【步步高】(江苏专用)版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理_图文

第三章 导数及其应用 §3.1 导数的概念及运算 内容 索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1 知识梳理 1.导数与导函数的概念 (1)设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 Δy f?x0＋Δx?－f?x0? 时，比值Δx＝ 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处 Δx f′(x0) . 可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数(derivative)，记作______ (2)若f(x)对于区间 (a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数， 记作f′(x). 答案 2.导数的几何意义 函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ， f′(x0) . f(x0))处的切线的斜率k，即k＝_______ 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α为常数) 导函数 f′(x)＝__ 0 αxα－1 f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝_____ cos x 答案 f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝a (a>0，a≠1) x －sin x f′(x)＝______ f′(x)＝__ ex axln a f′(x)＝______ 1 x f′(x)＝__ f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1) 1 xln a f′(x)＝______ 答案 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 f′(x)±g′(x) ； (1)[f(x)±g(x)]′＝______________ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝___________________ f′?x?g?x?－f?x?g′?x? f?x? 2 g ?x? (3)[ ]′＝____________________( g(x)≠0). g?x? 5.复合函数的导数 ? ? ? ? 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y x 即 y ?x＝yu ＝yu · ux ， ·. a 答案 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( × ) 答案 2 考点自测 1 3 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)＝3x ＋2x＋1 的导函数， 则 f′(－1)的值为__. 3 1 3 解析 ∵f(x)＝3x ＋2x＋1， ∴f′(x)＝x2＋2. ∴f′(－1)＝3. 1 2 3 4 5 解析答案 2. 如图所示为函数 y ＝ f(x) ， y ＝ g(x) 的导函数的图象， 那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是__. 1 2 3 4 5 解析答案 π π 2 3.设函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x)＝f′(2)sin x＋cos x，则 f′(4)＝－ _____. π 解析 因为 f(x)＝f′(2)sin x＋cos x， π 所以 f′(x)＝f′( )cos x－sin x， 2 π π π π 所以 f′( )＝f′( )cos －sin ， 2 2 2 2 π 即 f′( )＝－1，所以 f(x)＝－sin x＋cos x. 2 f′(x)＝－cos x－sin x. π π π 故 f′(4)＝－cos 4－sin 4＝－ 2. 1 2 3 4 5 解析答案 4 4.已知点 P 在曲线 y＝ x 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α ? ? e ＋1 的取值范围是________. 4 解析 ∵y＝ x ， e ＋1 ?3π ? ， π ? ? ?4 ? －4ex －4ex －4 ∴y′＝ x ＝ . 2＝ 2x x ?e ＋1? e ＋2e ＋1 x 1 e ＋ex＋2 ∵ex>0， 1 1 x x ∴e ＋ x≥2，当且仅当 e ＝ x＝1， e e 即x＝0时，“＝”成立.∴y′∈[－1,0)， ∴tan ?3π ? ? ? α∈[－1,0).又α∈[0，π)， ∴α∈? 4 ，π?. ? ? 1 2 3 4 5 解析答案 1 5.(2015· 陕西)设曲线 y＝e 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上 x x (1,1) 点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为______. 解析 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1， 1 1 设 P(m，n)，y＝ (x>0)的导数为 y′＝－ 2 (x>0)， x x 1 1 曲线 y＝x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m2 (m>0)， 因为两切线垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1， 则点P的坐标为(1,1). 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类 深度剖析 题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； 解 ∵y＝(3x2－4x)(2x＋1) ＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， ∴y′＝18x2－10x－4. (2)y＝x2sin x； 解 y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.