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2012年上海市普通高中学业水平考试数学试卷

2012 年上海市普通高中学业水平考试数学试卷
一、填空题: (本答题满分 36 分) 1.已知集合 A= {1, 2} , B = {2, a} .若 A U B = {1, 2,3} ,则 a = 2.函数 f ( x ) = 1 ? x 的定义域为 3.满足不等式
2





x < 0 的 x 的取值范围是 . x +1 4.若球的体积为 36π ,则球的半径为 . 5.若直线 2 x + my + 2 = 0 与直线 4 x + 6 y ? 1 = 0 平行,则 m = r r r r r r 6.若向量 a 与 b 的夹角为 60°, a = 2 , b = 1 ,则 a ? b =

. .
o o

7.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c .若 A = 45 , C = 30 ,

c = 2 ,则 a =



8.若无穷等比数列 {an } n ∈ N ? 的首项为 l、公比为
6

(

)

1 ,则该数列各项的和为 3



9.在 ? x +

1? ? . ? 的二项展开式中,常数项的值为 x? ? 2 10.若 1 + 2i ( i 为虚数单位)是关于 x 的方程 x + mx + 3 = 0 的根,则实数 m =




11.执行右图所示算法,输出的结果是

1 2 2 2 ? 2 12.已知圆 On : x + y = 2 ( n ∈ N ) 与圆 C : ( x ? 1) + y = 1 .设圆 On 与 y 轴正半轴的交点为 Rn , n 圆 On 与圆 C 在 x 轴上方的交点为 Qn ,直线 Rn Qn 交 x 轴于点 Pn .当 n 趋向于无穷大时,点 Pn 无限趋近于 定点 P ,定点 P 的横坐标为 .
二、选择题: (本大题满分 36 分)

?a 13.若矩阵 ? ?2 ?

?1 ? ?x ? y = 3 ? 是线性方程组 ? , 的系数矩阵,则( ? ?2 x ? y = 1 b?

) .

A . a = 1,b = ?1 B . a = 1,b = 1 x 14.函数 f ( x ) = 2 + 1 的反函数是( ) . A . f ?1 ( x ) = log 2 x + 1 C . f ?1 ( x ) = log 2 ( x ? 1) A .1 B .2

C . a = ?1,b = 1

D . a = ?1,b = ?1 .

B . f ?1 ( x ) = log x 2 + 1 D . f ?1 ( x ) = log 2 x ? 1 .
) .

15.抛物线 y 2 = 4 x 的焦点到其准线的距离是(

C .4
) .

D .8

16.某校高一、高二、高三分别有学生 400 名、300 名、300 名.为了解他们课外活动情况,用分层抽样 的方法从中抽取 50 名学生进行调查,应抽取高二学生人数为(

A .50 3 17.函数 f ( x ) = x + 2 x ( A .是奇函数且为增函数 C .是奇函数且为减函数
18.已知扇形的圆心角为

B .30
) .

C .20 B .是偶函数且为增函数 D .是偶函数且为减函数
) .

D .15

π
3

,半径为 3,该扇形的面积为(

A . 3π

B . 3π
2

C .π
) .

D.π
2

19.函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x + 1 的最大值是(

A . ?1

B .2

C .3

D.2+ 3

-1-

20.函数 y =

1 的大致图象是( x 2

) .

A. B. C. D. 2 2 x y 21.若椭圆 + = 1 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A 、 B ,则直线 AB 的方程为( ) . 16 4 A . x + 2y ? 4 = 0 B . x ? 2y ? 4 = 0 C . x ? 2y + 4 = 0 D . x + 2y + 4 = 0 22.设 l1 、 l2 是空间两条直线. “ l1 、 l2 没有公共点”是“ l1 、 l2 为异面直线”的( ) . A .充分但非必要条件; B .必要但非充分条件;C .充分必要条件; D .既非充分又非必要条件.
23.从 17 名男同学和 21 名女同学中随机抽取 3 名,组成环保志愿者小组,这个小组中必有男同学的概率 (精确到 0.001)为( ) . A . 0.141 B . 0.335 C . 0.423 D .0.842 24.实数 a 、 b 满足 ab > 0 且 a ≠ b ,由 a 、 b 、

a+b 、 ab 按一定顺序构成的数列( ) . 2 A .可能是等差数列,也可能是等比数列 B .可能是等差数列,但不可能是等比数列 C .不可能是筹差数列,但可能是等比数列 D .不可能是等差数列,也不可能是等比数列
3 ? ? π? π ?? ? 2 ,化简并求值: (1 + tan 2α ) ?cos ? 2α + ? + cos ? 2α ? ? ? . 3 3? 3 ?? ? ? ?

三、解答题: (本大题满分 48 分) 25. (本题满分 7 分)已知 cos α =

26. (本题满分 7 分)如图所示,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 2,表面 积为 32,求异面直线 DA1 与 B1C1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

27. (本题满分 7 分)已知等比数列 {an } n ∈ N ? 满足 a1 = 2 , a4 = 54 ,等差数 列 {bn } n ∈ N ? 满足 b1 = a1 , b3 = a2 .求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 28. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 己知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1 ? 3, 0 、 F2 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若过点 F1 ? 3, 0 的直线 l 与双曲线 C 的左支有两个交点,且点 M ( 0, 1) 到 l 的距离小于 1,求直线 l 的倾斜角的范围.

(

)

(

)

(

)

(

3, 0 ,渐近线方程为 y = ± 2 x .

)

(

)

29. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分.

uuu r uuu r uuu r uuu r g ( x ) 的图像分别交于点 A 、 B ,向量 OA 、 OB 满足 OA ⊥ OB ( O 为坐标原点) .
(1)若 f ( x ) = ? x + 1 , x ∈ (1,∞ ) ,求 g ( x ) 的解析式,并作出其大致图像; (2)若 f ( x ) = ?

设函数 f ( x ) 、 g ( x ) 有相同的定义域 D .对任意 x ∈ D ,过点 ( x, 0 ) 并垂直于 x 轴的直线与 f ( x ) 、

? ?log 2 x ? 6,x ∈ [ 2, 4], 求 g ( x ) 的最大值和最小值. 2 ? x + 6 x + 3 , x ∈ 4 , 6 , ( ] ? ?

-2-



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