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国立新竹高级中学98学年度高一数学暑期作业8月份版


國立新竹高級中學 98 學年度高一數學暑期作業 8 月份版
第一單元 乘法公式與因式分解
1 1. 將下列各式乘開並化簡: (1) ( x ? )3 3
(2) ( x ? 2)( x2 ? 2 x ? 4)

(3) ( x ? 1)( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) 。 2. 將 (a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca) 乘開並化簡 3. 將下列各式作因式分解: (1) 2 xy ? 6 x ? y ? 3 (5) 3x2 ? 6x ? 2 (2) x3 ?

1 64

(3) x4 ? 6x2 ? 8

(4) x2 ? 2 x ? 4

(6) x3 ? 2 x2 ? 2 x ? 4

(7) ( x2 ? x ? 4)( x2 ? x ? 1) ? 6

(8) ( x2 ? 2x ? 2)( x2 ? 4x ? 2) ? 5x2

第二單元 根式的運算與化簡
4. 化簡下列各根式: (1) 2205 (5) 6 ? 2 6? 2 (2) 72600 (3) 12 ? 8 ?
1 1 ? 2 3

(4) ( 2 ? 3)( 6 ? 1)

(6) 3 ? 2 ? 5 3 ? 2 1? 6

(7) 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 (8) 2 ? 3

5. 設 0 ? x ? 1 ,化簡 x 2 ? 1 ? 2 。 x2 6. 化簡下列根式: (1) 3 432 (2) 3 ?320 (3) 3 16 ? 3 ?54 ? 3 (5)
1 3 3 9? 6?34

1 4
3

(4) ( 3 2 ? 1)( 3 4 ? 3 2 ? 2)

(6)

3

4 ?1 4?32

7. 設 n ? 5 3 2 ? n ? 1 ,其中 n 是一個整數,求 n 。

第三單元 方程式與不等式
8. 解下列方程式: (1)

4 x ?1 ? x 3

(2) 2 x ? 5 ? 3

(3) x ?1 ? 2 x ? 3 ? 6 (6) x x ? 5 ? 6

(4) 3x2 ? 58x ? 72 ? 0

(5) 2 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0

9. 設 k ? 0 ,且二次方程式 kx2 ? (k ? 1) x ? (2k ?1) ? 0 的兩根相等,求 k。 10. 設 ?? 是方程式 2 x 2 ? 3x ? 6 ? 0 的兩根,求下列各式的值: (1) ? 2 ? ? 2 11. 解下列不等式: (1) ?3 x ? 4 ? ?2 (2) 6 x 2 ? x ? 2 ? 0 (3) 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 (2) ? 3 ? ? 3 (3)

1

?

?

1

?

(4) ? ? ?

(4) 2 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 12. 解不等式

(5) x 2 ? 2 x ? 5 ? 0

(6) ?3x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

x?2 ? 0。 x ?1

第四單元 等差數列與等比數列
13. 設一等差數列,第 7 項為 15,第 15 項為 7,求第 100 項。

137 ,求 an 的最小值。 7 15. 設一等差數列,前 10 項的和是 125,前 20 項的和是 300,求前 30 項的和。
14. 設一等差數列的第 n 項為 an ,已知 a1 ? 20 , a2 ? 16. 設一等差數列,第 15 項為 ?8 ,前 15 項的和為 15,求前 50 項的和。

1 17. 設一等比數列,第 7 項為 ? ,第 18 項為 2,求第 29 項。 4 18. 設一等比數列,首項是 1,公比是 ?2 ,求前 10 項的和。
19. 設一等比數列,首項是 5,第 n 項是 80,前 n 項的和是 155,求 n。 20. 有一矩形紙板,長 a 寬 b,剪掉以寬為邊的正方形,如右圖所示。已 知所剩之矩形與原矩形之長寬比相同,即

a b 。 ? b a ?b

a (1) 求 。 b (2) 將剩餘之矩形再剪掉以寬為邊的正方形,依此方式繼續操作,一共
剪掉 4 個正方形,求最後所剩矩形之面積與原矩形面積的比值。 21. 作邊長為 1 的正三角形,取各邊中點為頂點又連成正三角形,再取中點連成 正三角形,如此繼續操作,共得 4 個正三角形,如右圖所示,求: (1) 最內層正三角形的邊長。(2)這 4 個正三角形的面積總和。

第五單元 平面幾何
22. 設 ?ABC 中, M 是 AB 中點, N 是 AC 上一點,求證:若

1 MN // BC ,則 N 是 AC 中點,且 MN ? BC 。 2
23. 設 ?ABC 中, ?BAC 的平分線交 BC 於 T 。 試證: ?ABT 面積: ?ACT 面積 ? AB : AC = BT : TC 。 (由此可知『內分比性質 BT : TC ? AB : AC 』 ) 24. 設 ?ABC 中,點 D 在 BC 上,且 BD : DC ? 3 : 2 , 又點 E 在 AC 的中點, AD 與 BE 交於點 P ,求 BP : PE 。 25. 設直角三角形 ABC 中, ?A 是直角,求證:若 AH 是斜邊 BC 上的高, 試證:(1) AB2 ? BH ?BC (2) AH ? BH ? HC
2

26. 在一圓中,設弦 AB 及 CD 的延長線在圓外交於點 P ,

1 試證:(1) ?P ? ( ? ? BD) AC ? 2
(2) AP ? PB ? CP ? PD (外冪性質)

27. 設圓 O 是 ?ABC 的外接圓,以 A 為切點的切線與
BC 的延長線交於點 P ,求證:

(1) ?CAP ? ?B (2) AP ? BP ? CP
2

28. 設點 C , D 在 AB 的同側,且 ?C ? ?D ,如圖 試證: A , B , C , D 四點共圓。 (即在同一圓上) 29. 設梯形 ABCD 內接於一圓,其中 AD // BC ,試證: ?B ? ? C ,且
AB ? DC 。

30. 設兩圓 O1 與 O2 相交於點 A , B ,試證: O1O2 垂直平分 AB 。 參考答案: 1. (1) x 3 ? x 2 ?

1 1 x? (2) x3 ? 8 3 27

(3) x 6 ? 1

2. a3 ? b3 ? c3 ? 3abc (3) ( x ? 2)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 2) (6) ( x2 ? 2)( x ? 2)

3. (1) (2 x ? 1)( y ? 3)

1 1 1 (2) ( x ? )( x2 ? x ? ) 4 4 16
(5) 3( x ?

(4) ( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) (7) ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4. (1) 21 5 (7) 2 3 (6)
2? 3 4 2 1 ? 11 2

3? 3 3? 3 )( x ? ) 3 3

1? 5 1? 5 )( x ? ) 2 2

(8) ( x ? 1)( x ? 2)( x2 ? x ? 2) (4) 3 ? 2 2 6.(1) 6 3 2 (5) 2 ? 3 (2) ?4 3 5 (6) 4 ? 3 6
33 2 2

(2) 110 6 (8)
6? 2 2

(3)

5 3 3 2 ? 3 2

5.

1 ?x x

(3) ?

(4) 3 2 (4) x ?

(5) 3 3 ? 3 2

7.6

8.(1) x ? ?3

(2) x ? 1 或 x ? 4 (3) x ? ?1 或 x ? ? 9. k ? 1 或 k ? ?

11 3

4 或 x ? 18 3 1 2
(4) ?
57 2

(5) x ?

(6) x ? 2 , 3 , 6 (3) x ?

1 7

10.(1)

33 4

(2) ?

135 8

(3)

11.(1) x ? 2

1 2 (2) ? ? x ? 2 3
13. ?78
1? 5 2

12. ?1 ? x ? 2 19.5 20.(1)

1 2 1 14. 7

(4) x 是任意數 (5) x ? 1 ? 6 或 x ? 1 ? 6 15.525 21.(1) 16. ?1075 17. ?16 24.3:1

(6) x 無解 18. ?341

(2)

47 ? 21 5 2

1 16

(2)

85 3 256


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