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同角三角函数基本关系式及诱导公式训练


同角三角函数基本关系式及诱导公式

一、知识梳理
1.同角公式: (1)平方关系:sin2α+cos2α=1 (2)商数关系:tanα= 。 2.三角函数的诱导公式(巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限) ............ 注意:公式中始终视 ...? .为锐角 ... 公式一:

?
正弦 余弦 公式二:

2k ? ? ? sin ? cos ?

-?
-sin ? cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2 ? ?? -sin ? cos ?

?
正弦 余弦

?
2

??

?
2

??

cos ? sin ?

cos ?

-cos ? -sin ?

3 ? ?? 2

—cos ? sin ?

3 ? ?? 2

-sin ?

3.同角三角函数的关系式的基本用途: 根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角 恒等式. 4.诱导公式的作用: 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为 0° ~90? 角的三角函数值. 例 1、化简已知 sin ? ? ?

3 ,求 cos? , tan? 的值. 5

例 2、 .根据下列条件求 cos? , tan? 的值: (1)已知 sin ? ?

5 ?? 5 ? (2)已知 sin ? ? ? ; ? ?? ?? ?; 13 ? 2 13 ?

例 3、设 tan ? 2 . (1)求

1 ? 2 sin ? cos? 2 2 ; (2)求 2 sin ? ? 4 sin? cos? ? 20 cos ? 的值; sin 2 a ? cos2 ?
sin 3 ? ? 2 cos? 的值. sin ? ? cos?
2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ,求 tan? 的值. 3 ?2 ?

(3)求

例 4、已知 sin ? ? cos? ?

1

例 5、

sin x tan x ? sin x ? 1 ? cos x tan x ? sin x

诱导公式
例 1、化简: (1)

tan ? 2? ? ? ? cos ?? ? ? ? tan(? ? ? )

sin ? 3? ? ? ? tan ?? ? ? ?



例 2、求 cos ? 1140

?

?

?? tan 945

?

? 5? ? ? 17 ? ? sin? ? ? ? cot? ? ? ? . ? 6 ? ? 3 ?

例 3、已知 cos( ? ?? ) ? ?

1 ,求 sin(2? ? ? ) 的值. 2

2 cos3 ? ? sin 2 (360 ? ? ? ) ? sin(90? ? ? ) ? 3 ? 例 4、 (1)设 f (? ) ? ,则 f ( ) ? _______; 2 2 ? 2 cos (180 ? ? ? ) ? cos(?? ) 3
(2)计算 tan(27? ? ? ) tan(49? ? ? ) tan(221 ? ? ? ) cot(513 ? ? ? ) ? ______.

例 5、已知 cos?

3 ?? ?? ? ? 5? ? ? ?? ? ? ,求 cos? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? 的值. 6? ?6 ? 3 ? 6 ? ?

例 6、在 ?ABC 中关于三个内角 A 、 B 、 C 的三角函数,以下关系成立的是( ) A. sin

B?C A ? sin 2 2

B. cos(B ? C ) ? cos A D. sin(2B ? 2C ) ? sin 2 A

C. cos(2B ? 2C ) ? cos 2 A 一、选择题:

4 1 的值等于( ) a ? (0, ? ) ,则 5 tan ? 4 3 4 3 A. B. C. ? D. ? 3 4 3 4 2.若 tan? ? m , ? ? ? ? 2? , sin ? =( )
1. cos? ? A. m m ? 1
2

B. ? m m ? 1 C.
2

m ? m2 ? 1

D.

m m2 ? 1

3.已知 tan? ? 3 , ? ? ? ? A. ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是( ) 2
C.
2

1? 3 2

B.

?1? 3 2

1? 3 2

D.

1? 3 2

4.若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则 A.2 B.-2
?

sin ? 1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos2 ? 的值等于( ) cos?
D.0

C.-2 或 2
?

5.若 sin 180 ? ? ? cos 90 ? ? ? ?a ,则 cos 270 ? ? ? 2 sin 360 ? ? 的值为( )
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

A. ?

2 a 3

B. ?

3 a 2

C.

2 a 3

D.

3 a 2

6. ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则下列各式中正确的是( ) A. sin? ? sin ? 7. 如果 sin(? ? ? ) ? ? A. ? B. cos? ? cos ? C. tan? ? tan ? D.cos(2? ? ? )? ? cos ?

1 3 ,那么 cos( ? ? ? ) 是( ) 2 2
1 2
C. ? ) C. ? 1 ? 3 D. ? 1 ? 3

1 2

B.

3 2

D.

3 2

8. tan 300? ?

1 的值为( tan 405?

A. 1 ? 3

B. 1 ? 3

9.已知 cos( ? ?? ) ? ? A.

4 5

3 且 ? 是第四象限角,则 sin(?2? ? ? ) =( ) 5 4 3 4 B. ? C. ? D. 5 5 5


? ? 2) 化简的结果是( 10.函数式 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(
A. sin 2 ? cos 2 C. cos 2 ? sin 2
2

B. ? (sin 2 ? cos 2) D.以上结论都不对 )

3 3 sin(?? ? ? )sin( ? ? ? ) tan 2 (2? ? ? ) tan(? ? ? ) 11.已知 sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则 的值( 2 2 cos( ? ? ) cos( ? ? ) 2 2

?

?

A.

3 4
2

B. ?

3 4

C.

3 3 或? 4 4

D. ?

3 5

二、填空题: 1.化简: 1 ? sin 4 =_________

1 3 3 ,则 sin ? ? cos ? ? __________ . 2 2 cos x ? 4 sin x 3.设 tan x ? 2 ,则 ? ________, 3 sin 2 x ? 4 cos2 x ? _________. 5 cos x ? 3 sin x
2.若 ? 是锐角, sin? ? cos? ?
3

1 2 2 sin ? ? cos2 ? 的值等于________ 4 5 cos? 1 cos? 5.已知 ? ? ,则 ? _________. 1 ? sin ? 2 sin? ? 1
4.已知: tan? ? ?2 ,则 6. sin 1? ? sin 2? ? sin 3? ? ? ? sin 89? =________
2 2 2 2

7.已知 f ( x ) ?

1? x ? ,若 x ? ( , ? ) ,则 f (cos x) ? f (? cos x) 可化简为______ 1? x 2

8. cos 225 ? ? tan 240 ? ? sin(?60?) =___________ 9. tan(?

37 31 ? ) ? cos ? =____________ 4 6

10.计算 sin ? 1200 cos1290 ? cos ? 1020 sin ? 1050
? ? ?

?

?

?

? ?

?

?? tan 945

?

? _______.

11.已知 cos?? ? ? ? ? ?

3 3? ?? ? , ? ? ? 2? ,则 tan ? ? ? ? ? ________, 5 2 ?2 ?

12.若 1 ? 3 cos?? ? ?? ? 2 ,则 os?3? ? ?? ? __________ . cos?2? ? ?? 9
3 2 ? ? ? ?? 13.设 f ?x ? ? 2 cos x ? sin ?360 ? x ? ? cos?360 ? x ? ? 3 ,则 f ? ? ? __________. 2 ? 2 ? 2 cos ?180 ? x ? ? cos?? x ? ? 3?
? ? 14. 1 ? 2 sin 1085 sin?? 2075 ? ? __________. cos 5 ? ? 1 ? sin 2 95 ?

三、解答题: 1. (1)若

3 sin ? ? 5 cos? 1 ? ,求 tan? ; 2 sin ? ? 7 cos? 11
2 2

(2)若 tan? ? 3 ,求 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? 的值. 2.已知角 ? 终边上一点 A 的坐标为 (1)化简下列式子并求其值: (2)求角 ? 的集合. 3.化简:
1 ? 2 sin 10 ? cos10 ? cos10 ? ? 1 ? cos2 170 ?
2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 2 求 f (? ) 的值。 3 2 ? 2 cos2 (? ? ? ) ? cos(?? )
4

?

3, ?1 ,

?

sin?2? ? ? ? tan?? ? ? ? cot?? ? ? ? ? ; csc?? ? ? cos?? ? ? ? tan?3? ? ? ?

?

4.设 f (? ) ?


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