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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第二讲 证明不等式的基本方法


第二讲

证明不等式的基本方法

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.设P ? 2 , Q ? 7 ? 3, R ? 6 ? 2 ,则 P?Q?R 的大小顺序是(
A.P>Q>R C.Q>P>R B.P>R>Q D.Q>R>P

)

解析 : 2 ? 2 ? 2 2 ? 6, ? ? 2 ? 6 ? 2 ,即P ? R; 又? 6 ? 3 ? 7 ? 2 ,? 6 ? 2 ? 7 ? 3
,即 R>Q; 故有 P>R>Q.故应选 B. 答案:B 2.已知 a>2,b>2,则 a+b 与 ab 的大小关系是( A.a+b>ab C.a+b≥ab 解析:解法一:∵a>2,b>2, ∴a-1>1,b-1>1, ∴(a-1)(b-1)>1,即 ab-a-b>0, ∴ab>a+b,故选 B. B.a+b<ab D.a+b≤ab )

解法二 : a ? 2, b ? 2,? 0 ? ? ?0 ?

1 1 1 1 ? ,0 ? ? , a 2 b 2

1 1 a?b ? ? 1, 即0 ? ? 1, a b ab ? 0 ? a ? b ? ab, 故选B.
答案:B 3.若实数 x,y 适合不等式 xy>1,x+y≥-2,则( A.x>0,y>0 C.x>0,y<0 B.x<0,y<0 D.x<0,y>0 )

解析:x,y 异号时,显然与 xy>1 矛盾,所以可排除 C?D. 假设 x<0,y<0,则 x<

1 . y

∴x+y<y+

1 ≤-2 与 x+y≥-2 矛盾,故假设不成立. y

又 xy≠0,∴x>0,y>0. 答案:A 4.若 a,b∈(0,+∞),且 a≠b, M ? A.M>N C.M≥N B.M<N D.M≤N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是( b a

)

解析:∵a,b∈(0,+∞),且 a≠b,

a b ? b ? 2 a, ? a ? 2 b. b a a b ? ? b? ? a ? 2 a ? 2 b, b a a b ? ? ? b ? a. b a ? M ? N, 故应选A. ?
答案:A 5.已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0, T ? A.T>0 C.T=0 解析:∵a+b+c=0, ∴(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac=0, 即 2ab+2bc+2ac=-(a +b +c )<0, ∵abc>0,∴上述不等式两边同除以 2abc, 得T ?
2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 ? ? ,则( a b c

)

B.T<0 D.无法判断 T 的正负

1 1 1 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ?? ? 0, 故选 B. a b c 2abc

答案:B 6.已知 a,b,c,d 都是正数, S ? A.S<1 C.S>2 解析:S> 答案:B 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价 方案: (1)先降价 a%,再降价 b%; (2)先降价 b%,再降价 a%; (3)先降价 B.S>1 D.以上都不对

a b c d ? ? ? , 则有( a?b?c a ?b?d c?d ?a c?d ?b

)

1 (a+b+c+d)=1. a?b?c?d

a?b a?b %,再降价 %; 2 2

(4)一次性降价(a+b)%.其中 a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是________. 解析:设降价前彩电的价格为 1,降价后的彩电价格依次为 x1、x2、x3、x4. 则 x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%, x2=(1-b%)(1-a%)=x1,

? a ? b ?? a ? b ? x3 ? ?1 ? % ??1 ? %? 2 2 ? ?? ? 2 1 ? 1 ? ? a ? b ? % ? ?? a ? b ? % ? , ? ? 4 x 4 ? 1 ? ? a ? b ? % ? 1 ? ? a ? b ? % ? a%?b% ? a % ? b% ? ? x1 ? x 2 , x 3 ? x1 ? ? ? ? a%?b% ? 0, 2 ? ? ? x 3 ? x1 ? x 2 ? x 4 .
2

答案:方案(3) 8.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R),给出下列不等式: ①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c;④|a|<|b|-c;⑤|a|<-|b|-c. 其中一定成立的不等式是________(把所有成立的不等式的序号都填上).

解析:∵|a+b|<-c, ∴c<a+b<-c. ∴-b+c<a<-b-c. 故①②成立,③不成立. ∵|a+b|<-c,|a+b|≥|a|-|b|, ∴|a|-|b|<-c. ∴|a|<|b|-c.故④成立,⑤不成立. 答案:①②④ 9.函数 y ? 12 ? 2 x ?

x ? 1 的最大值为________.

解析:函数的定义域为[1,6].

y 2 ? ( 12 ? 2 x ? x ? 1)2 ? ( 2 ? 6 ? x ? 1? x ? 1) 2 ≤[( 2) 2 ? 12 ] ? [( 6 ? x ) 2 ? ( x ? 1) 2 ] ? 3 ? 5 ? 15. ? y 2 ≤15.由题意知y ? 0 ? 0 ? y≤ 15. 当且仅当 2 ? x ? 1 ? 1? 6 ? x , 即x ? 时等号成立.? 原函数的最大值为 15.
答案: 15 10.已知 x +2y +3z = 解析:
2 2 ? 2 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? x ? 2y ? 3z ? ?3 ? ( 2) ? ? ? ? ≥? 3 x ? 2 y ? 2 ? 3 z ? ? 3? ? 3? ? ? ? ? ? ? (3x ? 2 y ? z ) 2 2 2 2
2 2 2

8 3

18 ,则 3x+2y+z 的最小值为________. 17

当且仅当 x=3y=9z,等号成立. ∴(3x+2y+z) ≤12, 即-2 3 ≤3x+2y+z≤2 3 ,
2

当 x=-

9 3 3 3 3 ,y?? ,z ? ? 时, 17 17 17

3x+2y+z=-2 3 ,为最小值. 答案:-2 3

三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.(2010·浙江自选模块卷)设正实数 a,b,c,满足 abc≥1,求

a2 b2 c2 的最小值. ? ? a ? 2b b ? 2c c ? 2a

? a2 b2 c2 ? 2 ? ? ? ? [? a ? 2b ? ? ? b ? 2c ? ? ? c ? 2a ?]≥ ? a ? b ? c ? , a ? 2b b ? 2c c ? 2a ? 解:因为 ? a2 b2 c2 a?b?c 3 所以 ? ? ≥ ≥ abc≥1, a ? 2b b ? 2c c ? 2a 3
当 a=b=c=1 时,上述不等式取等号, 所以

a2 b2 c2 ? ? 的最小值为 1. a ? 2b b ? 2c c ? 2a
3 3 2 2

12.(2010·江苏)设 a,b 是非负实数,求证:a +b ≥ ab (a +b ). 证明:a +b - ab (a +b )=(a -a [KG-*4] ab )+(b -b
3 3 2 2 3 2 3 2

ab )

? a 2 a ( a ? b ) ? b2 b ( a ? b ) ? ( a ? b )?( a 5 ? b5 ). 当a≥b时, a≥ b且 a 5 ≥ b5 , 当a ? b时, a ? b且 a 5 ? b5 , ? a 3 ? b3 ? ab ? a 2 ? b 2 ?≥0, ? a 3 ? b3≥ ab ? a 2 ? b 2 ? .
评析:证明不等式,常用方法是作差比较法. 13.已知 x,y,z 是正实数,求证:

分析:注意到所证不等式的特点,可考虑构造向量,使用柯西不等式的向量形式证明. 证明:∵x,y,z 是正实数,令

? x y z a ?? , , ? y?z x?z x? y ? ? a ?b ? a b ,
2 2 2

? ? , b ? ( y ? z , x ? z , x ? y ), ? ?

? x y z ?? ? y?z ? ? x?z ? ? x? y ? y?z x?z x? y ?

?

2

? x2 y2 z2 ? ≤? ? ? [( ?? y ? z ) ? ( x ? z ) ? ( x ? y )], y?z x?z x? y? ? 当且仅当x ? y ? z时, 等号成立, 即 ? x ? y ? z ? ≤2
2

(

x2 y2 z2 ? ? )? x ? y ? z ? , ? z? y x?z x? y

x2 y2 z2 x? y?z ? ? ? ≥ . y?z x?z x? y 2
评析:使用柯西不等式时,既要注意它的数学意义,又要注意它的外在形式.当一个式子与柯西不等式的左边 或右边具有一致形式时,就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大.


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