2015 届高三第八次模拟考试数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
第 I 卷(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 ? 4i ( i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) 1? i A. (3,1) B. (?1,3) C. (3, ?1) D. (2, 4) x?2 ? 0} , 2、 已知全集 U ? R , 若集合 A ? { y | y ? 3 ? 2? x }, B ? {x | 则 A ? (CU B) ? ( x
1、复数 z ? A. (??,0) ? ?2,3? B. (??,0] ? ? 2,3? C. ? 0, 2 ?
)
)
D. ? 0,3?
3、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A. ?
8 3
B.
16 ? 3
C. 8?
D. 16?
第 3 题图
第 4 题图
4、下列程序框图的功能是寻找使 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? i ? 2015 成立的 i 的 最小正整数值,则输出框中应填( A.输出 i ? 2 B.输出 i ? 1 ) C.输出 i D.输出 i ? 1
5、将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,复旦大学,中国科技大学就读,则每所大 学至少保送一人的不同保送的方法数共有( A.240 B. 180 C. 150 )种. D. 540
6、 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为
? ? 的等差数列,把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数 g ( x) 的图象. 2 6
若在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ g ( x) ? 1 ”发生的概率为( A.
)
1 4
B.
1 3
C.
1 6
D.
2 3
D1 C1 B1
7、如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为线段 A1 B 上的 动点,则下列结论错误 的是( .. A. DC1 ? D1 P B.平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP
0 C. ?APD 1 的最大值为 90
)
A1
D A
P B
C
D. AP ? PD1 的最小值为 2 ? 2 8、在直角坐标系中,点 A, B, C 的坐标分别为 (0, 1), ( 2, 0), (0, ? 2) , O 为坐标原点, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 动点 P 满足 | CP |? 1 ,则 |OA ? OB ? OP | 的最小值是( ) A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C. 3 ? 1 D. 3
9 、 已 知 定 义 在 ? 0, ?? ? 上 的 函 数 f ? x ? 满 足
f ? x ? ? 2 f ? x ? 2? , 当 x ? ? 0 , 2 ?时
f ? x ? ? ?2x2 +4x ,设 f ? x ? 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N ? ) ,且 ?an ? 的前 n 项
和为 Sn ,则 Sn 等于( A. 2 ? )
1 2n ?1
2 2
B. 4 ?
1 2
n?2
C. 2 ?
1 2n
D. 4 ?
1 2n ?1
10、过曲线 C1 :
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切 2 a b 点为 M ,延长 F1M 交曲线 C3 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N ,其中 C1、C3 有一个共同的
焦点,若 MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为 ( A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 ) D.
5 ?1 2
第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11、已知 n ? ?
e4
1
1 3 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 x x
.
12、已知圆 C 的参数方程为 ?
? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 2sin ?
? ? cos(? ? ) ? 2 ,若极轴与 x 轴的非负半轴重合,则直线 l 被圆 C 截得的弦长 4
为 .
?x ? 4 y ? 3 ? 0 xy ? 13、已知变量 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 2 的取值范围为 x ? y2 ?x ? 1 ?
.
14、已知向量是单位向量 a, b ,若 a · b =0,且 | c ? a | ? | c ? 2b |? 5 ,则 | c ? 2a | 的最小值 是 .
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
15、设 f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, f ?? ( x )是 f ' ? x ? 的导函数,如果 f ? x ? 同时满足下列条 件:①存在 x0 ,使 f ?? ( x0 )=0;②存在 ? >0,使 f ' ? x ? 在区间( x0 - ? , x0 )单调递 增,在区问( x0 , x0 + ? )单调递减.则称 x0 为 f ? x ? 的“上趋拐点”; 如果 f ? x ? 同 时满足下列条件: ①存在 x0 , 使 f ??( x0 ) =0; ②存在 ? >0, 使 f ' ? x ? 在区间 ( x0 - ? , x0 ) 单调递减,在区间( x0 , x0 + ? )单调递增.则称 x0 为 f ? x ? 的“下趋拐点”.给出以 下命题,其中正确的是 ①0 为 f ? x ? ? x3 的“下趋拐点” ; ② f ? x ? ? x2 ? e x 在定义域内存在“上趋拐点”; ③ f ? x ? ? ex ? ax2 在(1,+∞)上存在“下趋拐点”,则 a 的取值范围为( ④ f ? x? ? (只写出正确结论的序号)
e ,+∞) ; 2
1 ax 1 2 e ? x (a≠0) , x0 是 f ? x ? 的“下趋拐点”,则 x0 ? 1的必要条件是 a 2
0 ? a ? 1.
三、解答题(本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 向 量
?? ? ? ?? ,向量 m?( a? b , s i nA? s i n C ) n ? (c,sin A ? sin B) ,且 m // n ;
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 BC 中点为 D ,且 AD ? 3 ;求 a ? 2c 的最大值及此时 ?ABC 的面积. 17 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1 ? 2 , (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ;
nan?1 ? Sn ? n(n ? 1) .
? an ? 的前 n 项和, 求 Tn ; n ? ?2 ? 1 1 (Ⅲ) 设 bn ? , 证明: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? . 32 an an ?1an ? 2
(Ⅱ) 设 Tn 为数列 ?
18、 (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 CDEM 中, CD ∥ EM , ED ? CD , B 是 EM 上 一点,且 CD ? BM ?
2 , CM ? 2 , EB ? ED ? 1 ,沿 BC 把 ?MBC 折起得到 ?ABC ,
使平面 ABC ⊥平面 BCDE . (Ⅰ)证明:平面 EAD ⊥平面 ACD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AD ? B 的大小.
19、 (本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次. 在 A 处每投进一球得 3 分;在 B 处每投进一球得 2 分. 如果前两次得分之和超过 3 分就停止投篮; 否则投第三次. 某同学在 A 处的投中率 q1 为 0.25,在 B 处的投中率为 q2 . 该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为
?
P
0
2
3
4
5
p1 ? 0.03
p2
p3
p4
p5
(Ⅰ)求 q2 的值; (Ⅱ)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (Ⅲ)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.
20、 (本小题满分 13 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的,如 图 , 椭 圆 C1 与 椭 圆 C2 是 相 似 的 两 个 椭 圆 , 并 且 相 交 于 上 下 两 个 顶 点 , 椭 圆
C1 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4,椭 a 2 b2
x2 y 2 圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) 短轴长是 1, 点 n m
F1 , F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点.
(Ⅰ)求椭圆 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M , N , 求 ?F2 MN 面积的最大值.
21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ?
(Ⅰ)若 f ? x ? 无极值点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g ? x ? ? x ? (Ⅲ)证明不等式:
1 ? a ln x x
1 ? (ln x ) a ,当 a 取(Ⅰ)中的最大值时,求 g ? x ? 的最小值; x
?
i ?1
n
1 2i (2i ? 1)
? ln
2n ?1 (n ? N ? ) . 2n ? 1
理数参考答案:
1-10 ABBAC BCCBD 11、135 12、 2 2 . 13、 ?
? 3 1? , ?10 2 ? ?
14、
6 5 5
15、1 3 4
16、解: (Ⅰ)因为 m // n ,故有 (a ? b)(sin A ? sin B) ? c(sin A ? sin C ) ? 0
2 2 2 由正弦定理可得 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 ,即 a ? c ? b ? ac
?? ?
由余弦定理可知 cos B ?
a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ? ,因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? 3 2ac 2ac 2
(Ⅱ)设 ?BAD ? ? ,则在 ?BAD 中,由 B ? 由正弦定理及 AD ? 3 有
?
3
可知 ? ? (0,
2? ), 3
BD AB AD ? ? ? 2; sin ? sin( 2? ? ? ) sin ? 3 3 2? ? ? ) ? 3 cos ? ? sin ? , 所以 BD ? 2sin ? , AB ? 2sin( 3
所以 a ? 2BD ? 4sin ? , c ? AB ? 3 cos? ? sin ?
从而 a ? 2c ? 2 3 cos ? ? 6sin ? ? 4 3 sin(? ? 由 ? ? (0, 即? ?
?
6
)
?
3
2? ? ? 5? ? ? ) 可知 ? ? ? ( , ) ,所以当 ? ? ? , 3 6 6 6 6 2
时, a ? 2c 的最大值为 4 3 ;
此时 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 S ? 17、解: (Ⅰ) an ? 2n ; (Ⅲ)由(Ⅰ) ,得 bn ?
1 3 3 . ac sin B ? 2 2
n?2 ; 2n ?1
(Ⅱ) Tn ? 4 ?
1 1 1 1 ? [ ? ] 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
?
18、(1)略,(2)
1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ? . 16 2 (n ? 1)(n ? 2) 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32
? 6
19、解: (Ⅰ)设该同学在 A 处投中为事件 A, 在 B 处投中为事件 B. 则事件 A,B 相互独立,且 P ? A? ? 0.25 , P( A) ? 0.75 , P ? B ? ? q2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时, P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75 ? (1 ? q2 ) ? 0.03 ,
2
所以 1 ? q2 ? 0.2 , q2 ? 0.8 . (Ⅱ)当 ? =2 时, p2 ? P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)
? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.75 q2 ( 1 ? q2 ) ?2 ? 0.24 .
当 ? =3 时, p3 ? P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25?(1 ? q2 ) ? 0.01 .
2
当 ? = 4 时, p4 ? P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q2 ? 0.48 .
2
当 ? = 5 时, p5 ? P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)
? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 ? 0.24 .
所以随机变量 ? 的分布列为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?
P
0
2
3 0.01
4
5 0.24
p1 ? 0.03
0.24
0.48
∴随机变量 ? 的数学期望
E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 .
(Ⅲ)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为
P( BBB ? BBB ? BB) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 .
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48 ? 0.24 ? 0.72 . 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.