③得 v3= 2 3 m/s ④ ? gs ,再代入数据可得 v3= 4 3

所以最终 A、B、C 的速度是 4 m/s 3 (F-f2)s1-f3s1= ? 2mv3 ?
2 2 f3 s2= mv3

(2)对于 AB 整体: 对于 C:

1 2

1 2 ? 2mv2 2

⑤ ⑥

1 2

C 相对于 AB 的位移为 S3,由几何关系得 ②③④⑤⑥解得 S3= 1 3 S ,再代入数据可得

2 L +S2+ S3= S1+2L S3= 2 3 m

⑦ ⑧

要使 C 刚好完全离开 B (即 AC 对齐)C 相对于 A 的位移 L ? S 3 = 2 3 m ⑨ 要使 C 不脱离木板 A 则
3 2

L ? S3 解得 L ?

4 9

m



要使 C 完全离开 B 并不脱离木板 A,每块木板的长度应满足: m ? l ?

4 9

2 m 3

【点评】本题是在常规的“板块与木板”模型的基础进行拓展的,A、B 相碰后,系统受到的摩擦力 等于恒力 F,合外力为零系统动量守恒,但与传统的“板块与木板”模型有别,主要是恒力 F 和地
10

面对 AB 的摩擦力作用,系统的能量转化有些区别;其次是 C 不能视为质点来处理。做这类题时, 一定要理顺系统系统的能量转化关系, 千万不能简单的理解为系统机械能的减少就等于系统间的摩 擦力与相对位移之积;画出系统各物体的运动草图,理顺系统的相对位置关系和临界条件是解题的 根本。 【例 4】 【解析】 首先 A 与 B 发生碰撞, 系统的动能损失一部分; C 在弹簧弹力的作用下加速, A、B 在弹力的作用下减速, 但 A、B 的速度大于 C 的速度,故弹簧继续被压缩,直到 A、B 和 C 的速 度相等,弹簧的压缩量达到最大,此时弹簧的弹性势能最大。此
C B 图4

v0
A P

后,C 继续被加速,A、B 减速,当弹簧第一次恢复原长时,C 的速度达到最大,同时 A、B 分离。 设 A、B 碰撞之后达到的共同速度为 v1 ,A、B、C 三者达到的共同速度为 v2 ,当弹簧第一次 恢复原长时,A、B 的速度为 v3 ,C 的速度为 v4 . 对 A、B,在 A 与 B 的碰撞过程中,动量守恒,由动量守恒定律得 mv0 ? (m ? m)v1 对 A、B、C,在压缩弹簧直至三者速度相等的过程中,动量守恒,由动量守恒定律得 ② (m ? m)v1 ? (m ? m ? m)v2 A、B、C 系统的能量守恒,有 (m ? m)v12 ? 联立以上三式得 E P max ? ①

1 2

1 2 ( m ? m ? m) v 2 ? E P max 2



1 2 mv 0 12

对 A、B、C 弹簧组成的系统,从 A、B 碰撞后到弹簧再次恢复原长的过程中,动量、能量守 恒,有:

2mv1 ? 2mv3 ? mv4
1 1 1 2 2 2mv 12 ? 2mv 3 ? mv 4 2 2 2 2 联立④⑤得:C 的最大速度为 v 4 ? v 0 . 3

④ ⑤

【点评】解答弹簧连接的物体(简称弹簧连接体)极值问题问题的两条基本规律应该牢记:弹簧 形变最大时,系统的动能最小,弹性势能最大;弹簧处于原长时,系统的动能最大。 能量和动量专题练习:(一)、单项选择题 1.【答案】D【解析】在滑动的过程中,人受三个力重力做正功,势能降低 B 错;支持力不做 功,摩擦力做负功,所以机械能不守恒,AC 皆错,D 正确。 2.答案:C 解析:判断系统的动量是否守恒,要注意哪个方向上满足守恒条件,哪个方向上 的动量就守恒.

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3.A 解析:把列车和 50 麻袋粮食看作一个系统,此系统水平方向不受外力,故系统水平方向 50 袋粮食在落入车厢前因惯性在水平方向具有飞机的速度 v1, 动量守恒, 则 Mv0+50mv1=(M+50m)v2 v2= ,所以 A 正确. 4.C 解析:木板和木块组成的系统动量守恒,设它们相对静止时的共同速度为 v,以木板运动 的方向为正方向,则:Mv1-mv2=(M+m)v v= =2 m/s,方向与木板运动方向相同.在这之前,木板一直做匀减速运动,木块先做匀

减速运动,当相对地面的速度为零时,再反向向右做匀加速运动,直到速度增大到 2 m/s.设当木块 对地速度为零时,木板速度为 v′,则:Mv1-mv2=Mv′,v′= 故木板的速度为 2.4 m/s 时,木块处在反向向右加速运动阶段,C 正确. 5.C 解析:设碰前 A 球的速度为 v0,两球压缩最紧时的速度为 v,根据动量守恒定律得出: mv0=2mv ①由能量守恒得: mv02=Ep+ (2m)v2 ② =2.67 m/s,大于 2.4 m/s,

①②两式联立求解得:v0= 6. A 解析: 不计水的阻力, 则系统动量守恒, 用一水泵把前舱的水抽往后舱, 则水的重心后移, 故船将向前运动(等效于人船模型). 7.【答案】D【解析】炸药爆炸后,A 物体的速度是否反向,取决于炸药对两物体推力的冲量, 应该存在三种可能,速度为零、反向和保持原来的反向。由于炸药对两物块的的冲量大校相等,方 向相反,所以两物体的动量变化一定相等,两物块受到摩擦力大小相等,方向相反,故两物块一定 同时相对传送带静止,这样可以判断在炸药爆炸后传送带对两物块的冲量大小相等,方向相反,故 两物块组成的系统动量守恒。 (二)、双项选择题 8.【答案】AB 【解析】 本题考查动量守恒.根据动量守恒和能量守恒得设碰撞后两者的动量都为 P,则总动量为 2P, 根据 P 2 ? 2mEK ,以及能量的关系得

4P 2 p2 P2 M ? 3 ,所以 AB 正确。 ? ? 2 M 2m 2 M m

9.【答案】BD【解析】两锤动量相等,M=4m,所以大小锤子动能之比为 1:4,设木板对钉子 的阻力为 f, 应用动能定理 fs=Δ Ek, 即钉子钉入的深度与所获得的能量成正比, 即大小锤子每次把 钉子钉入的深度之比为 1:4,所以 BD 选项正确。 10. 【答案】 AD【解析】 轻绳未剪断之前, 设绳子的张力为 T, 根据力的平衡条件 T=mAgsin60° =mBgsin30° , mA:mB=1:1.732, 轻绳剪断后, A、 B 从静止开始下滑到水平面的过程中, 机械能守恒,

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着地的瞬间两物体的速率 v ? 2gh 相同,机械能不同,重力的功率

PA ? m A g 2 gh sin 60? ?

1 1 m A g 2 gh , PB ? m B g 2 gh sin 60? ? m B g 2 gh . 2 2

11.【答案】AD【解析】P、Q 相互作用的过程中满足动量守恒和机械能守恒,当 P、Q 速度相 等时,系统的动能损失最大,此时弹簧的弹性势能最大,根据动量守恒和机械能守恒可以求得 A 项 正确,由于 P、Q 的质量相等,故在相互作用过程中发生速度交换,当弹簧恢复原长时,P 的速度为 零,系统的机械能全部变为 Q 的动能,D 正确。 12.【答案】AD【解析】设木块的长度为 L,子弹穿过木块过程中对木 块的作用力为 f。 子弹穿过木块过程中, 子弹和木块阻力组成的系统克服阻 力做功为 fL,所以两次系统损失的动能相同,因摩擦而产生的热量相同。C 正确在同一个速度时间图象上作出子弹和木块的运动图象,如图所示。从 图象可知,子弹的运动图线与木块的运动图线与坐标轴围成的面积等于木 块的长度 L, 两次应相同, 但子弹第二次穿过木块时初速度小, 因而时间长; 木块第二次的位移大,木块增加的动能多;子弹损失的动能的动能也多。D 正确 (三)、非选择题 13.【解析】(1)由点 A 到点 B 时,取向左为正.由动量守恒得

mv0 ? mvB ? 2m ? v AB ,又 vB ?

v v0 ,则 v AB ? 0 2 4
2

(2)由点 A 到点 B 时,根据能量守恒得

5v 1 1 v 1 v 2 m v0 ? 2 ? m( 0 ) 2 ? m( 0 ) 2 ? ?m gL,则 L ? 0 2 2 16 2 4 16?g
(3)由点 D 到点 C,滑块 CD 与物块 P 的动量守恒,机械能守恒,得

m?

v0 v ? m ? 0 ? 2m v共 2 4

ngR ?

1 v0 2 1 v0 2 1 2 m( ) ? m( ) ? ? 2m v共 2 4 2 16 2

解之得 v共 ?

v 3 v0,R ? 0 8 64g
1 2 mv 1 2

2

14.【解析】(1)由平衡条件得 mg = k x0,设球 A 的质量为 m,与球 B 碰撞前的 速度为 v1,由机械能守恒定律得:3mgx 0 ?

设球 A、B 结合后的速度为 v1 ,由动量守恒定律得: v1 ?

?

?

m 6 gx0 m ? m1

13

? (m1 ? m) gx 0 ? 由于球 A、 B 恰能回到 O 点, 根据动能定理得:
解之得 m1 ? m .

1 1 2 ?2 kx 0 ? 0 ? (m1 ? m)v1 2 2

(2)由 B 点向下运动的距离为 x1 时速度最大,加速度为零.即 (m1 ? m) gx1 ? k ( x1 ? x0 ) ,因 为 mg ? kx0 , m1 ? m ,所以 x1 ? x0 .由机械能守恒得

1 1 1 ?2 1 2 2 (m1 ? m) gx1 ? (m1 ? m)v1 ? kx 0 ? (m1 ? m)v m ? k ( x1 ? x0 ) 2 2 2 2 2
解得: v m ?

2 gx0 .

15.【解析】(1)第一颗子弹击中过程中,设子弹射穿木块后, 木块的速度为 v2,子弹射穿木块的过程中动量守恒 解得: v2 ? 4m / s mv0 ? Mv1 ? mu ? Mv2 木块在传送带上先向左做匀减速运动, 当速度减为零后再向 右做匀加速运动直至与传送带同速.设此过程中木块运动的时间为 t、对地的位移为 S1.以向 右方向为正方向,则

f ? ? Mg ? Ma

v1 ? ? ?v2 ? ? at

解得t ?
2 M ? v12 ? v2 ?

v1 ? v2 1 ? 4 ? ? 1? s ? a 5
? 1 ? 42 ? 1.5(m) ?2 ? 0.5 ?10

由动能定理得: ? fS1 ?

1 2 1 2 Mv1 ? Mv2 2 2

解得 S1 ?

?2 f

故在被第二颗子弹击中前木块向右运动到离 A 点 1.5 米处. (2) 设木块在传送带上向左做匀减速运动, 在速度减为零的过程中运动对地运动的位移为 S2, 由动能定理得 S2 ?
2 0 ? Mv2 42 ? ? 1.6 ? m ? ?2? Mg 2 ? 0.5 ? 10

L 4.5 ? ?3 S1 1.5

由于 S2 ? 1.6m 故第三次子弹射穿木块后,木块将从传送带的左端滑下. 木块在传送带上最多能被 3 颗子弹击中. (3)第一颗子弹射穿木块的过程中,由于时间极短,木块还没有与传送带发生相对滑动,故内 能只由子弹与木块间的摩擦产生;而在第二颗子弹射木块之前,木块与传送带发生相对滑动, 木块与传送带的摩擦产生了内能.

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