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2016-2017学年高中数学人教版必修5课件:3.1 不等关系与不等式_图文

3.1

不等关系与不等式

不等关系与不等式
[提出问题] 在日常生活中,我们经常看到下列标志:

问题 1:你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么?
提示:①最低限速:限制行驶时速 v 不得低于 50 公里; ②限制重量:装载总重量 G 不得超过 10 t; ③限制高度:装载高度 h 不得超过 3.5 m; ④限制宽度:装载宽度 a 不得超过 3 m; ⑤时间范围:t∈[7.5,10].

问题 2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示?
提示:①v≥50;②G≤10;③h≤3.5;④a≤3; ⑤7.5≤t≤10.

[导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”连 接 两个数 或 两个代数式 ,以表示它们之间的不等关系.含有 这些 不等号 的式子叫做不等式.

[化解疑难] 1 . 不 等 关 系 强 调 的 是 关 系 , 可 用 符 号 “>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者 的不等关系,可用“a > b”“a < b”“a≠b”“a≥b”“a≤b” 等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的. 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换

文字语言

大于,高 于,超过

符号语言



大于等于, 小于等于, 小于,低 至少,不低 至多,不多 于,少于 于 于,不超过 < ≥ ≤

两实数大小的比较
[提出问题] 实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实 数,且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 问题 1:怎样判断两个实数 a,b 的大小?
提示:若 a-b 是正数,则 a>b;若 a-b 是负数, 则 a<b;若 a-b 是零,则 a=b.

问题 2: 你能否由问题 1 得出两个实数比较大小的方法?
提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小.

[导入新知] 比较两个实数 a,b 大小的依据

文字语言 如果a>b,那么a-b是正数; 如果a<b,那么a-b是负数; 如果a=b,那么a-b等于0,

符号表示

a>b?a-b>0
a<b?a-b<0 a=b?a-b=0

反之亦然

[化解疑难] 1.上面的“?”表示“等价于”,即可以互相推出. 2. “?”右边的式子反映了实数的运算性质, 左边的式子 反映的是实数的大小顺序,二者结合起来就是实数的运算性质 与大小顺序之间的关系.

不等式的基本性质
[提出问题] 问题 1:若 a>b,b>c,则 a>c,对吗?为什么?
提示:正确.∵a>b,b>c, ∴a-b>0,b-c>0. ∴(a-b)+(b-c)>0,即 a-c>0. ∴a>c.

问题 2:若 a>b,则 a+c>b+c,对吗?为什么?

提示:正确.∵a>b, ∴a-b>0, ∴a+c-b-c>0, 即 a+c>b+c.
问题 3:若 a>b,则 ac>bc,对吗?试举例说明.
提示:不一定正确.若 a=2,b=1,c=2 时正确.c =-2 时不正确.

[导入新知] 不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c. a>b? ? ??a+c>b+d. 推论(同向可加性): c>d ? ? a>b? a>b? ? ? ? ??ac<bc. (4)可乘性: ?ac>bc; c>0 ? c<0 ? ? ? a>b>0? ? ??ac>bd. 推论(同向同正可乘性): c>d>0 ? ? (5)正数乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N*,n≥1). (6)正数开方性:a>b>0? a> b(n∈N*,n≥2). n n

[化解疑难] 1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不 可强化或弱化成立的条件. 2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性 质是否具有可逆性.

用不等式(组)表示不等关系
[例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重

为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿 石至冶炼厂. 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次, 乙型卡车每辆每 天可往返 8 次,写出满足上述所有不等关系的不等式. [解] 设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆.由题意得
? ?x+y≤9, ?10×6x+6×8y≥360, ? ?0≤x≤4, ? ?0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N, ? ?x+y≤9, ?5x+4y≥30, 即? ?0≤x≤4,0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N.

[类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系. (2) 找出体现不等关系的关键词: “ 至少 ”“ 至多”“ 不少 于 ”“ 不多于 ”“ 超过 ”“ 不超过 ” 等.用代数式表示相应各 量,并用关键词连接.特别需要考虑的是 “≤”“≥” 中的 “=”能否取到.

[活学活用] 用不等式(组)表示下列问题中的不等关系: (1)限速 80 km/h 的路标; (2)桥头上限重 10 吨的标志; (3)某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%, 蛋白质的含量 p 不少于 2.3%.

解:(1)设汽车行驶的速度为 v km/h,则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨,则 ω≤10.
? ?f≤2.5%, (3)? ? ?p≥2.3%.

比较两数(式)的大小
[例 2] 比较下列各组中两个代数式的大小:

(1)x2+3 与 2x; (2)已知 a,b 为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大小.

[解 ]

? ? (1)(x2+3)-2x=x2-2x+3=??x-1??2+2≥2>0,

∴x2+3>2x. (2)(a3+ b3)- (a2b+ ab2)= a3+ b3- a2b- ab2= a2(a- b)- b2(a -b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且 a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即 a3+b3>a2b+ab2.

[类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差; (2)变形:对差进行变形; (3)判断差的符号: 结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论. 这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程是作 差→变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提.

[活学活用] 试判断下列各对整式的大小: (1)m2-2m+5 与-2m+5; (2)x3+6x 与 x2+6.

解:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5) =m2-2m+5+2m-5=m2. ∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0, ∴m2-2m+5≥-2m+5.

(2)(x3+6x)-(x2+6) =x3-x2+6x-6 =x2(x-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+6). ∵x2+6>0, ∴当 x>1 时,(x-1)(x2+6)>0, 即 x3+6x>x2+6. 当 x=1 时,(x-1)(x2+6)=0, 即 x3+6x=x2+6. 当 x<1 时,(x-1)(x2+6)<0, 即 x3+6x<x2+6.

不等式的性质
[例 3] e e 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: > . a-c b-d

证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0, ∴a+(-c)>b+(-d)>0, 即 a-c>b-d>0, 1 1 ∴0< < . a-c b-d e e 又∵e<0,∴ > . a-c b-d

[类题通法] 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决 此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并 注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性 质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造 性质与法则.

[活学活用] 已知 a>b,m>n,p>0,求证:n-ap<m-bp.

证明:∵a>b,又 p>0, ∴ap>bp. ∴-ap<-bp. 又∵m>n,即 n<m. ∴n-ap<m-bp.

4.探究利用不等式性质求取值范围

[典例] 已知 1<a<4,2<b<8,试求 2a+3b 与 a-b 的取 值范围.

[解 ]

∵1<a<4,2<b<8,

∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8, ∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故 2a+3b 的取值范围是(8,32), a-b 的取值范围是(-7,2).

【探究一】

利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意: 同向不 程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 【探究二】 要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性. a 在本例条件下,求b的取值范围. 1 1 1 [解] ∵2<b<8,∴ <b< , 8 2 1 1 1 1 a 而 1<a<4,∴1× <a· b<4×2,即8<b<2. 8 ?1 ? a 故b的取值范围是?8,2?. ? ?

等式的两边可以相加(相乘),这种转化不是等价变形,如果在解题过

同向不等式具有可加性与可乘性, 但是不能相减或相除, 应用时,

【探究三】 不等式两边同乘一个正数, 不等号方向不变; 同乘一个负数, 不等号方向改变,求解中,应明确所乘数的正负. a 例:已知-6<a<8,2<b<3,求b的取值范围. [解] ∵-6<a<8,2<b<3,
1 1 1 ∴ <b< . 3 2 a ①当 0≤a<8 时,0≤b<4; a ②当-6<a<0 时,-3<b<0. a 由①②得:-3<b<4.

【探究四】 利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数. 例: 已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3, 求 a+3b 的取值范围. [解] 设 a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b)=(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b,
5 2 解得 λ1= ,λ2=- . 3 3 5 5 5 又- ≤ (a+b)≤ , 3 3 3 2 2 -2≤- (a-2b)≤- , 3 3 11 所以- ≤a+3b≤1. 3 (注:本题可以利用本章第三节内容求解)

[随堂即时演练]
1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 500 元,请瓦 工共需付工资每人 400 元,现有工人工资预算 20 000 元, 设木工 x 人,瓦工 y 人,则工人满足的关系式是 A.5x+4y<200 C.5x+4y=200 B.5x+4y≥200 D.5x+4y≤200 ( )

解析:据题意知,500x+400y≤20 000, 即 5x+4y≤200,故选 D. 答案:D

2.(四川高考)若 a>b>0,c<d<0,则一定有 a b A.d>c a b C.c >d a b B.d<c a b D.c <d

(

)

1 1 解析:∵c <d <0,∴d < c <0, 1 1 ∴-d>-c >0,而 a>b>0, a b a b ∴-d>-c >0,∴d<c ,故选 B. 答案:B

3.比较大小:x2-x________x-2.

解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 因为(x-1)2≥0, 所以(x-1)2+1>0,即 x2-x>x-2. 答案:>

4.若-10<a<b<8,则|a|+b 的取值范围是________.

解析:∵-10<a<8,∴0≤|a|<10, 又-10<b<8,∴-10<|a|+b<18. 答案:(-10,18)

5.(1)已知 x≤1,比较 3x3 与 3x2-x+1 的大小; 1 1 (2)若-1<a<b<0,试比较a,b,a2,b2 的大小.
解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+ (x-1)=(x-1)(3x2+1). ∵x≤1,∴x-1≤0. 又 3x2+1>0, ∴(x-1)(3x2+1)≤0, ∴3x3≤3x2-x+1.

(2)∵-1<a<b<0, ∴-a>-b>0, ∴a2>b2>0. ∵a<b<0, 1 1 ∴a· ab<b· ab<0, 1 1 即 0>a>b, 1 1 ∴a >b >a>b.
2 2

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