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江西省新余市2011届高三第二次模拟考试卷数学文科

江西省新余市 2011 届高三第二次模拟考试卷 数学文科科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。

1 参考公式:锥体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高.柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 3
为底面面积, h 为高.球的表面积、体积公式 S ? 4?R 2 、 V ? 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

4 3 ?R ,其中 R 为球的半径. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置 ) ........
2 1? x 1.已知集合 M ? x y ? ln(9 ? x ) , N ? y y ? 2 ,集合 M ? N 为

?

?

?

?

A. (0,3)

B. (1,3)

C. (?3,1)

D. (??,3)

2.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,若 A.

8 3

B.

3 2

C. ?

8 3

z1 为实数,则实数 m 的值为 z2 3 D. ? 2

3.以下结论正确的是 A.命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”不是全称命题 B.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 4 ? 0 ” C.“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的必要不充分条件 D.“ a ? 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件 4.若 sin(

?

6 7 A. ? 9

??) ?

1 ? ,则 cos( ? ? ) 等于 3 3 1 1 B. ? C. 3 3
C.2 D.

D.

7 9

5.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是 A. ? 1 B.1

1 2

6.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a201 1 ? 3S 2 0 1 0 ? 2012 , a2010 ? 3S 2009 ? 2012, 则公比 q 等于 A. 3 B.

1 3

C.4

D.

1 4

?x ? 1 1 ? 7.已知点 P( x, y ) 满足 ? y ? 1 ,点 Q 在曲线 y ? ( x ? 0) 上运动,则 PQ 的最小值 x ?x ? y ?1 ? 0 ?


A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

x 8.已知函数 f ( x) ? lg x ? ( ) 有两个零点 x1 , x 2 ,则有

1 2

A. 0 ? x1 x2 ? 1

B. x1 x2 ? 1

C. x1 x2 ? 1

D. x1 x2 ? 0

9.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x、y,等式 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) 恒成立,若数列 ?an ? 满足 a1 ? f (0) ,且

f (an?1 ) ?
A.4017

1 (n ? N * ) ,则 a2011 的值为 f (?2 ? an )
B.4018 C.4019 D.4021

10.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i ? 1, 2,3, 4) ,此四边形内任一点 P 到 第 i 条 边 的 距 离 为 hi (i ? 1 , 2 , 3 ,, 若 4 )

a1 a a a ? 2 ? 3 ? 4 k ?, 则 1 2 3 4

2s h1 ? 2 h2 ? 3 h3 ? 4 h4 ? ;根据以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 k

Si (i ? 1, 2,3, 4) ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi (i ? 1, 2,3, 4) ,若
S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? k ,则 H1 ? 2H2 ? 3H3 ? 4H4 ? 1 2 3 4 V 3V 4V A. B. C. k k k

D.

8V k

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填在答题卷中的横线上 ) ............. 11. 已知向量 a , b 均为单位向量,若它们的夹角是 60 ,则 a ? 3 b 等于▲▲▲ .
0

? ?

?

?

12.在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上随机取一个数 x ,则 cos x 的值介于 0 到 的概率为▲▲▲ . 2 ? 2 2?

13.如图是一个空间几何体的三视图,若直角 三角形的直角边长均为 1,则这个几何体 的外接球的表面积为▲▲▲ .

正视图

侧视图

俯视图

14.在平面直角坐标系 x0 y 中,抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,若 M 是抛物线上的动点,则

MO MF

的最大值为▲▲▲ .

15.已知存在实数 x 使得不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3a ? 1 成立,则实数 a 的取值范围是▲▲▲ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ? b ,其中 a = (2cos x, 3 sin x) , b ? (cos x, ?2cos x) .

(1)求函数 f ( x ) 在区间 ?0,

(2)在 ? ABC 中, a 、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, f ( A) ? ?1 ,且 b ? 1

? ?? 上的单调递增区间和值域; ? 2? ?

?ABC 的面积 S ? 3 ,求边 a 的值.
17.(本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 已知在 全部 50 人 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 中随机抽取 1 人抽到喜 男生 5 爱打篮球的 学生的概率 女生 10 为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中, A1 , A2 , A3 还喜欢打羽毛球, B1,B2,B3 还喜欢 打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足 球的 8 位女生中各选出 1 名进行其他方面的调查, 求女生 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: 0.15 2.072 (参考公式: k ?
2

3 5

合计

50

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d .) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. (本小题满分 12 分) 如图 1,直角梯形 ABCD 中, AD / / BC, ?ABC ? 90 , E , F 分别为边 AD 和 BC 上的 点,且 EF / / AB , AD ? 2 AE ? 2 AB ? 4 FC ? 4 .将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的位置,使 AD ? AE . (1)求证: BC // 平面 DAE ; (2)求四棱锥 D ? AEFB 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ?

1 ,且 [3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0, n ? N * . 2
图2
n

(1)求 a3 , a4 , a5 , a6 的值及数列 ?an ? 的通项公式; 图1 (2)设 bn ? a2n ?1 ? a2n n ? N 20. (本小题满分 13 分)

?

?

? ,求数列 ?b ? 的前 n 项和 S
n

.

设椭圆 C:

1 x y x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 2 2 a b a b

d?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ?

21 7 ,O 为坐标原点.

a x )e ,其中 ?a ? 0? . x

(1)求函数 f ?x ? 的零点; (2)讨论函数 y ? f ?x ? 在区间 (??,0) 上的单调性; (3)在区间 ? ? ?,? ? 上, f ?x ? 是否存在最小值?若存在, 求出最小值; 若不存在, 请说明理由. 2

? ?

a? ?

参考答案 一、选择题(50 分) 题 号 答 案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 A 9 D 10 B

二、填空题(25 分) 11.

7

12 .

1 3

13

3?

14.

2 3 3

15 . ?? ,2? ? 3 ?

? 4 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2 cos x ? cos x ? 2 3 sin x ? cos x ? 1 ?

? 3 sin 2x ? cos2x?

? ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) ---------------------2 分 6
由 2k? ? 又 ?0,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? 5 , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z , 2 3 6

?? ? ? ? ?? ∴单调增区间为 ? , ? 。---------------------4 分 ? ? 2? ?3 2?

由?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 2 2 6
--------------------------------6 分

? f ( x) ? ??1,2?

(2)? 又S ?

f ( A) ? ?1,? A ?

?
3

,---------------------8 分

1 ? 1 ? c ? sin 60 0 ? 3 ,? c ? 4 ---------------------10 分 2
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 13

a ? 13

--------------------------------12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:(1) 列联表补充如下:--------------------------------3 分 (2)
喜爱打篮球 20 10 30 男生 女生 合计 5 15 20

不喜爱打篮球

合计 25 25 50



K2 ?

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879 ---------------------5 分 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.--------------------------------------6 分 (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切可 能的结果组成的基本事件如下:

( A1,B1,C1 ), ( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 )



( A1,B2,C2 ), ( A1,B3,C1 )



( A1,B3,C2 ), ( A2,B1,C1 ), ( A2,B1,C2 ), ( A2,B2,C1 ) ,( A2,B2,C2 ) , ( A2,B3,C1 ) ,

( A2,B3,C2 )



( A3,B1,C1 ), ( A3,B1,C2 ), ( A3,B2,C1 )



( A3,B3,C1 ), ( A3,B3,C2 ) , ( A3,B2,C2 ),
基本事件的总数为 18,------------------------------------------------------9 分 用 M 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 M 表示“ B1,C1 全被选中”这一事件,

,B1,C1 ), ( A2,B1,C1 ), ( A3,B1,C1 ) , 3 个基本事件组成, 由于 M 由 ( A 1
所以 P ( M ) ?

3 1 ? ,----------------------------------11 分 18 6 1 5 ? .---------------12 分 6 6
DE ? E

由对立事件的概率公式得 P( M ) ? 1 ? P( M ) ? 1 ? 18. (本小题满分 12 分) 解 (1)证: CF // DE, FB // AE, BF

CF ? F , AE

? 面 CBF // 面 DAE
又 BC ? 面 CBF 所以 BC // 平面 DAE .--------------------------------6 分 (2)取 AE 的中点 H ,连接 DH

EF ? ED, EF ? EA? EF ? 平面 DAE
又 DH ? 平面 DAE ? EF ? DH

? DH ? 面 AEFB --------------------------------------9 分
所以四棱锥 D ? AEFB 的体积 V ? 19.(本小题满分 12 分) 解: (1) a3 ? 3, a4 ?

1 4 3 .---------------12 分 ? 3 ? 2? 2 ? 3 3

1 1 , a5 ? 5, a6 ? 4 8

当 n 为奇数时, an? 2 ? an ? 2 所以 a2n?1 ? 2n ?1 当 n 为偶数时, an ? 2 ? …………3 分

1 1 an 即 a2 n ? a2 ? ( ) 2 2

n ?1

1 ? ( )n 2

…………5 分

?n, n ? 2k ? 1 ? 因此,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 1 n 2 ?( ) , n ? 2k ? 2
(2)因为 bn ? (2n ? 1) ? ( )

…………6 分

1 2

n

两式相减得

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2[( ) 2 ? … ? ( ) n ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 …………8 分 2 2 2 2 2 1 2
n

∴ S n ? 3 ? (2n ? 3) ? ( ) 20.(本小题满分 13 分) (1)由 e ?

-------------------------------12 分

1 x y 21 a ? 2c ,所以 b ? 3c ,由右焦点到直线 ? ? 1 的距离 d ? 得 2 a b 7



bc ? ab a2 ? b2

?

21 解得 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 7 ,
---------------------------6 分

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 当直线 AB 的斜率不存在时,由已知得 O 到直线 AB 的距离 d ?

2 21 7 ;
x2 y2 ? ?1 4 3

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,与椭圆 C: 联立消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx? 4m ? 12 ? 0 ,
2 2 2

x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 x x ? 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 ,因为

2 8k 2 m 2 2 4m ? 12 2 2 ( 1 ? k ) ? ? m2 ? 0 ( 1 ? k ) x x ? km ( x ? x ) ? m ? 0 1 2 1 2 2 2 所以 所以 3 ? 4k 3 ? 4k

2 2 整理得 7m ? 12(k ? 1) ,O 到直线 AB 的距离 d ?

m k ?1
2

?

2 21 7

因为 d ? AB ? OA ? OB ?

AB 2

2

,所以 AB ? 2d ?

4 21 ,即弦 AB 长度的最小值是 7

AB ?

4 21 7

------------------------13 分

21.(本小题满分 14 分) (1)令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ,所以函数 f ( x ) 的零点为 ? a -------------------2 分 (2)函数 f ( x ) 在区间 ?? ?,0? 上有意义, f ( x) ?
/

x 2 ? ax ? a x ?e , x2

令 f ( x) ? 0 ,得 x1 ?
/

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? 。 2 2 ? a ? a 2 ? 4a ) 上是单调递增函数, 2

因为 a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (??,

在(

? a ? a 2 ? 4a ,0) 上是单调递减函数。 2

------------------------7 分

(3)因为 ? a ? x1 ? ?a ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ? ? 0 ,所以 x1 ? ?a ? 0 。 2 2

由 f ( x) ? (1 ?

a x )e 知,当 x ? ?a 时, f ( x) ? 0 。 x a a? ? ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ? x1, ? ? 上的 2 2? ?

又函数 f ( x ) 在 ( x1 ,0) 上是减函数,且 x1 ? ? a ? ?

最小值为 f ( ? ) ,且 f ( ? ) ? 0 ,即函数在区间 ? ? ? , ?
?a

a 2

a 2

? ?

a a? 上的最小值为 f ( ? ) ,计算 ? 2 2?

a 得 f ( ? ) ? ?e 2 。 2

------------------------14 分



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