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1.1.3集合的基本运算


1.1.3 集合的基本运算教学设计
教学目的: 知识与技能: 1、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 3、能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 过程与方法:针对具体实例,通过类比实数间的加法运算引入了集合间“并”的运算, 并在此基础上进一步扩展到集合的“交”的运算和“补”的运算。类比方法的使用体现了知 识之间的联系,渗透了数学学习的方法。 情感、态度与价值观: 1、类比方法让学生体会知识间的联系; 2、Venn 图表达集合运算让学生体会数形结合思想方法的应用对理解抽象概念的作用; 3、通过集合运算的学习逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”; 教学过程: 一、复习回顾: 1:什么叫集合 A 是集合 B 的子集? 2:关于子集、集合相等和空集,有哪些性质? (1) A ? A. ; (2) 若 A ? B ,且 B ? A ,则 A ? B. ; (3) 若 A ? B, B ? C , 则 A ? C ; (4) ? ? A . 二、创设情境,新课引入 问:实数有加法运算,两个集合是否也可以相加呢?考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系吗?

1,3,5? , B ? ?2,4,6? , C ? ? 1,2,3,4,5,6?; (1) A ? ?
(2) A ? x x是有理数 , B ? x x是无理数 , C ? x x是实数 .

?

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学生讨论并引出新课题. 三、师生互动,新课讲解: 1、并集 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集 (Union) 记作:A∪B 读作:“A 并 B”即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B}

A

A∪B

B

例 1:(1)设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求:A∪B。 (2)设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求:A∪B。 说明: 两个集合求并集, 结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重 复元素只看成一个元素)。

你会用表示上述例题中的两个并集吗?请你用 Venn 图表示出不同关系的两个集合的并 集。 让学生动手操作,教师指导。 在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外, 它们的公共部分还应是我们所关心的, 我 们称其为集合 A 与 B 的交集。你能从上面的例题 1 中并类比“并集”的概念归纳出“交集” 的概念吗? 学生归纳得: 2 交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection)。 记作:A∩B 表示 读作:“A 交 B”即: A∩B={x|∈A,且 x∈B}交集的 Venn 图

A

A∩B

B

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 例 2:(1)设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求:A ? B。 (2)设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求:A ? B。

例 3(课本 P9 例 7) 设平面内直线 l1 上的点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2, 试用集合的运算表示 l1,l2 的位置关系。

请你结合上述例子用 Venn 图表示出不同关系的两个集合的交集。 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交 集 变式训练 3:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 B A B B

B A

A(B)

A

A

3.全集 一般地, 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素, 那么就称这个集合为 全集(Universe),通常记作 U。

1,3,5? , B ? ?2,4,6? , C ? ? 1,2,3,4,5,6?中,我们若把集合 C 作为全集, 问:在问题 A ? ?
请你说出集合 A 与 B 有怎样的关系吗? 由此你能归纳出补集概念吗?你会用 Venn 图表示表示出它们的关系吗? 通过学生思考、讨论、归纳出:

4.补集:

对于全集 U 的一个子集 A, 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集 合 A 相对于全集 U 的补集 (complementary set) ,简称为集合 A 的补集, 记作: CUA 即: CUA={x|x ∈U 且 x ? A} U C UA 补集的 Venn 图表示 说明:补集的概念必须要有全集的限制 例 4(课本 P11 例 8) ① 设 U={x|X 是小于 9 的正实数},A={1,2,3}B={3,4,5,6} 求 CUA,CUB。 ② 设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},求 A∩ B,CU(A∩B)。 课堂练习:(课本 P11 练习 NO:1,2,3,4) **结论归纳(重要) : ⑴求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 ⑵集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U, (CUA)∩A= ? 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B

A

摩根律 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B); (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B).

四、课本小结,巩固反思:

求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的 关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。


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