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【步步高】(江苏专用)版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 文_图文

第三章 导数及其应用 §3.1 导数的概念及运算 内容 索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1 知识梳理 1.导数与导函数的概念 (1)设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δx 无限趋近于 0 Δy f?x0+Δx?-f?x0? 时,比值Δx= 无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处 Δx f′(x0) . 可导,并称该常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的导数(derivative),记作______ (2)若f(x)对于区间 (a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数, 记作f′(x). 答案 2.导数的几何意义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f(x) 在点 P(x0 , f′(x0) . f(x0))处的切线的斜率k,即k=_______ 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=xα(α为常数) 导函数 f′(x)=__ 0 αxα-1 f′(x)=______ f(x)=sin x f′(x)=_____ cos x 答案 f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=a (a>0,a≠1) x -sin x f′(x)=______ f′(x)=__ ex axln a f′(x)=______ 1 x f′(x)=__ f(x)=ln x f(x)=logax(a>0,a≠1) 1 xln a f′(x)=______ 答案 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 f′(x)±g′(x) ; (1)[f(x)±g(x)]′=______________ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′=___________________ f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? 2 g ?x? (3)[ ]′=____________________( g(x)≠0). g?x? 答案 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( × ) 答案 2 考点自测 1 3 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)=3x +2x+1 的导函数, 则 f′(-1)的值为__. 3 1 3 解析 ∵f(x)=3x +2x+1, ∴f′(x)=x2+2. ∴f′(-1)=3. 1 2 3 4 5 解析答案 2. 如图所示为函数 y = f(x) , y = g(x) 的导函数的图象, 那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是__. 1 2 3 4 5 解析答案 π π 2 3.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′(2)sin x+cos x,则 f′(4)=- _____. π 解析 因为 f(x)=f′(2)sin x+cos x, π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2 π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′( )=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. 2 f′(x)=-cos x-sin x. π π π 故 f′(4)=-cos 4-sin 4=- 2. 1 2 3 4 5 解析答案 4 4.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α ? ? e +1 的取值范围是________. 4 解析 ∵y= x , e +1 ?3π ? , π ? ? ?4 ? -4ex -4ex -4 ∴y′= x = . 2= 2x x ?e +1? e +2e +1 x 1 e +ex+2 ∵ex>0, 1 1 x x ∴e + x≥2,当且仅当 e = x=1, e e 即x=0时,“=”成立.∴y′∈[-1,0), ∴tan ?3π ? ? ? α∈[-1,0).又α∈[0,π), ∴α∈? 4 ,π?. ? ? 1 2 3 4 5 解析答案 1 5.(2015· 陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上 x x (1,1) 点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为______. 解析 y′=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1, 1 1 设 P(m,n),y= (x>0)的导数为 y′=- 2 (x>0), x x 1 1 曲线 y=x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=-m2 (m>0), 因为两切线垂直,所以k1k2=-1, 所以m=1,n=1, 则点P的坐标为(1,1). 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类 深度剖析 题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数: (1)y=(3x2-4x)(2x+1); 解 ∵y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, ∴y′=18x2-10x-4. (2)y=x2sin x; 解 y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. 解析答案 (3)y=3xex-2x+e; 解 y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2


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