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高中数学北师大版必修3教学案:第三章 §2 2.3 互斥事件 Word版含解析

2.3 互斥事件

预习课本 P138~146,思考并完成以下问题 (1)互斥事件的定义是什么?

(2)对立事件的定义是什么?

(3)互斥事件与对立事件有什么区别和联系?

(4)互斥事件的概率加法公式是什么?

[新知初探] 1.互斥事件 (1)定义:在一个试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件 A 与 B 称作互斥 事件. (2)规定:事件 A+B 发生是指事件 A 和事件 B 至少有一个发生. (3)公式: 在一次随机试验中, 如果随机事件 A 和 B 是互斥事件, 那么有 P(A+B)=P(A) +P(B). (4)公式的推广:如果随机事件 A1,A2,…,An 中任意两个是互斥事件,那么有 P(A1 +A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). [点睛] (1)如果事件 A 与 B 是互斥事件,那么 A 与 B 两事件同时发生的概率为 0. (2)

从集合的角度看,记事件 A 所含结果组成的集合为集合 A,事件 B 所含结果组成的集 合为集合 B,事件 A 与事件 B 互斥,则集合 A 与集合 B 的交集是空集,如图所示. 2.对立事件 (1)定义: 在一次试验中,如果两个事件 A 与 B 不能同时发生,并且一定有一个发生,那么事件

- A 与 B 称作对立事件,事件 A 的对立事件记为 A . (2)性质: - - P(A)+P( A )=1,即 P(A)=1-P( A ). [点睛] 两个事件是对立事件,它们也一定是互斥事件;两个事件为互斥事件,它们未 必是对立事件. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对立事件一定是互斥事件.( ) ) ) )

(2)A,B 为两个事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B).(

(3)若事件 A,B,C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1.( (4)事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件.( 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×

2.一人在打靶中连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 C.两次都不中靶 B.两次都中靶 D.只有一次中靶

)

解析:选 C 连续射击两次的结果有四种:①两次都中靶;②两次都不中靶;③第一 次中靶,第二次没有中靶; ④第一次没有中靶,第二次中靶.“至少有一次中靶”包含①③④三种结果,因此互 斥事件是②. 3.抽查 10 件产品,记事件 A 为“至少有 2 件次品”,则 A 的对立事件为( A.至多有 2 件次品 C.至多有 2 件正品 B.至多有 1 件次品 D.至少有 2 件正品 )

解析:选 B 至少有 2 件次品包含 2,3,4,5,6,7,8,9,10 件.共 9 种结果,故它的对立事件 为含有 1 或 0 件次品,即至多有 1 件次品. 4.甲乙两人下围棋比赛,已知比赛中甲获胜的概率为 0.45,两人平局的概率为 0.1, 则甲输的概率为________. 解析:记事件 A=“甲胜乙”,B=“甲、乙战平”,C=“甲不输”,则 C=A+B, 而 A,B 是互斥事件,故 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.由于甲输与不输为对立事件, 故甲输的概率为:1-P(C)=1-0.55=0.45. 答案:0.45

互斥事件和对立事件的判断 [典例] 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件 A 为“只订甲报”,事件 B 为 “至少订一种报”,事件 C 为“至多订一种报”,事件 D 为“不订甲报”,事件 E 为“一 种报也不订”.判断下列事件是否是互斥事件,如果是,判断它们是否是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 D;(4)B 与 C;(5)C 与 E. [解] (1)由于事件 C“至多订一种报”中可能只订甲报,即事件 A 与事件 C 有可能同时 发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故事件 B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 和事件 E 必有一个发生,故 B 与 E 也是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件 B 发 生,事件 D 也可能发生,故 B 与 D 不是互斥事件. (4)事件 B“至少订一种报”中有 3 种可能: “只订甲报”“只订乙报”“订甲、 乙两种报”. 事 件 C“至多订一种报”中有 3 种可能:“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件 B 与 事件 C 可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (5)由(4)的分析可知,事件 E“一种报也不订”仅仅是事件 C 的一种可能,事件 C 与事件 E 可能同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件.

判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们在一次试验中能否同时发生,若不能同时 发生,则这两个事件是互斥事件,若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件;判断两个 事件是否为对立事件,主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件:一是不能 同时发生;二是必有一个发生.这两个条件同时成立,那么这两个事件是对立事件,只要 有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件. [活学活用] 某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件 是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)恰有 1 名男生与恰有 2 名男生; (2)至少 1 名男生与全是男生; (3)至少 1 名男生与全是女生; (4)至少 1 名男生与至少 1 名女生. 解:从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名同学有 3 类结果;两男或两女或一男一女. (1)因为恰有 1 名男生与恰有 2 名男生不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有 2 名女生时,它们都没有发生,所以它们不是对立事件. (2)当恰有 2 名男生时,至少 1 名男生与全是男生同时发生,所以它们不是互斥事件. (3)因为至少 1 名男生与全是女生不可能同时发生,所以它们是互斥事件;由于它们必

有一个发生,所以它们是对立事件. (4)当选出的是 1 名男生 1 名女生时,至少 1 名男生与至少 1 名女生同时发生,所以它 们不是互斥事件. 互斥事件与对立事件概率公式的应用 [典例] 某射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率; (3)射中 8 环以下的概率. [解] “射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7 环”“射中 7 环以下”是彼此互斥的,

可运用互斥事件的概率加法公式求解. 记“射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7 环”“射中 7 环以下”的事件分别为 A,B, C,D,E,则 (1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.52. (2)法一:P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87, 所以至少射中 7 环的概率为 0.87. 法二:事件“至少射中 7 环”的对立事件是“射中 7 环以下”,其概率为 0.13,则至 少射中 7 环的概率为 1-0.13=0.87. (3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,所以射中 8 环以下的概率为 0.29.

运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥; (2)求各事件分别发生的概率,再求其和. 值得注意的是:(1)是公式使用的前提条件,不符合这点,是不能运用互斥事件的概率 加法公式的. [活学活用] 在数学考试中,小明的成绩在 90 分及 90 分以上的概率是 0.18,在 80~89 分(包括 80 分与 89 分, 下同)的概率是 0.51, 在 70~79 分的概率是 0.15, 在 60~69 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07.计算下列事件的概率: (1)小明在数学考试中取得 80 分及 80 分以上的成绩; (2)小明考试及格. 解:分别记小明的成绩在“90 分及 90 分以上”,在“80~89 分”,在“70~79 分”, 在“60~69 分”为事件 B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥. (1)小明的成绩在 80 分及 80 分以上的概率是

P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. (2)法一:小明考试及格的概率是 P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 法二:因为小明考试不及格的概率是 0.07,所以小明考试及格的概率是 1-0.07=0.93. 互斥、对立事件与古典概型的综合应用 [典例] 一盒中装有各色球 12 个,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.从 中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. [解] 记事件 A1={任取 1 球为红球};A2={任取 1 球为黑球}; A3={任取 1 球为白球};A4={任取 1 球为绿球},则 5 4 2 1 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= . 12 12 12 12 根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥, 法一:由互斥事件概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 5 4 3 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= + = . 12 12 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) = 5 4 2 11 + + = . 12 12 12 12

法二:(1)故取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球,即 A1+A2 的 对立事件为 A3+A4.所以取得 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4) 2 1 9 3 =1- - = = . 12 12 12 4 (2)A1+A2+A3 的对立事件为 A4,所以 1 11 P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1- = . 12 12

求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件; (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立

面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即 “ 正难则反 ” ,它常用来求 “ 至 少……”或“至多……”型事件的概率. [活学活用] 某学校的篮球队、 羽毛球队、 乒乓球队各有 10 名队员, 某些队员不止参加了一支球队, 具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:

(1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解:分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A,B,C.由 图知 3 支球队共有球员 20 名. 则 P(A)= 5 3 4 ,P(B)= ,P(C)= . 20 20 20

(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 D. 则 D=A+B+C,∵事件 A,B,C 两两互斥, ∴P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) = 5 3 4 3 + + = . 20 20 20 5

(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 E, 则 E 为“抽取一名队员,该队员属于 3 支球队”, ∴P(E)=1-P( E )=1- 2 9 = . 20 10

[层级一

学业水平达标]

1.许洋说:“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为 A,则 A 的对立事 件为( ) B.至多做完二套练习题 D.至少做完三套练习题

A.至多做完三套练习题 C.至多做完四套练习题

解析:选 B 至少做完 3 套练习题包含做完 3,4,5,6…套练习题,故它的对立事件为做 完 0,1,2 套练习题,即至多做完 2 套练习题. 2.把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人,每人分得 1 张,事

件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( A.对立事件 C.不可能事件

)

B.互斥但不对立事件 D.以上说法都不对

解析:选 B 因为只有 1 张红牌,所以这两个事件不可能同时发生,所以它们是互斥 事件;但这两个事件加起来并不是总体事件,所以它们不是对立事件. 3.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率是( 1 A. 10 3 C. 5 ) 3 B. 10 9 D. 10

解析:选 D 记 3 个红球分别为 a1,a2,a3,2 个白球分别为 b1,b2.从 3 个红球、2 个白 球中任取 3 个,则所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3, b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2), 共 10 个.由于每个基本事件发生的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”,则其对立事件 A 表示“所取的 3 个球 中没有白球”,则事件 A 包含的基本事件有 1 个:(a1,a2,a3),所以 P( A )= 1 9 =1-P( A )=1- = . 10 10 2 4.事件 A,B 互斥,它们都不发生的概率为 ,且 P(A)=2P(B),则 P(A)=________. 5 2 2 3 解析:因为事件 A,B 互斥,它们都不发生的概率为 ,所以 P(A)+P(B)=1- = .又 5 5 5 因为 P(A)=2P(B), 1 3 所以 P(A)+ P(A)= , 2 5 2 所以 P(A)= . 5 答案: 2 5 [层级二 应试能力达标] ) 1 .故 P(A) 10

1.若 P(A+B)=P(A)+P(B)=1,则事件 A 与 B 的关系是( A.互斥不对立 C.互斥且对立 答案:C B.对立不互斥 D.以上说法都不对

2.若事件 A 和 B 是互斥事件,且 P(A)=0.1,则 P(B)的取值范围是( A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]

)

C.(0,0.9]

D.[0,1]

解析:选 A 由于事件 A 和 B 是互斥事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又 0≤P(A∪B)≤1,所以 0≤0.1+P(B)≤1,又 P(B)≥0,所以 0≤P(B)≤0.9,故选 A. 3.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件 A 表示“向上的点数是奇数”,事件 B 表示“向上 的点数不超过 3”,则 P(A+B)=( 1 A. 2 5 C. 6 ) 2 B. 3 D.1

解析:选 B A 包含向上点数是 1,3,5 的情况,B 包含向上的点数是 1,2,3 的情况,所以 4 2 A+B 包含了向上点数是 1,2,3,5 的情况.故 P(A+B)= = . 6 3 4.从 1,2,3,…,30 这 30 个数中任意摸出一个数,则事件“摸出的数是偶数或能被 5 整除的数”的概率是( 7 A. 10 4 C. 5 ) 3 B. 5 1 D. 10

解析:选 B 这 30 个数中“是偶数”的有 15 个,“能被 5 整除的数”有 6 个,这两 个事件不互斥, 既是偶数又能被 5 整除的数有 3 个, 所以事件“是偶数或能被 5 整除的数” 18 3 包含的基本事件数是 18 个,而基本事件共有 30 个,所以所求的概率为 = . 30 5 5.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点”,事件 B 为“出现 2 1 1 点”,已知 P(A)= ,P(B)= ,则“出现奇数点或 2 点”的概率为________. 2 6 解析:“出现奇数点”的概率为 P(A),“出现 2 点”的概率为 P(B),且事件 A 与 B 互 1 1 2 斥,则“出现奇数点或 2 点”的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . 2 6 3 答案: 2 3

6.某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下: 最高水位/m 概率 [8,10) 0.2 [10,12) 0.3 [12,14) 0.5

则在同一时期内,河流在这一处的最高水位不超过 12 m 的概率为________. 解析:法一:记“最高水位在[8,10)内”为事件 A1,记“最高水位在[10,12)内”为事件 A2,记“最高水位不超过 12 m”为事件 A3,由题意知,事件 A1,A2 彼此互斥,而事件 A3 包含基本事件 A1,A2,所以 P(A3)=P(A1)+P(A2)=0.2+0.3=0.5. 法二:记“最高水位在[12,14)内”为事件 B1,记“最高水位不超过 12 m”为事件 B2,

由题意知,事件 B1 和 B2 互为对立事件,所以 P(B2)=1-P(B1)=1-0.5=0.5. 答案:0.5 1 7.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ,从中 7 取出 2 粒都是白子的概率是 12 .那么, 现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是________. 35

解析:设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A,“从中取出 2 粒都是白子”为事件 B, “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C,则 C=A+B,且事件 A 与 B 互斥.所以 P(C) 1 12 17 17 =P(A)+P(B)= + = ,即“任意取出 2 粒恰好是同一色”的概率为 . 7 35 35 35 17 答案: 35 8.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料 共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工 一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯 选对 2 杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 解:将 5 杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号 1,2,3 表示 A 饮料,编号 4,5 表示 B 饮料,则 从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234), (235),(245),(345),共有 10 种. 令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被评为 良好及以上的事件.则 1 (1)P(D)= . 10 3 7 (2)P(E)= ,P(F)=P(D)+P(E)= . 5 10

9.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全 相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 解:(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能结果为 (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1), (1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2), (1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),

(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1), (2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2), (3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3), (3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种. ∴P(A)= 3 1 = . 27 9

1 即“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B,则事件 B 的对立事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. ∴P(B)=1-P( B )=1- 3 8 = . 27 9

8 即“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9



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