安徽省安师大附中2015届高三第八次模拟考试理科数学试题

2015 届高三第八次模拟考试数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 至第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．

第 I 卷（共 50 分）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.

2 ? 4i （ i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） 1? i A. (3,1) B. (?1,3) C. (3, ?1) D. (2, 4) x?2 ? 0} ， 2、 已知全集 U ? R ， 若集合 A ? { y | y ? 3 ? 2? x }, B ? {x | 则 A ? (CU B) ? ( x
1、复数 z ? A． (??,0) ? ?2,3? B． (??,0] ? ? 2,3? C． ? 0, 2 ?
）

)

D． ? 0,3?

3、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

A. ?

8 3

B.

16 ? 3

C. 8?

D. 16?

第 3 题图

第 4 题图

4、下列程序框图的功能是寻找使 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? i ? 2015 成立的 i 的 最小正整数值，则输出框中应填（ A．输出 i ? 2 B．输出 i ? 1 ） C．输出 i D．输出 i ? 1

5、将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大 学至少保送一人的不同保送的方法数共有（ A．240 B. 180 C. 150 ）种. D. 540

6、 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为

? ? 的等差数列，把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g ( x) 的图象. 2 6

若在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ，则事件“ g ( x) ? 1 ”发生的概率为（ A．

）

1 4

B．

1 3

C．

1 6

D．

2 3
D1 C1 B1

7、如图，棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， P 为线段 A1 B 上的 动点，则下列结论错误 的是（ ．． A． DC1 ? D1 P B．平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP
0 C． ?APD 1 的最大值为 90

）

A1

D A

P B

C

D． AP ? PD1 的最小值为 2 ? 2 8、在直角坐标系中，点 A, B, C 的坐标分别为 (0, 1), ( 2, 0), (0, ? 2) ， O 为坐标原点， ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 动点 P 满足 | CP |? 1 ，则 |OA ? OB ? OP | 的最小值是（ ） A． 4 ? 2 3 B． 3 ? 1 C． 3 ? 1 D． 3
9 、 已 知 定 义 在 ? 0, ?? ? 上 的 函 数 f ? x ? 满 足

f ? x ? ? 2 f ? x ? 2? ， 当 x ? ? 0 , 2 ?时

f ? x ? ? ?2x2 +4x ，设 f ? x ? 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N ? ) ，且 ?an ? 的前 n 项
和为 Sn ，则 Sn 等于（ A． 2 ? ）

1 2n ?1
2 2

B． 4 ?

1 2
n?2

C． 2 ?

1 2n

D． 4 ?

1 2n ?1

10、过曲线 C1 :

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线，设切 2 a b 点为 M ，延长 F1M 交曲线 C3 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N ，其中 C1、C3 有一个共同的
焦点，若 MF1 ? MN ，则曲线 C1 的离心率为 （ A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 ） D.

5 ?1 2

第Ⅱ卷（共 100 分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）

11、已知 n ? ?

e4

1

1 3 dx ，那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 x x

.

12、已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? （ ? 为参数） ，直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 2sin ?

? ? cos(? ? ) ? 2 ，若极轴与 x 轴的非负半轴重合，则直线 l 被圆 C 截得的弦长 4
为 .

?x ? 4 y ? 3 ? 0 xy ? 13、已知变量 x，y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ，则 2 的取值范围为 x ? y2 ?x ? 1 ?

.

14、已知向量是单位向量 a, b ，若 a · b =0，且 | c ? a | ? | c ? 2b |? 5 ，则 | c ? 2a | 的最小值 是 .

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

15、设 f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数， f ?? （ x ）是 f ' ? x ? 的导函数，如果 f ? x ? 同时满足下列条 件：①存在 x0 ，使 f ?? （ x0 ）=0；②存在 ? >0，使 f ' ? x ? 在区间（ x0 － ? , x0 ）单调递 增，在区问（ x0 , x0 + ? ）单调递减．则称 x0 为 f ? x ? 的“上趋拐点”； 如果 f ? x ? 同 时满足下列条件： ①存在 x0 ， 使 f ??（ x0 ） =0； ②存在 ? >0， 使 f ' ? x ? 在区间 （ x0 － ? , x0 ） 单调递减，在区间（ x0 ， x0 + ? ）单调递增.则称 x0 为 f ? x ? 的“下趋拐点”．给出以 下命题，其中正确的是 ①0 为 f ? x ? ? x3 的“下趋拐点” ； ② f ? x ? ? x2 ? e x 在定义域内存在“上趋拐点”； ③ f ? x ? ? ex ? ax2 在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则 a 的取值范围为（ ④ f ? x? ? （只写出正确结论的序号）

e ，+∞） ； 2

1 ax 1 2 e ? x （a≠0） ， x0 是 f ? x ? 的“下趋拐点”，则 x0 ? 1的必要条件是 a 2

0 ? a ? 1．
三、解答题（本大题共六个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16 、 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 在 ?ABC 中 ， 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c ， 向 量

?? ? ? ?? ，向量 m?( a? b , s i nA? s i n C ) n ? (c,sin A ? sin B) ，且 m // n ；
（Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）设 BC 中点为 D ，且 AD ? 3 ；求 a ? 2c 的最大值及此时 ?ABC 的面积. 17 、 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 满 足 a1 ? 2 ， （Ⅰ） 求数列 ?an ? 的通项公式 an ；

nan?1 ? Sn ? n(n ? 1) .

? an ? 的前 n 项和， 求 Tn ； n ? ?2 ? 1 1 （Ⅲ） 设 bn ? ， 证明： b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? . 32 an an ?1an ? 2
（Ⅱ） 设 Tn 为数列 ?

18、 （本小题满分 12 分） 如图，直角梯形 CDEM 中， CD ∥ EM ， ED ? CD , B 是 EM 上 一点，且 CD ? BM ?

2 , CM ? 2 , EB ? ED ? 1 ，沿 BC 把 ?MBC 折起得到 ?ABC ，

使平面 ABC ⊥平面 BCDE . (Ⅰ)证明:平面 EAD ⊥平面 ACD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AD ? B 的大小.

19、 （本小题满分 12 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次. 在 A 处每投进一球得 3 分；在 B 处每投进一球得 2 分. 如果前两次得分之和超过 3 分就停止投篮； 否则投第三次. 某同学在 A 处的投中率 q1 为 0.25，在 B 处的投中率为 q2 . 该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

?
P

0

2

3

4

5

p1 ? 0.03

p2

p3

p4

p5

（Ⅰ）求 q2 的值； （Ⅱ）求随机变量 ? 的数学期望 E ? ； （Ⅲ）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.

20、 （本小题满分 13 分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如 图 ， 椭 圆 C1 与 椭 圆 C2 是 相 似 的 两 个 椭 圆 ， 并 且 相 交 于 上 下 两 个 顶 点 ， 椭 圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4，椭 a 2 b2

x2 y 2 圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) 短轴长是 1， 点 n m

F1 , F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点.
（Ⅰ）求椭圆 C1 , C2 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M , N ， 求 ?F2 MN 面积的最大值.

21、 （本小题满分 14 分）已知函数 f ? x ? ? x ?
（Ⅰ）若 f ? x ? 无极值点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）设 g ? x ? ? x ? （Ⅲ）证明不等式：

1 ? a ln x x

1 ? (ln x ) a ，当 a 取（Ⅰ）中的最大值时，求 g ? x ? 的最小值； x

?
i ?1

n

1 2i (2i ? 1)

? ln

2n ?1 (n ? N ? ) . 2n ? 1

理数参考答案：
1-10 ABBAC BCCBD 11、135 12、 2 2 . 13、 ?

? 3 1? , ?10 2 ? ?

14、

6 5 5

15、1 3 4

16、解： （Ⅰ）因为 m // n ，故有 (a ? b)(sin A ? sin B) ? c(sin A ? sin C ) ? 0
2 2 2 由正弦定理可得 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 ，即 a ? c ? b ? ac

?? ?

由余弦定理可知 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ? ，因为 B ? (0, ? ) ，所以 B ? 3 2ac 2ac 2

（Ⅱ）设 ?BAD ? ? ，则在 ?BAD 中，由 B ? 由正弦定理及 AD ? 3 有

?
3

可知 ? ? (0,

2? )， 3

BD AB AD ? ? ? 2； sin ? sin( 2? ? ? ) sin ? 3 3 2? ? ? ) ? 3 cos ? ? sin ? ， 所以 BD ? 2sin ? , AB ? 2sin( 3
所以 a ? 2BD ? 4sin ? , c ? AB ? 3 cos? ? sin ?

从而 a ? 2c ? 2 3 cos ? ? 6sin ? ? 4 3 sin(? ? 由 ? ? (0, 即? ?

?
6

)

?
3

2? ? ? 5? ? ? ) 可知 ? ? ? ( , ) ，所以当 ? ? ? ， 3 6 6 6 6 2

时， a ? 2c 的最大值为 4 3 ；

此时 a ? 2 3, c ? 3 ，所以 S ? 17、解： （Ⅰ） an ? 2n ； （Ⅲ）由（Ⅰ） ，得 bn ?

1 3 3 . ac sin B ? 2 2
n?2 ； 2n ?1

(Ⅱ) Tn ? 4 ?

1 1 1 1 ? [ ? ] 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

?
18、(1)略，(2)

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ? . 16 2 (n ? 1)(n ? 2) 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32

? 6

19、解： （Ⅰ）设该同学在 A 处投中为事件 A, 在 B 处投中为事件 B. 则事件 A,B 相互独立，且 P ? A? ? 0.25 ， P( A) ? 0.75 ， P ? B ? ? q2 ， P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知： ? =0 时， P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75 ? (1 ? q2 ) ? 0.03 ，
2

所以 1 ? q2 ? 0.2 ， q2 ? 0.8 . （Ⅱ）当 ? =2 时， p2 ? P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.75 q2 ( 1 ? q2 ) ?2 ? 0.24 .
当 ? =3 时， p3 ? P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25?(1 ? q2 ) ? 0.01 .
2

当 ? = 4 时， p4 ? P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q2 ? 0.48 .
2

当 ? = 5 时， p5 ? P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 ? 0.24 .
所以随机变量 ? 的分布列为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?
P

0

2

3 0.01

4

5 0.24

p1 ? 0.03

0.24

0.48

∴随机变量 ? 的数学期望

E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 .
（Ⅲ）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为

P( BBB ? BBB ? BB) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 .
该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48 ? 0.24 ? 0.72 . 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.