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肇庆市2017届高一上学期期末考试(数学)


肇庆市 2017 届高一上学期期末考试 数 学

本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂 黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答 案;不 准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

?? ?x ? a ? 中系数计算公式 b 参考公式:线性回归方程 y ? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ? n? x
2

?x
i ?1

? x, ? ? y ?b ,a

2

i

其中 x , y 表示样本均值.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)集合 M ? {?1,0,1}, N ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1} ,则 M ? N 等于 (A){-1,0,1} (B){-1} (C){1} (D){0}

(2)高一年级某班共有学生 64 人,其中女生 28 人,现用分层抽样的方法,选取 16 人参加 一项活动,则应选取男生人数是 (A)9 (3)已知幂函数 f ( x) ? x (A) (-∞,0) (C) (-∞,0)∪(0,+∞) (B)8
?

(C)7

(D)6

( ? 为常数)的图像过点 P ? 2,

? ?

1? ? ,则 f ( x) 的单调递减区间是 2?

(B) (-∞,+∞) (D) (-∞,0)与(0,+∞)

(4)已知函数 f(x)的图像如下图所示,则该函数的定义域、值域分别是
1

(A) (?3,3) , (?2, 2) (C) [?3,3] , [?2, 2]

(B) [?2, 2] , [?3,3] (D) (?2, 2) , (?3,3)

(5)已知变量 x , y 有如上表中的观察数据,得到 y 对 x 的回归方程是 ? y ? 0.83x ? a ,则其 中 a 的值是 (A)2.64 (B)2.84 (C)3.95 (D)4.35

(6)函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 的零点个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
开始 S =1 i =2 S ≥ 2017? S=S· i 是

(7)如图所示的程序框图所表示的算法功能是输出 (A)使 1? 2 ? 4 ? 6 ??? n ? 2017 成立的最小整数 n (B)使 1? 2 ? 4 ? 6 ??? n ? 2017 成立的最大整数 n (C)使 1? 2 ? 4 ? 6 ??? n ? 2017 成立的最小整数 n ? 2 (D)使 1? 2 ? 4 ? 6 ??? n ? 2017 成立的最大整数 n ? 2

i=i+2

输出 i 结束

(8) 设实数 a∈ (0, 10) 且 a≠1, 则函数 f ( x) ? loga x 在 (0, +∞) 内为增函数且 g ( x ) ? 在(0,+∞)内也为增函数的概率是 (A)

a ?3 x

1 10

(B)

1 5

(C)

1 3

(D)

1 2

( 9 )某汽车销售公司同时在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为

L1 ? ? x2 ? 21x 和 L2 ? 2x (其中销售量单位:辆). 若该公司在两地一共销售 20 辆,
则能获得的最大利润为 (A)130 万元 (C)120 万元 (B)130.25 万元 (D)100 万元
x

(10) 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 的图像经过点 ( 2 2 , ? 1) , 函数 y ? b (b ? 0 且 b ? 1) 的图像经过点 (1, 2 2 ) ,则下列关系式中正确的是 (A) a ? b
2 2

(B) 2 ? 2
a

b

?1? ?1? (C) ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

a

b

(D) a ? b

1 2

1 2

(11)齐王与田忌赛马,每场比赛三匹马各出场一次,共赛三次,以胜的次数多者为赢. 田
2

忌的上马优于齐王的中马,劣于齐王的上马,田忌的中马优于齐王的下马,劣于齐王的 中马,田忌的下马劣于齐王的下马. 现各出上、中、下三匹马分组进行比赛,如双方均 不知对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率是 (A)

1 3

(B)

1 6

(C)

1 9

(D)

1 2

(12)已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0
2 ? x ? 4 x ? 2, x ? 0

,则对任意 x1 , x2 , x3 ? R ,若

0 ? x1 ? x2 ? 2 ?| x3 | ,则下列不等式一定成立的是
(A) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (B) f ( x1 ) ? f ( x3 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? f ( x3 ) ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (13)计算: ln ? lg10 ? ?

?? ? 4 ?

2

? ▲ .

[

(14)将一枚硬币连续投掷 3 次,则恰有连续 2 次出现正面朝上的概率是 ▲

.

(15)已知函数 f ( x ) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f (2) ? p, f (3) ? q ,那么 f (18) ? ▲ . (16)已知 x ? R ,用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,记 {x} ? x ? [ x ] ,若 a ? (0, 1) ,且

1 {a} ? {a ? } ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 3
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? x2 ? 6x ? 5 . (Ⅰ)求 f (? 2), f (a) ? f (3) 的值; (Ⅱ)若 x ? [2,6] ,求 f ( x ) 的值域. (18) (本小题满分 12 分) 某研究机构对中学生记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析,得到如下数据: 记忆能力 x 识图能力 y 4 3 6 ﹡﹡﹡ 8 6 10 8

由于某些原因,识图能力的一个数据丢失,但已知识图能力样本平均值是 5.5. (Ⅰ)求丢失的数据; (Ⅱ)经过分析,知道记忆能力 x 和识图能力 y 之间具有线性相关关系,请用最小二

3

? ?a ?; 乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx
(III)若某一学生记忆能力值为 12,请你预测他的识图能力值. (19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

m (m ? R ) ,且该函数的图像过点(1,5) . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)判断 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论.

(20) (本小题满分12分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n

(Ⅰ)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级不相同的概率. (21) (本小题满分12分) 设实数 a ? R ,函数 f ( x) ? a ? (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ) 当 x ? (?1,1) 时, 求满足不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围. (22)(本小题满分12分) 若函数 f ( x ) 在定义域内存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立,则称函 数 f ( x ) 有“飘移点” x0 . (Ⅰ)证明 f ? x ? ? x ? e 在区间 ? 0, ? 上有“飘移点”( e 为自然对数的底数);
2 x

2 是 R 上的奇函数. 2 ?1
x

? ?

1? 2?

(Ⅱ)若 f ? x ? ? lg ?

? a ? ? 在区间 ? 0, ?? ? 上有“飘移点”,求实数 a 的取值范围. 2 ? x ?1?

4

数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5
[k.Com]

6 D

7 C

8 B

9 A

10 C

11 B

12 A

B

二、填空题 (13) 4 ? ? 三、解答题 (17) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) f (? 2) ? (? 2)2 ? 6(? 2) ? 5 ? 7 ? 6 2 (2 分) (5 分) (14)

1 4

(15) p ? 2q

(16) [ ,1)

2 3

f (a) ? f (3) ? ? a 2 ? 6a ? 5 ? ? ? 32 ? 6 ? 3 ? 5 ? ? a 2 ? 6a ? 1
(Ⅱ)解法一: 因为 f ( x) ? x2 ? 6 x ? 5 ? ( x ? 3)2 ? 4 又因为 x ? [2, 6] ,所以 ?1 ? x ? 3 ? 3 ,所以 0 ? ? x ? 3? ? 9 ,
2

(7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

得 ?4 ? ? x ? 3? ? 4 ? 5 .
2

所以当 x ? [2, 6] 时, f ( x ) 的值域是 [?4,5] . 解法二: 因为函数 f ( x ) 图像的对称轴 x ? ?

?6 ? 3 ? [2, 6] , 2 ?1

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

所以函 数 f ( x ) 在区间 [2,3] 是减函数,在区间 [3, 6] 是增函数. 所以 x ? [2, 6] 时, f ( x)min ? f (3) ? 32 ? 6 ? 3 ? 5 ? ?4 . 又因为 f (2) ? 2 ? 6 ? 2 ? 5 ? ?3, f (6) ? 6 ? 6 ? 6 ? 5 ? 5
2 2

所以当 x ? [2, 6] 时 f ( x ) 的值域是 [?4,5] .

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设丢失的数据为 m ,依题意得

3? m ? 6?8 ? 5.5 ,解得 m ? 5 , 4
5

即丢失的数据值是 5. (Ⅱ)由表中的数据得:

(2 分)

x?
4

4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 7 , y ? 5.5 , 4
i i

(4 分)

?x y
i ?1 4

? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 8 ? 6 ? 10? 8 ? 170,

(5 分)

?x
i ?1

2 i

? 42 ? 62 ? 82 ? 102 ? 216 .
? 4 xy ? ? 4x
2

(6 分)

?? b

?x y
i ?1 4 i

4

i

?x
i ?1

2 i

170? 4 ? 7 ? 5.5 4 ? ? 0.8 , 216? 4 ? 7 2 5

(8 分)

?x ? 5.5 ? 0.8 ? 7 ? ?0.1 , ? ? y ?b a
? ? 0.8x ? 0.1 . 所以所求线性回归方程为 y ? ? 0.8 ?12 ? 0.1 ? 9.5 (Ⅲ) 由(Ⅱ)得,当 x=12 时, y
即记忆能力值为 12,预测他的识图能力值是 9.5.

(9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因 为函数 f ( x ) 图像过点(1,5) ,即 1+ 所以 f ( x) ? x ?

m =5,解得 m=4. 1

(1 分)

4 . x

(2 分)

因为 f ( x ) 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,定义域关于坐标原点对称, 又 f ( ? x) ? ? x ?

4 4? ? ? ? ? x ? ? ? ? f ( x) , ?x x? ?

(3 分) (4 分) (5分)

所以函数 f ( x ) 是奇函数. (II)函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上是减函数. 证明:设 x1 , x2 ? (0, 2) ,且 x1 ? x2 ,则

? ?4 4? 4? ? 4? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? x1 x2 ?

(6分)

? ( x1 ? x2 ) ?

? 4( x1 ? x2 ) 4 ? ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? ? x1 x2 ? x1 x2 ?

(8分)

6

因为 x1 , x2 ? (0, 2) ,则 x1 ? x2 ? (0, 4) ,所以 又因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , 所以 ( x1 ? x2 ) ?1 ?

4 4 ? 1,1 ? ?0. x1 x2 x1 x2

(10分)

? ?

4 ? ? ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . x1 x2 ?

(11分) (12分)

所以 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上是减函数.

(20) (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45. 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 n= 所以 m=0.45-0.1=0.35. 2 =0.1. 20 (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

(Ⅱ)等级为 3 的零件有 20× 0.15=3 个,记作 x1,x2,x3;由(Ⅰ)得,等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1, y2 . (6 分)

从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为:(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1), (x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2) ,(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共计 10 个. (9 分)

记事件 A 表示“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 个,其等级不相同”,则 A 包含的基本事 件为(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),共 6 个. 故所求概率为 P(A)= (11 分) (12 分)

6 =0.6. 10

(21) (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? a ? 即a?

2 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 . 2 ?1
x

(2 分) (3 分)

2 ? 0 ,解得 a ? 1 . 2 ?1
0

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 f ( x) ? 1 ?

2 . 2 ?1
x

2 因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,由 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 ,得

f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,即 f (1 ? m) ? f (m2 ?1) .
下面证明 f ( x ) 在 R 是增函数. 设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则
7

(5 分)

2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? 2 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ? x1 ? ? ?1 ? x ?? ? 2 ? 1 ? ? 2 2 ? 1 ? ? 2x1 ? 1?? 2 x2 ? 1?
因 为 x1 ? x2 , 所 以 2 1 ? 2
x x2

(6 分)
x

, 2 1 ? 2 2 ? 0 , 而 2 1 ? 1 ? 0,2 2 ? 1 ? 0 , 所 以
x x

x

?

2 2 2 x1 ? 2 x2 是 R 上的增函数. ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所 以 f ( x) ? a ? x x1 x2 2 ?1 2 ?1 2 ?1

?

??

?

?

(8 分)

?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? 2 当 x ? (?1,1) 时,由 f (1 ? m) ? f (m2 ?1) 得 ?? 1 ? m ? 1 ? 1 , ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
解得 1 ? m ?

(10 分)

2 . 所以,当 x ? (?1,1) 时,满足不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的
(12 分)

取值范围是 (1, 2 ) .

(22)(本小题满分12分) (Ⅰ)证明: f ( x) ? x 2 ? e x ,设 g ( x) ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ,则

g ( x) ? 2 x ? (e ? 1)e x ? e .
因为 g ? 0 ? ? ?1 , g ? 分) 所以 g ? 0 ? g ?

(1 分)

?1? ? ? 1 ? (e ? 1) e ? e ? (e ? 1) e ? (e ? 1) ? (e ? 1) ?2?

?

e ? 1 ? 0 , (2

?

?1? ? ? 0. ?2? ? ? 1? 2?
2 x

(3 分)

所以 g ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? 上至少有一个实数根,即函数 f ? x ? ? x ? e 在区间 ? 0, ? 上 有“飘移点”. (Ⅱ)解:函数 f ? x ? ? lg ? (4 分)

? ?

1? 2?

? a ? ? 在区间 ? 0, ?? ? 上有“飘移点” x0 ,即有 2 ? x ?1?
(5 分)

? ? ? a ? a ?a? lg ? ? ? lg ? 2 ? ? lg ? ? 成立, 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? ?2? ? x0 ? 1 ? ? 0 ?

8



a a a 2 整理得 ? 2 ? a ? x0 ? 2ax0 ? 2 ? 2a ? 0 . ? 2 ? , 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 2
2

(6 分)

从而问题转化为关于 x的方程 ? 2 ? a ? x ? 2ax ? 2 ? 2a ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上有实数根 x0 时 (8 分) 设 h( x) ? ? 2 ? a ? x ? 2ax ? 2 ? 2a ,由题设知 a ? 0 .
2





a







.

当 a ? 2 且 x ? 0 时, h( x) ? 0 ,方程 h( x) ? 0 无解,不符合要求; 当 a ? 2 时,方程 h( x) ? 0 的根为 ?
2

(9 分) (10 分)

1 ,不符合要求; 2 a ? 0, 2?a

当 0 ? a ? 2 时, h( x) ? ? 2 ? a ? x ? 2ax ? 2 ? 2a 图像的对称轴是 x ?
2

要使方程 h( x) ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上有实数根,则只需 ? ? 4a ? 4(2 ? a )(2 ? 2a) ? 0 , 解得 3 ? 5 ? a ? 3 ? 5 . 所以 3 ? 5 ? a ? 2 , 即实数 a 的取值范围是 [3 ? 5, 2) . (11 分) (12 分)

9



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