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宁夏石嘴山市第三中学2018届高三数学下学期第四次模拟考试试题理

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宁夏石嘴山市第三中学 2018 届高三数学下学期第四次模拟考试试题



注意事项:

1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上

的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;

非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题

号涂黑。

第 I 卷(选择题)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.已知集合



,则

()

A.

B.

C.

D.

2.已知实数 a,b 满足(a+i)(1-i)=3+bi,则复数 a+bi 的模为( )

A. 2

B.2

C. 5

D.5

? ? 3. 已知等差数列 an 的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( )

A. -4

B. -6

C. -8

D. -10

? x?y?0

4.已知实数

x,

y

满足条件

? ?

x

?

y

?

4

?

0

,则

y

的最大值是(

)

?? x ?1 ? 0

x

A .1

B. 2

C. 3

D. 4

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5.执行如图所示的程序框图,则输出的 a ?( )

A. ? 1 4

B. 4 5

C. 4 D. 5

6.已知具有线性相关的变量 x, y ,设其样本点为 Ai ? xi , yi ??i ?1, 2, ,8? ,回归直线方程



y?

?

1 2

x

?

a

,若

OA1

?

OA1

?

? OA8 ? ?6, 2? ,( O 为原点),则 a ? ( )

A. 1 8

B. ? 1 8

C. 1 4

D. ? 1 4

7.过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的长

为( )

A.4

B.8

C.12

D.16

8.若

sin

? ??

π 4

?

?

? ??

?

1 3

,则

cos

? ??

π 2

?

2?

? ??

等于(

)

A. 4 2 9

B. ? 4 2 9

C. 7 9

D. ? 7 9

? ? 9.若二项式 ?3 ? x?n n ? N* 的展开式中所有项的系数之和为 a ,所有项的系数的绝对值之

和为 b ,则 b ? a 的最小值为( ) ab

A. 9 2

B. 5 2

C. 13 6

D. 2

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10. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )

A. 24?

B. 36?

C. 40?

D. 400?

? ? 11. 各项均为正数的等比数列 an 满足 a2a6 ? 64 , a3a4 ? 32 ,若函数

f ? x? ? a1x ? a2x2 ? a3x3 ?

? a10x10 的导函数为

f

'? x? ,则

f

' ???

1 2

? ??

?

(

)

A. 10

? ? B. 1 220 ?1 3

C.

2

?

1 29

D. 55

12.设 F1,F2 ,分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 的左、右焦点,过 F1 作一条渐近线的

垂线,垂足为 M,延长 F1M 与双曲线的右支相交于点 N,若 MN ? 3F1M ,则此双曲线的离
心率为( )

A. 13 2

B. 5 3

C. 4 3

D. 2 6 3

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分.) 13.2018 年 4 月初,甲、乙、丙三位全国文化名人特来我市参加“石嘴山发展大会”.会后 有旅游公司询问甲、乙、丙三位是否去过沙湖,星海湖,武当庙三个地方时. 甲说:我去过的地方比乙多,但没去过星海湖; 乙说:我没去过武当庙; 丙说:我们三人去过同一个地方.

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由此可判断乙去过的地方为__________.

? ? ? ? 14.已知 a ? b ? 2 , a ? 2b ? a ? b ? ?2 ,则 a 与 b 的夹角为__________。

??a2-ab,a≤b, 15. 对于实数 a,b,定义运算“*”:a*b=???b2-ab,a>b.

设 f (x)=(x-4)* ( 7 x ? 4) , 4

若关于 x 的方程|f (x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数 m 的取值范围

是________.

16.下列命题中

(1)已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点 P ?2,1? ,



tan

? ??

2?

?

? 4

? ??

?

-7.

(2)若 a ? R ,则“ 1 ? 1 ”是“ a ?1”的必要不充分条件. a

(3)函数 y ? x2 ? 9 ? 1 (x ? R) 的最小值为 2. x2 ? 9

(4) 曲线 y=x2-1 与 x 轴所围成图形的面积等于 1 . 3
(5)函数 y ? lgx ? 9 的零点所在的区间大致是 ?8,9? .
x
其中真命题的序号是____________.

三、解答题:(本大题共 6 小题 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

已知函数

f

?x?

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

2cos2 x

?

2

.

(Ⅰ)求 f ? x? 的单调递增区间;

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 c ? 3, 2 f ?C? ? ?1,若 2sinA
? sinB ,求 ?ABC 的面积.

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18.(本小题满分 12 分)
某市为了解本市 2 万名学生的汉字书写水平,在全市范围内进行了汉字听写考试,发现其成
绩服从正态分布 N ?69, 49? ,现从某校随机抽取了 50 名学生,将所得成绩整理后,绘制出
如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)估算该校 50 名学生成绩的平均值 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)求这 50 名学生成绩在?80,100? 内的人数;

? ? (Ⅲ)现从该校 50 名考生成绩在 80,100 的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高
到低)在全市前 26 名的人数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
? ? 参考数据:若 X ~ N ?,? 2 ,则 p(? ?? ? X ? ? ?? ) ? 0.6826 ,

p(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544

p(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974

19.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD中, AD ? 平面P CD, PD ? CD ,底面 ABCD是梯形, AB// DC , AB ? AD ? PD ?1,CD ? 2AB, Q 为 棱 PC 上一点. (Ⅰ)若点 Q 是 PC 的中点,证明: BQ // 平面PAD ; (Ⅱ) PQ ? ?PC, 试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD? P 为 60°.

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20.(本小题满分 12 分) x2 y2
已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点相同,且椭圆 C 上一点 与椭圆 C 的左,右焦点 F1,F2 构成的三角形的周长为 2 2+2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l :y=kx+m(k,m∈R)与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的重心 G 满足:F→1G·F→2G=-59,求实数 m 的取值范围.
21(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? ex ? x2 ? x , g ? x? ? x2 ? ax ? b,a,b?R .

(Ⅰ)当 a ? 1时,求函数 F ? x? ? f ? x? ? g ? x? 的单调区间;

(Ⅱ)若曲线 y ? f ? x? 在点 ?0,1? 处的切线 l 与曲线 y ? g ? x? 切于点 ?1, c? ,求 a,b, c 的值;

(Ⅲ)若 f ? x? ? g ?x? 恒成立,求 a ? b 的最大值.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分. 22.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

的参数方程为:

? ? ?

x y

? ?

cos? sin?

(?

为参数,

?

??0,

?

?

),

将曲线

C1

经过伸缩变换:

?? ? ??

x? ? y? ?

x 3y

得到曲线

C2

.

(Ⅰ)以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,求 C2 的极坐标方程;

?x ? t cos?

(Ⅱ)若直线

l

:

? ?

y

? t sin?

( t 为参数)与 C1, C2 相交于

A, B 两点,且

AB

?

2 ?1,求

? 的值.

23.(本小题 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? x ?1 ? a?a?R? .

(Ⅰ)若 f ? x? 的最小值不小于 3,求 a 的最大值;

(Ⅱ)若 g ?x? ? f ?x? ? 2 x ? a ? a 的最小值为 3,求 a 的值.

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石嘴山三中 2018 届第四次模拟 理科数学答案

1. A 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B 7 D 8 D 9. B 10. C 11.. D 12 B

13.沙湖

14.. ? 3

15 (-1,1)∪(2,4)

因为关于 x 的方程|f (x)-m|=1(m∈R),即 f (x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的

实数根,所以两直线 y=m±1(m∈R)与曲线 y=f (x)共有四个不同的交点,则

??m+1>3,

??0<m+1<3,

??m+1=3,

???0<m-1<3 或???m-1<0

或???m-1=0, 得 2<m<4 或-1<m<1.]

16. (1) (2)

17. 解 析 : (1) f ? x? ? sin2xcos ? ? cos2xsin ?

6

6

?1

?

cos2x

?

2

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

1

-------2 分

由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? ,?k ? Z ? -------2 分

2

62

3

6

∴函数

f

? x? 的单调递增区间为 ????

? 3

?

k? , ? 6

?

k?

? ??

?

k

?Z

? .-------2



(2)由

2

f

?C?

?

?1,得

sin

? ??

2C

?

? 6

? ??

?

1 2

.

0?C ??

? ? ? 2C ? ? ? 13? , 2C ? ? ? 5? ,

6

66

66

C?? . 3

-------2 分

又 sinB ? 2sinA,由正弦定理得 b ? 2 ①; a
a2 ? b2 ? ab ? 3 ,②

由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2abcos ? ,即 3

∴由①②解得 a ? 1, b ? 2 . -------2 分

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1 ? S?ABC ? 2 absinC ?

3 2

. -------2 分

18.













1



x ? 45?0.08? 55?0.2 ? 65?0.32 ? 75?0.2 ?85?0.12 ? 95?0.08 ? 68.2 -------2 分

(2) ?0.008 ? 0.012??10?50 ?10 . -------2 分

(3)P?? ?3? ? X ? ? ? 3? ?=0.9974,则 P ? X ? 90? ? 1? 0.9974 ? 0.0013 .-------2
2


.
所以该市前 名的学生听写考试成绩在 90 分以上. ------1 分

上述 名考生成绩中 分以上的有

人. ------1 分

随机变量 X ? 0,1, 2 .于是------1 分

P?X

?

0?=

C62 C120

=1, 3

P?X

?1? =

C61 ? C41 C120

=8 15



P?X

?

2?=

C42 C120

=2 15

.

------3 分

X 的分布列:

-------1 分

顶顶顶分 分分发
数学期望 E ? X ? ? 0? 1 ?1? 8 ? 2? 2 ? 4 . ------1 分
3 15 15 5 19. 试题解析:(Ⅰ)取 PD 的中点 M,连接 AM,M Q ,
点Q是PC的中点 , ?M Q ∥CD, MQ ? 1 CD. 2
又 AB∥CD, AB ? 1 CD,则QM ∥AB,QM=AB, 2
则四边形 ABQM 是平行四边形. ? BQ ∥AM. 又 AM ? 平面 PAD,BQ ? 平面 PAD, ? BQ ∥平面 PAD. -------6 分 (Ⅱ)解:由题意可得 DA,DC,DP 两两垂直,以 D 为原点,DA,DC,DP 所在直线为 x, y, z
轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 P(0,1,1),C(0,2,0),A(1,0,0),B(1,1,0). ------1 分
-
令 Q? x0, y0, z0 ?,则PQ ? ? x0, y0, z0 ?1?, PC ? ?0, 2, ?1?. PQ ? ?PC,?? x0, y0, z0 ?1? ? ? ?0, 2, ?1?,
?Q?0, 2?,1? ??. 又易证 BC⊥平面 PBD, ?n ? ??1,1,0?是平面PBD的一个法向量. ------1 分

顶顶顶分 分分发

设平面 QBD 的法向量为 m ? ? x, y, z?,

则有{ m ? DB m ? DQ

? 0, ? 0,

即{ 2?

y

x ? y ? 0,
? ?1? ? ? z

?

0,

解得{ z

x ?

? ?y, 2? y.

? ?1



y

?

1,

则m

?

? ??

?1,1,

2? ? ?1

? ??

.

-------2 分

二面角Q ? BD ? P为60 ,

m?n

2

1

? cos m, n ?

?

?,

mn

2?

2

?

? ??

2? ? ?1

?2 ??

2 -------1 分

解得 ? ? 3 ? 6.

Q 在棱 PC 上, 0 ? ? ?1,?? ? 3? 6. -------1 分

20.解

?c=1, ? (1)依题意得 2a+2c=2 2+2,
?a2=b2+c2,

-------2 分

??a2=2, 即???b2=1,

x2 所以椭圆 C 的方程为 2 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

-------2 分

??y=kx+m, 联立得方程组???x2+2y2-2=0,

消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,-------2 分

??Δ >0? 1+2k2>m2?*?, -4km

?则 x1+x2=1+2k2,



?? 2m2-2 x1x2=1+2k2,

-------1 分

顶顶顶分 分分发

设△AOB 的重心为 G(x,y), 由F→1G·F→2G=-59,

4 可得 x2+y2=9.②

------1 分

x1+x2 y1+y2 由重心公式可得 G( 3 , 3 ),

代入②式,整理可得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4? (x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,③

将①式代入③式并整理,

?1+2k2?2 得 m2= 1+4k2 ,

------1 分

代入(*)得 k≠0,

(1+2k2)2

4k4

4

则 m2= 1+4k2 =1+1+4k2=1+ 4 1

k2+k4

1 ∵k≠0,∴t=k2>0,∴t2+4t>0,

.------1 分

∴m2>1,∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).-------2 分

21 试题解析:解:(Ⅰ) F ? x? ? ex ? 2x ?b ,则 F?? x? ? ex ? 2 .

令 F?? x? ? ex ? 2 ? 0, 得 x ? ln2 ,所以 F ? x? 在 ?ln2, ??? 上单调递增.

令 F?? x? ? ex ? 2 ? 0, 得 x ? ln2 ,所以 F ? x? 在 ???,ln2? 上单调递减. -------3 分

(Ⅱ)因为 f ?? x? ? ex ? 2x ?1,所以 f ??0? ? 0 ,所以 l 的方程为 y ? 1.
依题意, ? a ? 1, c ?1. 2
于是 l 与抛物线 g ? x? ? x2 ? 2x ? b 切于点 ?1,1? ,

由12 ? 2 ? b ? 1得 b ? 2 .

所以 a ? ?2,b ? 2, c ? 1.

- ---------4 分

(Ⅲ)设 h?x? ? f ?x? ? g ?x? ? ex ? ?a ?1?x ?b ,则 h? x? ? 0恒成立.

易得 h?? x? ? ex ??a ?1?.
(1)当 a ?1 ? 0 时,

顶顶顶分 分分发

因为 h?? x? ? 0 ,所以此时 h ? x? 在 ???, ??? 上单调递增.

①若 a ?1 ? 0,则当 b ? 0 时满足条件,此时 a ? b ? ?1;

②若

a

?1?

0 ,取

x0

?

0且

x0

?

1?b , a ?1

此时

h? x0

?

?

e x0

??a

?1?

x0

?b

?1??a

?1? 1? b
a ?1

?b

?

0

,所以

h?x?

?

0 不恒成立.

不满足条件;

(2)当 a ?1 ? 0时,

令 h?? x? ? 0 ,得 x ? ln ?a ?1?.由 h?? x? ? 0 ,得 x ? ln?a ?1? ;

由 h?? x? ? 0 ,得 x ? ln ?a ?1?.

所以 h? x? 在 ???,ln ?a ?1?? 上单调递减,在 ?ln ?a ?1?, ??? 上单调递增.

要使得“ h? x? ? ex ? ?a ?1? x ?b ? 0恒成立”,必须有

“当 x ? ln?a ?1? 时, h?x? ? ?a ?1? ??a ?1?ln?a ?1? ?b ? 0”成立. min
所以 b ? ?a ?1? ??a ?1?ln?a ?1? .则 a ? b ? 2?a ?1? ??a ?1?ln?a ?1? ?1.

令 G?x? ? 2x ? xlnx ?1, x ? 0,则 G?? x? ?1? lnx.

令 G?? x? ? 0 ,得 x ? e.由 G?? x? ? 0 ,得 0 ? x ? e ;

由 G?? x? ? 0 ,得 x ? e.所以 G ? x? 在 ?0, e? 上单调递增,在 ?e, ??? 上单调递减,

所以,当 x ? e时, G ? x? ? e ?1. max
从而,当 a ? e ?1,b ? 0 时, a ? b 的最大值为 e ?1.------5 分

2 2.解:(1) C1 的普通方程为 x2 ? y2 ?1? y ? 0? ,

把 x ? x?, y ? 3 y? 代入上述方程得, x?2 ? y?2 ? 1? y? ? 0? ,

3

3

∴ C2 的方程为 x2

?

y2 3

? 1? y

? 0? ,

顶顶顶分 分分发

令 x ? ? cos? , y ? ? sin? ,

? ? 所以 C2 的极坐标方程为 ? 2

2 ?
3cos2 ? ? sin2 ?

3 ?
2 cos2 ? ?1

? ??0,? ?

;-------5 分

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为? ? ? ?? ? R? ,



?? ?1 ??? ? ?

,得

?A

?1,



? ? ?

?

2

?

3 2 cos2 ?

?1 ,得

?B

?

?? ? ? ?

3



2cos2 ? ?1



2

3 cos2 ?

?1

?1

?

2 ?1 ,∴ cos? ? ? 1 , 2

而? ??0,? ? ,∴? ? ? 或 2? .------5 分
33

23.解:(1)因为

f

?x? min

?

f

?1? ?

?a

,所以 ?a

? 3,解得 a

?

?3,即 amxa

? ?3 ;-------5



(2) g ? x? ? f ? x? ? 2 x ? a ? a ? x ?1 ? 2 x ? a ,

当 a ? ?1时, g ? x? ? 3 x ?1 ? 0,0 ? 3,所以 a ? ?1不符合题意,

? ? x ?1? ? 2? x ? a?, x ? ?a

? 3x ?1?2 a, x ? ?a

当 a ? ?1时,g ? x? ? ??? x ?1? ? 2? x ? a?,1 ? x ? ?a ,即 g ?x ? ? ???x ? 1? 2a ,1? x?? a ,

? ?

? ? x ?1? ? 2? x ? a?, x ? 1

?? ?3x?1? 2 a, x?1

所以

g

?

?x min

?

g ??a?

?

?a ?1?

3 ,解得 a

?

?4 ,

当 a ? ?1时,同法可知 g ? x?min ? g ??a? ? a ?1? 3,解得 a ? 2 ,
综上, a ? 2 或-4. ------5 分



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