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模糊数学3(水平截集、最大隶属原则)概要_图文

第一章 模糊集合的一般概念
§1.1 模糊子集的定义及运算 §1.2 水平截集、分解定理、扩张原则 §1.2.1 水平截集

§1.2.1 水平截集
引例:5位应试者参加的选拔考试中, 5位 应试者及其成绩如下表所示(百分制):
?
应试者

u1
100

u2
90

u3
50

u4
60

u5
80

成 绩

如何按“择优录取”的原则来挑选优胜者 ? 设模糊子集 A 表示“优胜者”,以各人成 A 的隶属度。 绩与最高分的比值作为属于

1 0.9 0.5 0.6 0.8 A? ? ? ? ? u1 u2 u3 u4 u5

§1.2.1 水平截集 u1 u2 u3 应试者
成 绩

u4
60

u5
80

100

90

50

?

“优胜者”的模糊子集 A 1 0.9 0.5 0.6 0.8 A? ? ? ? ? u1 u2 u3 u4 u5 “及格者” “优良者” “优秀者” “满分者”

? ? ? ?

A0.6 ? ?u1, u2 , u4 , u5? A0.8 ? ?u1, u2 , u5? 0 ? ? ? 1 A0.9 ? ?u1, u2? ? A (u ) ? ? A1 ? ?u1?

§1.2.1 水平截集
? 实际问题的某个时刻,需要判断某个元素对

模糊子集的明确归属,这就要求模糊子集与 普通集合可以依据某种法则相互转化。
? 需要一种沟通模糊子集和普通集合的办法。

若对模糊子集给出一个确定的阈值 ? ,则模 糊子集的元素可分成“非此即彼”的两种情 ?A (u) ? ?和? A (u) ? ? 。于是,诱导出在 ? 形: 意义下的普通集合。

§1.2.1 水平截集
? 定义

1.2.1 水平截集

给定论域U,对 ?A ? F (U ), ?? ??0,1? ,称普通集合

A? ? u? u ?U , ? A (u ) ? ?
为模糊子集 A 的
?

?

?

?

水平截集。

A0.6 ? ?u1, u2 , u4 , u5? 所谓取一个模糊子集的水平 ?A(u) “及格者” 1 截集,就是将隶属函数按下 A ? u , u , u ? ? ? “优良者” 0.8 1 2 5 式转化为特征函数: ? ? 所谓的“择优录取”,即为确定一个阈值 , 1 ? ( u ) ? ? ? A ? 0 (u u )A? u i (应试者)的隶属度 U C A? (? 当元素 ?i ) ? ? 时, 0 ? ( u ) ? ? A ? A ? ? 该应试者属于“优胜者”,否则不属于“优胜

1

§1.2.1 水平截集 C A (u ) ?A(u)
1
?

?
0

?
A?
U
0

A?

U

? 水平截集的性质:

(1)( A

B)? ? A?

B? ,( A B)? ? A?
1

B?

(2) 若?1,?2 ?

,且 ?01 ? ?1 ? ?2 ? A?

? A?2

§1.2.1 水平截集
? 水平截集的性质:

( A B)? ? A? B? ,( A B)? ? A? B? ( 1) (2) 若?1,?2 ??0,且 1? ?1 ? ?2 ? A? 1 ? A?2

?2 ? ? A (u ) ? ?1
?1

? A(u) 1? max ?

性质(2)说明截集水平 ? 越低, A? 越大; 反之,截集水平 越高, A? 越小 ?u ? ( A ?B ) ? ? (u ) ?

?

从图中可见,当 的取值 ? ( u ), ? ( u ) ? ? ? A B

?

A

B

?

U B? ? u ? A? u ? A? 或u ? 0?A

从1逐渐减小而到0时,相 ?或? B应的 (u )A ? ? ? 逐渐扩展,从而 得到一系列普通集合。

A? 2

B?

§1.2.2 分解定理
? 定义1.

2.2 数乘

设 A 是论域U上的一个模糊子集( A ? F (U ) ), ? ??0,1? 由? , A 构成一个新的模糊子集,记为 ? ? A , 其隶属函数为 ?? A (u) ? ? ? ? A (u)



? ? A 为数 ? 与模糊子集 A 的数乘。

?特别地,当 A 为普通集合时: ?? A (u) ? ? ? CA (u) ?如果把 ? ? A? 视为模糊子集,其隶属函数为:

?? ? 1 u ? A? ?? u ? A? ?? ? A? (u ) ? ? ? C A? (u ) ? ? ?? ?? ? 0 u ? A? ?0 u ? A?

§1.2.2 分解定理
? 分解定理:

对论域U上的一个模糊子集 A ( A ? F (U ) ),有

A?
1

???0,1?

? ? A?
1

?A(u)
U

?A(u)

?
0

?3

A? 3
A? 2

?2 ?1

A?

0

A? 1
u1 u2 u3

U

分解定理给出利用普通集合 A? 表示模糊子集 §1.2.2 依据和实际做法。

分解定理
??? 0,1?

A的理论

? 分解定理: A ?
? 任取 ? ??0,1? ,可将

? ? A?

A 切割为 A? ,而将所有 的? ? A? 拼凑起来组成 ???0,1? ? ? A?,就得到 A ,
即任何一个模糊子集可由一类集合套来表示

?3

1

?A(u)

A? 3 当 ? 遍取 ?0,1?中,对
A? 2

?2 ?1

0

A? 1
u1 u2 u3

? A (u) 的值就是含有元素 u 的一切 A? 中的最大的 ? 值。

?u ?U

U

?1 ?1 0 ?2 ?1 ? A?1 ? ? , ? 2 ? A? 2 ? ? u1 u 2 u1 u 2

?3

1

?A(u)

A? 3
A? 2

?2 ?1

0

A? 1
u1 u2 u3

当 ? 遍取[0,1] 中的实数时,按模 ? ? A? 糊子集求并运算的规则, ??? 0,1? 恰好取各 ? 点隶属函数的最大值, 将这些点连成一条曲线,正是模 A 糊子集 的隶属函数 。

U

?1 ?1 ?1 0 ?2 ?2 0 0 ?3 ?1 ? A? 1 ? ? ? , ? 2 ? A? 2 ? ? ? , ? 3 ? A? 3 ? ? ? u1 u 2 u 3 u1 u 2 u 3 u1 u 2 u 3 ?1 ? 0 ? 0 ?1 ? ? 2 ? 0 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? A? ? ? ? ??? 0,1? u1 u2 u3 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?A u1 u 2 u 3

§1.2.3 扩张原则
?水平截集说明了模糊子集向普通集合的转化过程; 分解定理则是相反过程,利用一系列普通集合(集 合套)求并得到模糊子集,从而将模糊集合论中的 问题转化到普通集合论的问题来解决。 ?而扩张原则却是把普通集合论的方法直接扩展到 模糊集合论。 ?设有映射 f : U ? V 如果在论域U上给定一个普通集合A,则可通过映 射 f 得到V 中的一个普通集合B,记为 B ? f ( A) , 且 B ? V 。称B是由 f 产生的A的象,A是B的原象 论域U上模糊子集 A 在 f 下的象? 1975年,zadeh,公理

§1.2.3 扩张原则
给定两个论域U、V,以及映射
f :U ? V

则对 ?A ? F (U ), f ( A) ? B 是论域V上的一个模 糊子集,即 B ? F (V ) 其隶属函数为 ? B (v) ? ? ? A (u ), ?u ?U , ?v ?V

u 使得 f (u) ? v ,则规定 ? (v) ? 0。 U 0.8 u · · U 0.8 u · v1 0.8 V v1 0.8 V · 1 1 0.7 u2 · · 0.7 u2 · v 0.7 v 0.5 · 0.5 u3 · 0.5 u3 · v 0.5 v 0
? 如果没有
B

f (u ) ?v

2

2

3

3

映射后的隶属度保持不变! ? 扩张原则把普通集合论的方法直接扩展 到模糊集合论。
?

§1.3.1 最大隶属原则
模式识别: 对所研究的具体对象,根据它的某些特征 进行识别并分类。
?

这种分类是在已知模式的前提下进行的,也就是将 整体划分为若干类型,作为一组标准模式。对于某个 具体对象,判别它属于那个模式,即属于那一类。
整体被划分的类型(模式)和被识别的对象,如果 是某个论域中的模糊子集,这种模式识别就称为模糊 模式识别。

§1.3.1 最大隶属原则
整体被划分的类型(模式)和被识别的对象,如果 是某个论域中的模糊子集,这种模式识别就称为模糊 模式识别。
?

研究:模式为论域U中的n个模糊子集
被识别的对象分为单个确定的元素或模糊子集

直接方法:对象为单个确定的元素,通过直接计算 被识别对象的隶属函数以判别其属于那个模糊子集, 最大(极大)隶属原则。 间接方法:对象为群体,模糊子集,判别与那一种 已知的模糊子集最“贴近”,择近原则。

模式识别主要包括三个步骤 :
1.

2. 3.

提取特征,首先需要从识别对象中提取与识 别有关的特征,并度量这些特征,于是每个 识别对象就对应一个向量,建立训练样本。 建立标准类型的隶属函数,标准类型通常是 论域上的模糊子集。 建立识别判决准则,确定某些归属原则,以 判定识别对象属于哪一个标准类型。

常用的判决准则有最大隶属度原则(直接法) 和择近原则(间接法)两种。

实例:苹果等级识别
1.

2. 3.

训练样本集的建立:从苹果的横径、色泽以 及果形指数三个方面把苹果分为四类,精品 果、二级果、三级果、四级果。 样本集训练步骤:原始数据标准化等,建立标 准类型(模式)-聚类分析。 试验结果:对52个苹果进行训练,精品果、 二级果、三级果、四级果各30个,正确率达 到95% 。
“模糊模式识别在计算机识别中的应用研究”, 张娜等,微计算机信息,2004,20(6)

§1.3.1 最大隶属原则
u 0 ?U 设 A1, A2,? An 是论域U上 n 个模糊子集, 若有 l ??1, 2,?, n?,使 ? A (u 0 ) ? max ?? A (u 0 ), ? A (u 0 ), ?, ? An (u 0 )? 则认为 u 0 相对隶属于模糊子集 Al 。
l 1 2

U ? ?甲,乙,丙?,论域U 上有三个模糊子集 例1 : A2 (一般), A3(差): A(研究能力强), 1
A1 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.1 ; A2 ? 0.2 ? 0.6 ? 0.1 乙 乙 甲 丙 甲 丙 A3 ? 0 ? 0.1 ? 0.8 乙 甲 丙

那么,甲、乙、丙应归于那一类? max ?? A (甲), ? A (甲), ? A (甲)? ? max ?0.8, 0.2, 0? ? ? A (甲)
1 2 3 1

§1.3.2 应用实例
机器自动识别染色体或白血球分类,应用几何图形识别

例2:三角形识别问题
设三角形论域 U ? ( A, B, C ) ?A ? B ? C ? 1800 , A ? B ? C ? 0 现给出各种类型的三角形隶属函数。

?

?

I ,其隶属函数为 1 ? I ( A, B, C ) ? 1 ? min ? A ? B, B ? C? 60 R,其隶属函数为 2. 近似直角三角形 u ( A, B, C )愈接近等腰三角形, A 与 B(或 B与C)愈接近,三角形 1 ?? 1? a ? min ? A ? B, B ? C? 即隶属度趋于 1) 。 ? R ( A, B, C ? 1 ? ?I A 90 90
1. 近似等腰三角形
A ? B与B ? C的差值愈大, u( A, B, C)越不等腰

0 A ? 85 , B ? 50 , C ? 45 三角形内角分别为: ,判别属何类? U ? ( A , B , C ) ? A ? B ? C ? 180 ,A? B?C ?0 例2:三角形识别问题

0

1 1 ? I (85,50,45) ? I ( A, B, C ?1 )? ? 1? min ?85 min ? 50,50 45 ,B C? ? A ??B ? ??0.916 1. 近似等腰三角形 I , 60 60 1 1 C) ? 1 1? ? 85 A? ?90 90 ? 0.94 R ( A, B,45) R (85,50, 2. 近似直角三角形 R, ?? 90 90 1 1 ( A, B, C ) ?? 11 ? A? 45) ? ? ?C 45 ?? ? 0.77 ?85 3. 近似正三角形 E , ? E (85,50, 180 180 ? I RR (85,50,45) ? min ?0.916,0.94? ? 0.916 4. 近似等腰直角三角形 I ,

?

0

0

?

? I R ( A, B, C ) ? min ?? I ( A, B, C ), ? R ( A, B, C )?

? ? min 1 ? ? ? ,1 C ? I ,1 C C ? ?E C? ? 0.06 ? R T I ? (I R R E , 5. 非典型三角形 1 5 E) ? I ? 1 ? min ?35,5? ? 1 ? ? 0.916 ?T ? ? I ? R 60 ? E ? min ?1 ? ? I ,1 ? ? R ,1 ? ? E ? 60
C C C

1 ?1 1 ? ? min 1 ? min ? A ? B, B ? C? ,1 ? A ? 90 ? ?T (85,50, 45) ? 1 ?? min 85 ? 50,50 ? 45 ? 90 ?60 60 ? ?

第一次作业
1、什么是模糊性? 2、普通集合与模糊子集的区别与联系? 3、已知论域U={a,b,c,d }

1 0.7 0.4 0 ? ? “圆块”模糊子集: A ? ? a b c d
“方块”模糊子集: B ? 0 ? 0.4 ? 0.7 ? 1 a b c d 求: A B和A B以及AC 4、什么是模糊模式识别?一般分为那几种方法 ?



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