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新高中数学(苏教版,必修五)同步练习:2.3.3等比数列的前n项和(2)(含答案解析)

2.3.3 课时目标 等比数列的前 n 项和(二) 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.2.能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn=______________=_____;当 q =1 时,Sn=____________. 2.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成________数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比). S偶 (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 =______. S奇 3. 解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题, 关键是在实际问题中建立等比数列模型. 一、填空题 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5= ________. 2.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 2 个伙伴;第 2 天,3 只蜜蜂飞 出去, 各自找回了 2 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去, 第 6 天所有的蜜蜂都 归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂. 3. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为________. 4.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内, 该厂的总产值约为________(计算结果精确到 0.1.参考数据:1.15≈1.61,1.16≈1.77). 5.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则 第 10 次着地时所经过的路程和是________米.(结果保留到个位) 1 6.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的 an 前 5 项和为________. 7.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20=________. 8.在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12=____________. 9.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ,从今年年末开始每年偿还一定金额, 预计五年内还清,则每年应偿还________万元. 10.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为________. 二、解答题 11.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨,该矿区计划 从 2010 年开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划 10 年后终止该矿区的出口,问 2010 年最多出口多 少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35. 12. 某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车, 有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型 公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车? 1 (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82,lg 2 3 =0.30,lg 3=0.48) 能力提升 13.有纯酒精 a L(a>1),从中取出 1 L,再用水加满,然后再取出 1 L,再用水加满,如 此反复进行,则第九次和第十次共倒出纯酒精________L. 14.现在有某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年 便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一 年可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元,两方案使用期都是 10 年,到期后一 次性归还本息,若银行贷款利息均按本息 10%的复利计算,试比较两种方案谁获利更 多?(精确到千元,数据 1.110≈2.594,1.310≈13.79) 1.准确理解等比数列的性质,熟悉它们的推导过程是记忆的关键.用好其性质也会降 低解题的运算量,从而减少错误. 2.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定 a1 与项数 n 的实际 含义,同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题. 2.3.3 等比数列的前 n 项和(二) 答案 知识梳理 a1 1. -qn 1-q a1-anq 1-q na1 2.(1)等比 q 作业设计 1.84 解析 由 S3=a1(1+q+q2)=21 且 a1=3,得 q+q2-6=0.∵q>0,∴q=2.∴a3+a4+a5 =q2(a1+a2+a3)=22· S3=84. 2.729 解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=3,q=3, ∴第 6 天所有蜜蜂归巢后,蜜蜂总数为 a6=36=729(只). 1 3. 3 解析 由已知 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3).∴a2=3a3,∴{an}的公比 a3 1 q= = . a2 3 4.6.7a 解析 注意去年产值为 a, 今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a, 1.12a, 1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1)≈6.7a. 5.300 ?1?8=29939≈300(米). 解析 小球 10 次着地共经过的路程为 100+100+50+…+100× ?2? 64 31 6. 16 解析 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9× 3a1=6a1, 则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1 由 9S3=S6 得 9× 解得 q=2. 1 1 -


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