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高三三角函数和解三角形


2013 届高三数学章末综合测试题(5)三角函数、解三角形
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 4 1.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30° ),且 cosα=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 3 2 -8m
2

)

D.

3 2

解析:∵|OP|= 64m2+9,且 cosα=

4 =- , 5 64m +9

64m2 16 4 1 ∴m>0,且 =- =- ,∴m= . 25 5 2 64m2+9 答案:B 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 )

解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R, R=6, ?2R+α· ? 则?1 2 解得 α=1,或 α=4. R ?2α· =2, ? 答案:C π 3.已知函数 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数图像( ? ? π A.关于直线 x= 对称 4 π C.关于点( ,0)对称 4 π B.关于点( ,0)对称 3 π D.关于直线 x= 对称 3 )

解析:∵T=π,∴ω=2. 新 课 标 第 一 网 π 1 π π ∵当 x= 时,f(x)= ;当 x= 时,f(x)=0,∴图像关于( ,0)中心对称. 4 2 3 3 答案:B π 4.要得到函数 y=cos2x 的图像,只需将函数 y=cos?2x-3?的图像( ? ? π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 3 π B.向右平移 个单位 3 π D.向左平移 个单位 6 )

π π π π 解析:由 cos2x=cos?2x-3+3?=cos?2?x+6?-3? ? ? ? ?

?

?

π π 知,只需将函数 y=cos?2x-3?的图像向左平移 个单位. ? ? 6

答案:D 5.若 2a= 3sin2+cos2,则实数 a 的取值范围是( 1 A.?0,2? ? ? 1 C.?-1,-2? ? ? 1 B.?2,1? ? ? 1 D.?-2,0? ? ? )

π π 3 π 5 解析:∵ 3sin2+cos2=2sin?2+6?,又 π<2+ < π,∴1<2sin?2+6?< 2, ? ? ? ? 4 6 6 1 即 1<2a< 2,∴0<a< . 2 答案:A π 6.函数 y=3sin?-2x-6?(x∈[0,π])的单调递增区间是( ? ? 5π A.?0,12? ? ? π 11π C.?6, 12 ? ? ? π 2π B.?6, 3 ? ? ? 2π 11π D.? 3 , 12 ? ? ? )

π π π 3π 解析:∵y=-3sin?2x+6?,∴由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 ? ? 2 6 2 π 2π kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 6 3 答案:B 1 2 7.已知 tanα= ,tan(α-β)=- ,那么 tan(2α-β)的值是( 2 5 1 A.- 12 1 B. 12 3 C. 22 ) 3 D. 18 π 2π 又 x∈[0,π],∴k=0.此时 x∈?6, 3 ?. ? ?

1 2 - 2 5 tanα+tan(α-β) 1 解析:tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]= = = . 1 ? 2? 12 1-tanαtan(α-β) 1- ×?-5? 2 答案:B 8.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π,且当 π 5π x∈?0,2?时,f(x)=sinx,则 f? 3 ?的值为( ? ? ? ? 1 A.- 2 1 B. 2 ) C.- 3 2 D. 3 2

5π 5π π π π 3 解析:f? 3 ?=f? 3 -2π?=f?-3?=f?3?=sin = . ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 答案:D π π 1 9.已知 cos?4+θ?cos?4-θ?= ,则 sin4θ+cos4θ 的值等于( ? ? ? ? 4 )

3 A. 4

5 B. 6

5 C. 8

3 D. 2

π π π 1 1 1 1 解析:由已知,得 sin?4-θ?cos?4-θ?= ,即 sin?2-2θ?= ,∴cos2θ= . ? ? ? ? 4 ? 4 2 ? 2 1 3 1 3 5 ∴sin22θ=1-?2?2= 。则 sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1- sin22θ=1- = . ? ? 4 2 8 8 答案:C 10.已知 α、β 为锐角,且 sinα= 3π A.- 4 π 3π B. 或 4 4 5 10 ,sinβ= ,则 α+β=( 5 10 3π C. 4 5 10 ,sinβ= , 5 10 ) π D. 4

解析:∵α、β 为锐角,且 sinα=

2 5 3 10 ∴cosα= ,cosβ= ,且 α+β∈(0,π),∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 5 10 = 6 50 50 5 50 2 π - = = , ∴α+β= . 50 50 50 2 4

答案:D B a+c 11.在△ABC 中,cos2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状 2 2c 为( ) A.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角 D.等腰直角 形 三角形

a+c B a+c B 解析:∵cos2 = ,∴2cos2 -1= -1, 2 2c 2 c a2+c2-b2 a a ∴cosB= ,∴ = ,∴c2=a2+b2, 故△ABC 为直角三角形. c 2ac c 答案:B 12.在沿海某次台风自然灾害中,台风中心最大风力达到 10 级以上,大风降雨给沿海 地区带为严重的灾害,不少大树被大风折断,某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干 底部的距离是( 20 6 A. 米 3 ) B.10 6米 10 6 C. 米 3 D.20 2米

解析:设折断点与树干底部的距离为 x 米. 则 x 20 20 = = , sin45° sin(180° -75° -45° sin60° )

20×sin45° 20 2 20 6 ∴x= = = (米). sin60° 3 3

答案:A

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. π 13.若 是函数 f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,且为常数)的零点,则 f(x)的最小正周期是 4 __________. π π π 1 解析:由题意,得 f?4?=sin +acos2 =0,∴1+ a=0,∴a=-2. ? ? 2 4 2 π ∴f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1= 2sin?2x-4?-1, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. 答案:π 14.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB.sinAcosB= __________. 解析:∵tanA+tanB= 3(tanAtanB-1), tanA+tanB π ∴tan(A+B)= =- 3, ∴tanC= 3,又 C∈(0,π),∴C= . 3 1-tanAtanB ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴cosAsinB= 3 , 2 3 , 则△ABC 的形状为 4

3 ,∴sinAcosB=cosAsinB,∴sin(A-B)=0,∴A=B. 4

∴△ABC 为正三角形. 答案:正三角形 π π π 15. 若将函数 y=tan?ωx+4?(ω>0)的图像向右平移 个单位后, 与函数 y=tan?ωx+6?的 ? ? ? ? 6 图像重合,则 ω 的最小值为__________. π π ω π π π ω 解析: 由已知,得 tan?ω?x-6?+4?=tan?ωx- 6 π+4?=tan?ωx+6?,得 - π=kπ+ ? ? ? ? ? ? ? ? 4 6 π 1 1 (k∈Z),∴ω=-6k+ (k∈Z).∵ω>0,∴当 k=0 时,ω 的 最小值为 . 6 2 2 1 答案: 2 16.给出下列命题: 1 1 ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ; 2 2 1 1 π ②若 α、β 为锐角,tan(α+β)= ,tanβ= ,则 α+2β= ; 2 3 4 ③若 A 、B 是△ABC 的两个内角,且 sinA<sinB,则 BC<AC;

④若 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 a2+b2-c2<0,则△ABC 是钝角三角形. 其中真命题的序号是__________. 1 1 1 解析:①中,S 扇形= α· 2= × ×22=1, R 2 2 2 ∴①不正确. 1 1 + 3 2 tan(α+β)+tanβ ②中,由已知可得 tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= = =1, 1 1 1-tan(α+β)tanβ 1- × 3 2 1 π 又 α、β 为锐角,tan(α+β)= >0,∴0<α+β< . 2 2 1 π 3 π 又由 tanβ= <1, 0<β< , ∴0<α+2β< π, 得 ∴α+2β= .∴②正确. www.xkb1.com 3 4 4 4 BC AC ③中,由 sinA<sinB? < (2R 为△ABC 的外接圆半径)?BC<AC.∴③正确. 2R 2R ④中,由 a2+b2-c2<0 知,c osC<0, ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.∴④正确. 答案:②③④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(10 分)已知 sinα=- π 5 1 ,tanβ=- ,且 α、β∈?-2,0?. ? ? 5 3

π π (1)求 α+β 的值; (2)求 2sin=?4-α?+cos?4+β?的值. ? ? ? ? 解析:(1)∵sinα=- π 5 2 5 1 ,α∈?-2,0?, ∴cosα= .∴tanα=- , ? ? 5 5 2

tanα+tanβ π ∴tan(α+β)= =-1. 又∵-π<α+β<0,∴α+β=- . 4 1-tanαtanβ π (2)由(1)知,α+β=- , 4 π π π π π π 2sin?4-α?+cos?4+β?= 2sin?4-α?+cos?4-4-α?= 2sin?4-α?+cosα ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 5 =2cosα-sinα=2× + = 5. 5 5 1 1 18.(12 分)已知 α、β 为锐角,向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=?2,-2?. ? ? (1)若 a· b= 3-1 2 ,a· c= ,求角 2β-α 的值; 2 4

(2)若 a=b+c,求 tanα 的值. 解析:(1)a· b=(cosα,sinα)· (cosβ,sinβ)

=cosαcosβ+sinαsinβ =cos(α-β)= 2 .① 2
[来

1 ?1 a· c=(cosα,sinα)·2,-2? X k b 1 . c o m ? ? 3-1 1 1 = cosα- sinα= .② 2 2 4 π π π π 又∵0<α< ,0<β< ,∴- <α-β< . 2 2 2 2 π π 由①得 α-β=± ,由②得 α= . 4 6 5π 2 ∵α、β 为锐角,∴β= .从而 2β-α= π. 12 3

?cosβ=cosa-2, (2)由 a=b+c,可得? 1 ?sinβ=sinα+2. ④
1 1 ③2+④2,得 cosα-sinα= . 2 3 ∴2sinαcosα= . 4 2sinαcosα 2tanα 3 又∵2sinαcosα= 2 = = , sin α+cos2α tan2α+1 4 ∴3tan2α-8tanα+3=0. 又∵α 为锐角,∴tanα>0, 8± 82-4×3×3 8± 28 4± 7 ∴tanα= = = . 6 6 3



π π 19.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,-2<φ<2?一个周期的图像如图 ? ? 所示. (1)求函数 f(x)的表达式; π 24 (2)若 f(α)+f?α-3?= ,且 α 为△ABC 的一个内角, ? ? 25 求 sinα+cosα 的值. 解析:(1)由图知,函数的最大值为 1,则 A=1, π π 函数 f(x)的周期为 T= 4×?12+6?=π. ? ? 2π 而 T= ,则 ω=2. w ω
[

w w .x k b 1.c o m

π π 又 x=- 时,y=0,∴sin?2×?-6?+φ?=0. ? ? ? ? 6 π π π 而- <φ< ,则 φ= . 2 2 3 π ∴函数 f(x)的表达式为 f(x)=sin?2x+3?. ? ? π 24 (2)由 f(α)+f?α-3?= ,得 ? ? 25 π π 24 24 sin?2α+3?+sin?2α-3?= ,化简,得 sin2α= . ? ? ? ? 25 25 49 ∴(sinα+cosα)2=1+sin2α= . 25 由于 0 <α<π,则 0<2α<2π, 24 但 sin2α= >0,则 0<2α<π,即 α 为锐角, 25 7 从而 sinα+cosα>0,因此 sinα+cosα= . 5 20. 分)在△ABC 中, (12 内角 A、 C 的对边分别为 a、 c, bcosC=3acosB-ccosB. B、 b、 且 (1)求 cosB 的值. → → (2)若BA· =2,b=2 2,求 a 和 c. BC 解析:(1)△ABC 中,∵bcosC=3acosB-ccosB, 由正弦定理,得 sinB· cosC=3sinAcosB-sinCcosB, ∴sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, ∴sin(B+C)=sinA=3sinAcosB. 1 ∵sinA≠0,∴cosB= . 3 1 → → (2)∵BA· =ac· BC cosB= ac=2,∴ac=6. 3 ∵b2=8=a2+c2-2accosB=a2+c2-4, ∴a2+c2=12,∴a2-2ac+c2=0, 即(a-c)2=0,∴a=c= 6. 21.(12 分)已知△ABC 是半径为 R 的圆的内接三角形,且 2R(sin2A-sin2C)=( 2a- b)sinB. (1)求角 C; (2)试求△ABC 面积 S 的最大值. 解析:(1)由 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sinB, 两边同乘以 2R,得 (2RsinA)2-(2RsinC)2=( 2a-b)2RsinB,w w w .x k b 1.c o m
]

根据正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, ∴a2-c2=( 2a-b)b,即 a2+b2-c2= 2ab. a2+b2-c2 2 再由余弦定理,得 cosC= = , 2ab 2 π 又 0<C<π,∴C= . 4 π 3π (2)∵C= ,∴A+B= . 4 4 1 2 S= absinC= (2RsinA)(2RsinB)= 2R2sinAsinB 2 4 3 π 1 2 = 2R2sinAsin?4π-A?= R2sin?2A-4?+ R2, ? ? 2 ? ? 2 π π 3 ∴当 2A- = ,即 A= π 时, 4 2 8 1 2 S 有最大值? + ?R2. ?2 2 ? 22.(12 分)如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道.赛道的前 一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图像,且图像 的最高点为 S(3,2 3); 赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全, 限定∠MNP =120° . (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

解析:方法一: (1)依题意,

10 3 10 3 故 NP+MN= sinθ+ sin(60° -θ) 3 3 = = 3 10 3?1 sinθ+ cosθ? 2 ? 3 ?2 10 3 sin(θ+60° ). 3

∵0° <θ<60° ,∴当 θ=30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 即将∠PMN 设计为 30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 方法二:(1)同方法一; (2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5, 由余弦定理,得 MN2+NP2-2MN· cos∠MNP=MP2, NP· 即 MN2+NP2+MN· NP=25. 故(MN+NP)2-25=MN· NP≤? MN+NP?2 ? 2 ?,

3 10 3 从而 (MN+NP)2≤25,即 MN+NP≤ , 4 3 当且仅当 MN=NP 时等号成立. 即设计为 MN=NP 时,折线段赛道 MNP 最长.


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