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不等式1


2.2 不等式(1)

主讲:高翔

问题 现有5kg白糖水,其中含有白糖1kg, 再添加白糖m(m>0)kg并全部溶解,添 加白糖之前,糖水的浓度是1/5,添加白糖

之后,糖水的浓度是
显然有
1? m 1 ? 5? m 5

1? m 5?m



作差比较法 把要比较的两个实数(或代数式) 作差,然后进行化简,判断最终化 简结果的符号,从而判断出这两个 实数(或代数式)的大小。

例:

2 3 ? 和 ? 3 4

2 x 2 ? 1和x 2 ? 1

a ? a ? 2和2a ? a ? 1
2 2

x ? 5和4 x
2

不等式的性质:
(1)不等式两边同时加或减去同一个整式,不 等号方向不变;

a ?b ? a?c ?b?c

(或a ? c ? b ? c)

(2)不等式两边同时乘以(或除以)同一个 大于0的整式,不等号方向不变 ;

a b a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (或 ? ) c c

(3)不等式两边同时乘以(或除以)同一个小 于0的整式,不等号方向改变

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a b (或 ? ) c c

推论:
对于a ? 0, b ? 0, 有a ? b ? a ? b
2 2

8名同学植树, 植树总数不得少 于32棵,每名学 生至少要植几棵 树?

由不等式的所有解组成的集合,我们把它叫做不等式的解集. 不等式的解集,一般可用集合的性质描述法来表示,也可以在数 轴上来表示出来。

注:(1)解集中包括了每一个解 (2)解集是一个范围

求不等式解集的过程叫做解不等式。

只含一个未知数并且未知数的次数是1,系数不等于0的整式 叫做一元一次不等式。



2 求不等式 x ? 50的解集 3
解 : 原不等式两边乘以3去分母得 2 x ? 150 两边同除以2得 x ? 75 所以原不等式的解集是{x | x ? 75}

求解步骤

空心圆圈表示 用数轴表示 75不在解集内

大于向右

0

75

x

例:

2x ? 3 x ?1 解不等式 ? ?1 5 2
解:原不等式去分母,得 2(2x+3) ≧5(x-1)+10, 去括号,得4x+6 ≧5x-5+10 移项,合并同类项,得-x ≧ -1 两边同除以-1,得x≦1 所以原不等式的解集是{x|x ≦1}

一般地,含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的 不等式组,叫做一元一次不等式组。

这个不等式组包含两不等式,因此,求这个不等式组的解集,实 际上就是求这两个不等式的解集的交集。两个不等式的解集可以 在数轴上表示出来.. 若各个不等式的解集的交集是空集,那么由它们所组成的不等式组 的解集是空集。

求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.

解不等式组



?x ? 5 ? 2x ? 4 ? ?3 x ? 1 ? 9 ? x

区间
设a,b∈R,且a<b。 1、满足a≤x≤b的全体实数x的集合,叫做闭区间, 记作[a,b] 如图(1); 2、满足a<x<b的全体实数X的集合,叫做开区间, 记作(a,b)图 (2) ; 3、满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合, 都叫做半开半闭区间, 分别记作[a,b)或( a,b ] 图 (3)、(4)。

a 与b叫做区间的

端点

在数轴上表示区间时,

端点属于这个区间,用实心点表示,不属于这个区间,用空心 点表示.

-1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3

X>1

X≤2

实数集R,也可用区间表示为(-∞,+ ∞)

符号” ,+ ∞”读作 “正无穷大” 符号” ,- ∞”读作 “负无穷大”

满足 x ? a 的全体实数,可记作

[a,+∞)

. a
满足x ? a的全体实数,可记作 a 满足 x ? a 的全体实数,可记作 a 满足x ? a 的全体实数,可记作 a (a ,+∞) (-∞, a]

.

(-∞, a)

用区间法表示下列不等式的解集:


? 3 ? x ? 8 .5

x ? 10



用集合的性质描述法表示下列区间,并在 数轴上表示: (1) [4,12] (2) (-∞,-6)


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