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2017


4.1.1

圆的标准方程

1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.(重点) 2.能根据所给条件求圆的标准方程.(重点、难点) 3.掌握点与圆的位置关系.(易错点)

[基础·初探] 教材整理 1 圆的标准方程 阅读教材 P118~P119 第 1 行的内容,完成下列问题. 1.以 C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r . 2.以原点为圆心,r 为半径的圆的标准方程为 x +y =r .
2 2 2 2 2 2

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定,圆就惟一确定.( (2)方程(x-a) +(y-b) =m 一定表示圆.(
2 2 2 2 2

) ) )

(3)圆(x+2) +(y+3) =9 的圆心坐标是(2,3),半径是 9.( 【解析】 (1)正确.确定圆的几何要素就是圆心和半径. (2)错误.当 m=0 时,不表示圆.

(3)错误.圆(x+2) +(y+3) =9 的圆心为(-2,-3),半径为 3. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

2

2

教材整理 2 点与圆的位置关系 阅读教材 P119“例 1”及“探究”部分,完成下列问题. 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则点与圆的位置关系对应如下: 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内

d 与 r 的大小关系

d>r

d=r

d<r

1

已知圆的方程是(x-2) +(y-3) =4,则点 P(3,2)( A.是圆心 C.在圆内 B.在圆上 D.在圆外

2

2

)

【解析】 圆心 M(2,3),半径 r=2,∵|PM|= ?3-2? +?2-3? = 2<r,∴点

2

2

P 在圆内.
【答案】 C

[小组合作型] 直接法求圆的标准方程 (1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x +(y-2) =1 C.(x-1) +(y-3) =1
2 2 2 2

)

B.x +(y+2) =1 D.x +(y-3) =1
2 2

2

2

(2)已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆 的方程是( )
2 2

A.(x-2) +(y+3) =13 B.(x+2) +(y-3) =13 C.(x-2) +(y+3) =52 D.(x+2) +(y-3) =52 【精彩点拨】 (1)设出圆心坐标,利用两点间的距离公式求圆心坐标,再写出圆的标 准方程. (2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标, 进而求出圆的半径, 再写出圆的标准方程. 【自主解答】 (1)设圆心坐标为(0,b), 则由题意知 ?0-1? +?b-2? =1,解得 b=2. 故圆的方程为 x +(y-2) =1. (2)设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由于圆心坐标为(2,-3),所以 a=4,b= -6,所以圆的半径 r= ?4-2? +?0+3? = 13,从而所求圆的方程是(x-2) +(y+ 3) =13. 【答案】 (1)A (2)A
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径, 因此用直接法求圆的标准方程时, 一般先 从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.

[再练一题] 1.以点 A(-5,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( A.(x+5) +(y-4) =25 B.(x-5) +(y+4) =16 C.(x+5) +(y-4) =16 D.(x-5) +(y+4) =25 【解析】 因该圆与 x 轴相切,则圆的半径 r 等于圆心纵坐标的绝对值,所以圆的方程 为(x+5) +(y-4) =16. 【答案】 C 待定系数法求圆的标准方程 求圆心在直线 x-2y-3=0 上,且过点 A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方 程. 【精彩点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出 方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径. 【自主解答】 法一:设点 C 为圆心, ∵点 C 在直线:x-2y-3=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(2a+3,a). 又∵该圆经过 A,B 两点,∴|CA|=|CB|. ∴ ?2a+3-2? +?a+3? = ?2a+3+2? +?a+5? , 解得 a=-2. ∴圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r= 10. 故所求圆的标准方程为 (x+1) +(y+2) =10. 法二:设所求圆的标准方程为 (x-a) +(y-b) =r , ?2-a? +?-3-b? =r , ? ? 2 2 2 由条件知??-2-a? +?-5-b? =r , ? ?a-2b-3=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

3

a=-1, ? ? 解得?b=-2, ? ?r2=10.
故所求圆的标准方程为 (x+1) +(y+2) =10. -3-?-5? 1 法三:线段 AB 的中点为(0,-4),kAB= = , 2-?-2? 2 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k=-2, 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为:
2 2

y+4=-2x,
即 y=-2x-4. 故圆心是直线 y =- 2x - 4 与直线 x - 2y - 3 = 0 的交点,由 ?
? ?x=-1, ? ?y=-2. ? ?y=-2x-4, ? ?x-2y-3=0, ?



即圆心为(-1,-2),圆的半径为

r= ?-1-2?2+?-2+3?2= 10,
所以所求圆的标准方程为(x+1) +(y+2) =10.
2 2

1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 设方程((x-a) +(y-b) =r )→列方程组(由已知条件, 建立关于 a、 b、 r 的方程组)→ 解方程组(解方程组,求出 a、b、r)→得方程(将 a、b、r 代入所设方程,得所求圆的标准 方程). 2.注意利用圆的有关几何性质,可使问题计算简单.
2 2 2

[再练一题] 2.求圆心在 x 轴上,且过点 A(5,2)和 B(3,-2)的圆的标准方程. 【解】 法一 设圆的方程为 (x-a) +(y-b) =r (r>0).
2 2 2

4

b=0, ? ? 2 2 2 则??5-a? +?2-b? =r , ? ??3-a?2+?-2-b?2=r2,
所以所求圆的方程为(x-4) +y =5.
2 2

=4, ?a 解得?b=0, ?r= 5.

法二 因为圆过 A(5,2),B(3,-2)两点, 所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上.

AB 中垂线的方程为 y=- (x-4),
令 y=0,得 x=4.即圆心坐标为 C(4,0), 所以 r=|CA|= ?5-4? +?2-0? = 5. 所以所求圆的方程为(x-4) +y =5. [探究共研型] 与圆有关的最值问题 1 2 2 探究 1 若 P(x,y)为圆 C(x+1) +y = 上任意一点,请求出 P(x,y)到原点的距离的 4 最大值和最小值. 1 【提示】 原点到圆心 C(-1,0)的距离 d=1,圆的半径为 ,故圆上的点到坐标原点的 2 1 3 1 1 最大距离为 1+ = ,最小距离为 1- = . 2 2 2 2 探究 2 若 P(x,y)是圆 C(x-3) +y =4 上任意一点,请求出 P(x,y)到直线 x-y+1 =0 的距离的最大值和最小值. 【提示】 P(x,y)是圆 C 上的任意一点,而圆 C 的半径为 2,圆心 C(3,0),圆心 C 到 直线 x-y+1=0 的距离 d= |3-0+1| 1 +?-1?
2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

=2 2, 所以点 P 到直线 x-y+1=0 的距离的最

大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2.

已知 x,y 满足 x2+(y+4)2=4,求 ?x+1?2+?y+1?2的最大值与最小值. 【精彩点拨】
2

x , y 满 足 x2 + (y + 4)2 = 4 , 即 点 P(x , y) 是 圆 上 的 点 . 而
2 2

?x+1? +?y+1? 表示点(x,y)与点(-1,-1)的距离.故此题可以转化为求圆 x + (y+4) =4 上的点与点(-1,-1)的距离的最值问题. 【自主解答】 因为点 P(x,y)是圆 x +(y+4) =4 上的任意一点,圆心 C(0,-4),
2 2 2

5

半径 r=2, 因此 ?x+1? +?y+1? 表示点 A(-1,-1)与该圆上点的距离. 因为|AC| =(-1) +(-1+4) >4,所以点 A(-1,-1)在圆外.如图所示. 而|AC|= ?0+1? +?-4+1? = 10, 所以 ?x+1? +?y+1? 的最大值为|AC|+r= 10+2,最小值为|AC|-r= 10- 2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1.本题将最值转化为线段长度问题,从而使问题得以顺利解决.充分体现了数形结合 思想在解题中的强大作用. 2.涉及与圆有关的最值, 可借助图形性质,利用数形结合求解.一般地: ①k=

y-b 的 x-a

最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直 线截距的最值问题;③形如 m=(x-a) +(y-b) 的最值问题,可转化为两点间的距离的平 方的最值问题等.
2 2

[再练一题] 3.已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1,点 A(0,-1),B(0,1),设 P 是圆 C 上的动点,令
2 2

d=|PA|2+|PB|2,求 d 的最大值及最小值.

图 4?1?1 【解】 设 P(x,y), 则 d=|PA| +|PB| =2(x +y )+2.
2 2 2 2

6

∵|CO| =3 +4 =25,∴(5-1) ≤x +y ≤(5+1) . 即 16≤x +y ≤36.∴d 的最小值为 2×16+2=34,最大值为 2×36+2=74.
2 2

2

2

2

2

2

2

2

1.点 P(m,5)与圆 x +y =24 的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 【解析】 ∵m +25>24, ∴点 P 在圆外. 【答案】 A
2

2

2

)

B.在圆内 D.不确定

5 ?1 ? 2.以点? ,-1?为圆心,半径为 的圆的方程为( 4 ?2 ? 25 ? 1?2 2 A.?x- ? +(y+1) = 16 ? 2? 5 ? 1?2 2 B.?x+ ? +(y+1) = 4 ? 2? 5 ? 1?2 2 C.?x+ ? +(y-1) = 4 ? 2? 25 ? 1?2 2 D.?x- ? +(y-1) = 16 ? 2? 【解析】 由圆的几何要素知 A 正确. 【答案】 A

)

3.经过圆 C:(x+1) +(y-2) =4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为________. 【解析】 圆 C 的圆心为(-1,2),又所求直线的斜率为 1,故由点斜式得 y-2=x+1, 即 x-y+3=0. 【答案】 x-y+3=0 4.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为 ________. 【解析】 由题意知圆 C 的圆心为(0,1),半径为 1,所以圆 C 的标准方程为 x +(y- 1) =1. 【答案】 x +(y-1) =1 5.已知圆 C 的半径为 17,圆心在直线 x-y-2=0 上,且过点(-2,1),求圆 C 的标 准方程. 【解】 ∵圆心在直线 x-y-2=0 上,r= 17,∴设圆心为(t,t-2)(t 为参数). ∴圆 C 的标准方程为(x-t) +(y-t+2) =17.
7
2 2 2 2 2 2

2

2

∵圆 C 过点(-2,1), ∴(-2-t) +(1-t+2) =17. 解得 t=2 或 t=-1. ∴圆心 C 的坐标是(2,0)或(-1,-3). ∴所求圆 C 的标准方程是(x-2) +y =17 或(x+1) +(y+3) =17.
2 2 2 2 2 2

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