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2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程学案北师大版选修1_1

2.1 学习目标 抛物线及其标准方程 1.掌握抛物线的定义及焦点、 准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过 程.3.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程问题. 知识点一 抛物线的定义 思考 1 如图,在黑板上画一条直线 EF,然后取一个三角板,将一条拉链 AB 固定在三角板 的一条直角边上, 并将拉链下边一半的一端固定在 C 点, 将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上,在拉链 D 处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.这是一条什么 曲线,由画图过程你能给出此曲线的定义吗? 思考 2 抛物线的定义中,l 能经过点 F 吗?为什么? 梳理 (1)定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离________的点的集合 叫作抛物线. (2)焦点:________. (3)准线:________. 知识点二 抛物线的标准方程 思考 1 抛物线方程中 p 有何意义?抛物线的开口方向由什么决定? 1 思考 2 抛物线标准方程的特点? 思考 3 已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向? 梳理 抛物线的标准方程有四种类型 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) ?p,0? ?2 ? ? ? p x=- 2 ?-p,0? ? 2 ? ? ? p x= 2 ?0,p? ? 2? ? ? p y=- 2 ?0,-p? ? 2? ? ? p y= 2 类型一 抛物线定义的解读 例 1 方程 A.圆 C.线段 x+ 2 + y- 2 |x-y+3| = 表示的曲线是( 2 B.椭圆 D.抛物线 ) 反思与感悟 根据式子的几何意义 , 利用抛物线的定义, 可确定点的轨迹, 注意定义中“点 2 F 不在直线 l 上”这个条件. 跟踪训练 1 若动圆与圆(x-2) +y =1 相外切,又与直线 x+1=0 相切,则动圆圆心的轨 迹是________. 类型二 抛物线的标准方程及求解 命题角度 1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例 2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y =-6x;(2)3x +5y=0; (3)y=4x ;(4)y=ax (a≠0). 2 2 2 2 2 2 引申探究 1.将例 2(4)的方程改为 y =ax(a≠0)结果如何? 2 2.将例 2(4)的方程改为 x =ay(a≠0),结果如何? 2 反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物 线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为 x(或 y),则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴, 一次项系数的符号决定开口方向. 跟踪训练 2 已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与曲线 x +y -6x-7=0 相切, 则 p 为( A.2 1 C. 2 命题角度 2 求抛物线的标准方程 例 3 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2); B.1 D. 1 4 2 2 2 ) 3 (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上; (3)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线相交于点 A,|AF|=5. 反思与感悟 抛物线标准方程的求法 (1)定义法:建立适当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行 化简,根据定义求出 p,最后写出标准方程. (2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴 上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定 p 的值. 跟踪训练 3 根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)焦点为(-2,0); (2)焦点到准线的距离是 4; (3)过点(1,2). 4 类型三 抛物线在实际生活中的应用 例 4 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶 5 m 时,水面宽为 8 m,一小船宽 4 m、高 2 m,载货后船露出水面上的部分高 0.75 m,问:水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时, 小船开始不能通航? 反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标 准方程进行求解. 跟踪训练 4 某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱桥高度是 4 米,在建桥时,每 4 米需用一根 支柱支撑,求其中最长支柱的长. 1.抛物线 y +x=0 的开口( A.向上 C.向左 2 2 ) B.向下 D.向右 ) 2.抛物线 y =8x 的焦点坐标和准线方程分别为( A.(1,0),x=-1 C.(3,0),x=-3 B.(2,0),x=-2 D.(4,0),x=-4 ) 3.已知抛物线的焦点到准线的距离为 3,则抛物线方程可以为( A.y =x C.x =-3y 2 2 B.y =2x D.x =-6y 2 2 5 4. 抛物线 x =8y 上的点 M 到 x 轴的距离为 6, 则点 M 与抛物线的焦点间的距离为________. 5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)准线方程为 y=-3; (2)抛物线与椭圆 + =1 的一个焦点相同. 4+m 3+m 2 x2 y2 1.焦点在 x 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 y =mx(m≠0),此时焦点坐标为 F( , 4 0),准线方程为 x=- ;焦点在 y 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 x =my(m≠0), 4 此时焦点为 F(0, ),准线方程为 y=- . 4 4 2.设 M 是抛物线上一点,焦点为 F,则线段 MF 叫作抛物线的焦半径.若 M(x0,y0)在抛物线 2 m m 2 m m y2=2px(p>0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相 互转化,所以焦半径|MF


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