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江苏省启东中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题理201806140124

江苏省启东中学 2017-2018 学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置 上. 1.函数 f ( x ) 2.若 C 5 n x sin x 的导数是 ▲ . C 6 ,则 9 = ▲ .(用数字作答) C n n 3.设曲线 y ax3 x 在 (1,a ) 处的切线与直线 2 x y 6 0 平行,则实数 a 的值为 ▲ . 4.人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 37s,黄灯时间为 3 s ,绿灯时间为 60s. 从 西向东行驶的一辆公交车通过该路口,遇到绿灯的概率为 ▲ . 5.函数 f ( x) 6.函数 ( ) x ln x 的单调减区间是 ▲ . 1 3 3 4 1 的极大值是 ▲ . f x x x 3 7.将黑白 2 个小球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则黑白两球均不在 1 号盒子 的概率为 ▲ . 8.设函数 f ( x ) 的导函数为 f ' ( x ) ,若 f ( x ) 5 x3 2 xf '(1) ,则 f '(3)= ▲ . 9.用数字 1 到 9 组成没有重复数字的三位数,且至多有一个数字是偶数,这样的四位数一共有 ▲ 个.(用数字作答) 10.已 知 函 数 f ( x) ▲ . x3 27 x 在 区 间 [a, a 1]上 不 是 单 调 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 11.已知两曲线 f ( x ) a sin x , ( ) g x 2 cos , x x ( , ) 相交于点 P,若两曲线在点 P 处的 2 切线互相垂直,则实数 a 的值是 ▲ . 12.某种圆柱形的饮料罐的容积为 V,为了使得它的制作用料最省(即表面积最小),则饮料罐 的底面半径为(用含 V 的代数式表示) ▲ . 13. 已知直线 y m ,分别与直线 y x 5x 2 5 和曲线 y 2e x x 交于点 M,N 两点,则线段 MN 长度的最小值是 ▲ . 14. 已知 a 为常数,函数 f ( x ) ( x 0) x 1 2 ,若关于 的方程 有且只有四个 x f ( x) ax ln x ( x 0) . 不同的解,则实数 a 的取值所构成的集合为 ▲ 1 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在班级活动中,4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作 答) (1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法? (2)四名男生相邻有多少种不同的排法? (3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法? (4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等) 16. (本小题满分 14 分) 设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0,其中 a,b 是某范围内的随机数,分别在下列条件 下,求上述方程有实根的概率. (1)若随机数 a,b∈{1,2,3,4,5}; (2)若 a 是从区间[0,5]中任取的一个数,b 是从区间[0,4]中任取的一个数. 17. (本小题满分 14 分) 2 已知曲线 f ( x ) ln(2 x) ax 在点(0, f (0))处的切线斜率为 . 2 3 (1) 求 f ( x ) 的极值; (2) 设 g ( x ) f ( x) kx,若 g ( x) 在(-∞,1]上是增函数,求实数 k 的取值范围. 18. (本小题满分 16 分) 1 已知函数 f ( x ) = x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围; (2)求 f ( x ) 在区间 1, 4 上的最值; (3)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围. 19. (本小题满分 16 分) 3 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆,展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风 采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是一个半径为 2 百米,圆心角为 的扇形 3 展示区的平面示意图.点 C 是半径 OB 上一点,点 D 是圆弧 A AB 上一点,且 CD//OA .为了实现“以 展养展” ,现决定:在线段 OC 、线段 CD 及圆弧 D A B 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出 租收入是:线段 OC 处每百米为 2a 元,线段 CD 及圆弧 D A B 处每百米均为 a 元.设 广告位出租的总收入为 y 元. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域 ; (2)试问 x 为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值. B AOD x 弧度, C D x O A 图 19 图 图 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 ( ) 2ln f x x 1 2 2 x ( ax a R) . (1)当 a 3 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3 (0, 1],求证: 2ln 2 ; (2)若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1,x 2 ,且 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 k (a 2) 2 成立,求实 (3)设 g ( x) f ( x) ln ax ,对于任意 a (0,2) 时,总存在 x [1,2],使 g ( x) 数 k 的取值范围. 4 江苏省启东中学 2017-2018 学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷参考答案 (满分 160 分,考试


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