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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性


第二章

第三节

一、选择题 1.(文)(2014· 湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)= 1 x2 B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2
-x

)

C.f(x)=x3 [答案] A

[解析] ∵f(x)=x3 为奇函数,f(x)=2 x 为非奇非偶函数,∴排除 C、D;又 f(x)=x2+1 在


(-∞,0)上单调递减,排除 B,选 A. (理)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x [答案] D [解析] 本题考查了函数的性质.
2 ? ?x 因为 y=x|x|=? 2 ?-x ?

)

B.y=-x3 D.y=x|x|

x≥0 x<0

,是奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数,故选 D.

解答本题可用排除法,选项 A 不具备奇偶性,选项 B 在(-∞,+∞)上是减函数,选项 C 在(-∞,+∞)上不具备单调性. 2.下面四个结论中,正确命题的个数是( ①偶函数的图像一定与 y 轴相交; ②函数 f(x)为奇函数的充要条件是 f(0)=0; ③偶函数的图像关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). A.1 C .3 [答案] A 1 [解析] ①错误,如函数 f(x)= 2是偶函数,但其图像与 y 轴没有交点;②错误,因为奇函 x 数的定义域可能不包含 x=0;③正确;④错误,既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)=0, x∈(-a,a). 3.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图像可能是( ) B.2 D.4 )

-1-

[答案] B [解析] 本小题考查函数的图像,奇偶性与周期性. y=f(x)为偶函数,周期 T=2. 4.已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,如果 x1<0,x2>0, 且|x1|<|x2|,则有( ) B.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)-f(x2)<0

A.f(-x1)+f(-x2)>0 C.f(-x1)-f(-x2)>0 [答案] D

[解析] ∵x1<0,x2>0,|x1|<|x2|,∴0<-x1<x2, 又 f(x)是(0,+∞)上的增函数,∴f(-x1)<f(x2), 又 f(x)为定义在 R 上的偶函数,∴f(x1)<f(x2). ∴f(x1)-f(x2)<0.选 D. 5.(文)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1) =( ) A.3 C.-1 [答案] D [解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0, 即 0=20+b,∴b=-1, 故 f(1)=2+2-1=3,∴f(-1)=-f(1)=-3. (理)若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) [答案] D [解析] 由题意得 f(x)-g(x)=ex,f(-x)-g(-x)=e x,即-f(x)-g(x)=e x,由此解得 f(x)
- -

B.1 D.-3

)

B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)



ex-e x ex+e x ex-e x ,g(x)=- ,g(0)=-1,函数 f(x)= 在 R 上是增函数,且 f(3)>f(2)= 2 2 2
- - - -

e2-e 2 >0, 2 因此 g(0)<f(2)<f(3),选 D.

-2-

2 ? ?x +1, 6.(2014· 福建高考)已知函数 f(x)=? ?cosx, ?

x>0, x≤0,

则下列结论正确的是(

)

A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数 [答案] D

B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

[解析] 本题考查函数的基本性质,由 x>0 得,x2+1>1,当 x≤0 时,cosx∈[-1,1],故 f(x)∈[-1,+∞)选 D. 二、填空题 1 7.(文)若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=______. 2 -1 [答案] 1 2

[解析] 考查函数的奇偶性. ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1), 即 1 1 1 +a=- -a,∴a= . - 2 2 1-1 2-1

k-2x (理)若函数 f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 k=________. 1+k· 2x [答案] ± 1 [解析] 解法 1 若定义域中包含 0,则 f(0)=0,解得 k=1;若定义域中不包含 0,则 k =-1,验证得此时 f(x)也是奇函数. 解法 2 由 f(-x)+f(x)=0 恒成立,解得 k=± 1. [点评] 解此题时,容易受习惯影响漏掉 k=-1.熟悉的地方也有盲点,知识不全面、平

时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思,是面对“意外”题型无法应对的真正原因. 8.(文)(2014· 新课标Ⅱ)偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)= ________. [答案] 3 [解析] 本题考查函数奇偶性、对称性及周期性的综合应用. ∵f(x)=f(x+4),∴周期为 4, ∴f(-1)=f(3)=3, 找出周期是关键. (理)(2014· 新课标Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取 值范围是________. [答案] (-1,3) [解析] 本题考查抽象函数的奇偶性与单调性,绝对值不等式的解法.

-3-

∵偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上单减,且 f(2)=0 ∴f(x)>0 的解集为|x|<2 ∴f(x-1)>0 的解集为|x-1|<2,解得-1<x<3. 故 x∈(-1,3). 1+f?x? 9.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= ,若 f(1)=2 015,则 f(103)=________. 1-f?x? 1 [答案] - 2 015 1+f?x? [解析] ∵f(x+1)= , 1-f?x? 1+f?x? 1+ 1-f?x? 1+f?x+1? 1 ∴f(x+2)= = =- . 1-f?x+1? 1+f?x? f?x? 1- 1-f?x? ∴f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1)=2 015. 1 1 ∴f(103)=f(25×4+3)=f(3)=- =- . 2 015 f?1? 三、解答题 ax2+1 10.(文)已知函数 f(x)= (a,b,c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2,f(2)<3,求 a,b,c 的 bx+c 值. [解析] 由 f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c), ∴c=0. 又 f(1)=2,得 a+1=2b, 4a+1 而 f(2)<3,得 <3,解得-1<a<2, a+1 又 a∈Z,∴a=0 或 a=1. 1 若 a=0,则 b= ?Z,应舍去;若 a=1,则 b=1∈Z, 2 ∴a=1,b=1,c=0. x-a (理)已知 f(x)= 2 是奇函数. x +bx+1 (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间,并加以证明; (3)求 f(x)(x>0)的最值. [分析] 利用 f(-x)=-f(x)求 a,b 的值.

-4-

[解析] (1)∵f(x)+f(-x)=0 恒成立, 即 x-a x+a - 2 =0 恒成立, x +bx+1 x -bx+1
2

则 2(a+b)x2+2a=0 对任意的实数 x 恒成立. ∴a=b=0. x (2)∵f(x)= 2 (x∈R)是奇函数, x +1 ∴只需研究(0,+∞)上 f(x)的单调区间即可. 任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= ?x2-x1??x1x2-1? x1 x2 - 2 = 2 . 2 x1+1 x2+1 ?x1+1??x2 2+1?

2 ∵x1 +1>0,x2 2+1>0,x2-x1>0,

而 x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0, ∴当 x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0, 函数 y=f(x)是增加的; 当 x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0, 函数 y=f(x)是减少的. 又 f(x)是奇函数, ∴f(x)在[-1,0]上是增加的,在(-∞,-1]上是减少的. 又 x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有 f(x)≥f(u),等号只在 x=u=0 时取到,故 f(x)在[-1,1]上 是增加的. (3)由(2)知函数 f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则 f(x)在 x=1 处可取得最大值 . 1 1 ∴f(1)= ,∴函数的最大值为 ,无最小值. 2 2 [点评] (1)求一个函数的最值时,应首先考虑函数的定义域. (2)函数的最值是函数值域中的一个取值,是自变量 x 取了某个值时的对应值,故函数取 得最值时,一定有相应的 x 的值.

一、选择题 1.(2014· 山东高考)对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都 有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( A.f(x)= x C.f(x)=tanx [答案] D [解析] 本题属于给予新定义题目,关键理解实质.
-5-

)

B.f(x)=x2 D.f(x)=cos(x+1)

∵f(x)=f(2a-x),∴f(x)的对称轴为 x=a≠0 即选项为有非零的对称轴的函数.A、B、C 不具有轴对称性.故选 D.D 选项对称轴为 x=kπ-1,k∈Z. 4x+1 2.(文)函数 f(x)= x 的图像( 2 A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 [答案] D 1 1 - [解析] ∵f(-x)=2 x+ -x=2x+ x=f(x), 2 2 ∴f(x)是偶函数,其图像关于 y 轴对称. (理)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是一个减函数,且 x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( A.大于 0 C.等于 0 [答案] A [解析] 由 x1+x2<0,得 x1<-x2. 又 f(x)为减函数,∴f(x1)>f(-x2), 又 f(x)为 R 上的奇函数,∴f(x1)>-f(x2). ∴f(x1)+f(x2)>0. 同理 f(x2)+f(x3)>0,f(x1)+f(x3)>0, ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>0. 二、填空题 3.设 f(x)是以 2 为周期的函数,且当 x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则 f(-1)=________. [答案] -1 [解析] 本题考查函数的周期性,转化与化归思想. f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 4.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增加的,下列关于 f(x) 的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图像关于直线 x=2 对称; ③f(x)在[0,1]上是增加的; ④f(x)在[1,2]上是减少的; ⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是________. ) B.小于 0 D.以上都有可能 ) B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

-6-

[答案] ①②⑤ [解析] f(x+1)=-f(x)?f(x+2)=f(x), 故 f(x)是周期函数. 又 f(x)=f(-x),所以 f(x+2)=f(-x), 故 f(x)关于直线 x=1 对称, 同理,f(x+4)=f(x)=f(-x), ∴f(x)关于直线 x=2 对称. 由此可得①②⑤正确. 三、解答题 5.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围. [解析] 由偶函数性质知 f(x)在[0,2]上单调递增,且 f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|), -2≤1-m≤2, ? ? 因此 f(1-m)<f(m)等价于?-2≤m≤2, ? ?|1-m|<|m|. 1 解得: <m≤2. 2 1 因此实数 m 的取值范围是( ,2]. 2 6.(文)已知函数 f(x),当 x、y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).且当 x>0 时,f(x)<0 恒成 立. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是递减的; 1 (3)若 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 [解析] (1)∵函数定义域为 R, ∴在 f(x+y)=f(x)+f(y)中令 y=-x 得, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)设 x1<x2,且 x1、x2∈R. 则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.

-7-

即 f(x)在 R 上单调递减. (3)由(2)知 f(x)在[-2,6]上为减函数. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 1 ∵f(1)=- ,∴f(2)=f(1)+f(1)=-1, 2 ∴f(-2)=-f(2)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴所以 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. (理)已知函数 y=f(x)的定义域为 R.且对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b).且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m,n∈N+)上的值域. [解析] (1)设任意 x1,x2∈R,且 x1<x2, f(x2)=f[x1+(x2-x1)] =f(x1)+f(x2-x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1), 故 f(x)是 R 上的减函数. (2)∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, ∴可令 a=-b=x, 则有 f(x)+f(-x)=f(0). 又令 a=b=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 从而任意的 x∈R,f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x). 故 y=f(x)是奇函数. (3)由于 y=f(x)是 R 上的单调递减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也是减少的, 故 f(x)在[m,n]上的最大值 f(x)max=f(m), 最小值 f(x)min=f(n). 由于 f(n)=f[1+(n-1)] =f(1)+f(n-1)=…=nf(1), 同理 f(m)=mf(1).

-8-

又 f(3)=3f(1)=-3, ∴f(1)=-1. ∴f(m)=-m,f(n)=-n. 因此函数 y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].

-9-



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