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最新北京市朝阳外国语学校高三第一次月考数学(文)试题(含答案)

北京市朝阳外国语学校 20xx-第一次月考
高三年级 数学试卷(文科)

班级___________

姓名____________

成绩______________

一、选择题:(本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
? ? 1. 设 U=R,集合 A ? ?x | x ? 0?, B ? x ? Z | x2 ? 4 ? 0 ,则下列结论正确的是( )

A. ?CU A? ? B ? ?? 2, ?1, 0? C. ?CU A?? B ? ?1, 2?

B. ?CU A? ? B ? (??, 0] D. A ? B ? ?0, ? ??

2.设? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .“ m∥ ? ” 是“? ∥ ? ”的( )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

A.1

2 B.3

()

13

610

C.21

D.987

4. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(



A. 2 ? 5

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

5.等差数列?an? 中, am

?

1 k , ak

?

1 m

(m

?

k)

,则该数列前 mk

项之和为

()

A. mk ?1 2

B. mk 2

C. mk ?1 2

D. mk ?1 2

6. 已知函数 成立,则实数 m 的取值范围是

,若对任意

,都有



).

7. 在平面直角坐标系内,设 M (x1, y1) 、 N (x2, y2 ) 为不同的两点,直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ,

? ? ax1 ? by1 ? c .有四个判断:其中正确的是(

)

ax2 ? by2 ? c

①若? ? 1,则过 M 、 N 两点的直线与直线 l 平行;

②若? ? ?1,则直线 l 经过线段 MN 的中点;

③存在实数? ,使点 N 在直线 l 上;

④若? ? 1,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧,且直线 l 与线段 MN 的延长线相交.

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

8.关于曲线 C : x4 ? y2 ? 1 ,给出下列四个命题:

①曲线 C 关于原点对称; ②曲线 C 关于直线 y ? x 对称 ③曲线 C 围成的面积大于 ?

④曲线 C 围成的面积小于 ? 上述命题中,真命题的序号为(

)

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③

二、填空题:(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填写在题中的横线上.)

9. z ? 1? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ?1 ? _______

10. 已知圆 M : x2 ? y2 ? 4 ,在圆周上随机取一点 P,则 P 到直线 x ? y ? 2 的距离大于 2 2 的概率



11. 在 ?ABC中, a ? 4,b ? 5, c ? 6 则 sin 2A ?



sin C

12.设关于

x,

y

的不等式组

?3x ??( y

? 4 ? 0, ?1)(3x ?

y

?

6)

?

0

表示的平面区域为

D

,已知点 O(0, 0),

A(1,

0) ,

点 M 是 D 上的动点. OA?OM ? ? OM ,则 ? 的取值范围是

.

13. 已知两点 A(?m, 0), B(m, 0) ( m ? 0 ),如果在 直线 3x ? 4y ? 25? 0上存在点 P ,使得

?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是_____.

14. 在棱长为1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P1 , P2 分别为线段 AB , BD1 (不包括端点)上的

动点,且线段 P1 P2 平行于平面 A1ADD1 ,则四面体 P1P2 AB1 的体积的最大值是

.

三、解答题:(本大题共 5 个小题,70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知函数 f (x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x .

22

2

(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求 f (x) 在区间 ?? ? ,0?上的最小值.

16. 某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统
计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中
商品的概率;
(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、 丙、丁中那种商品的可能性最大?













100

217

200

300

85

98

甲乙丙丁
√×√√ ×√×√ √√√× √×√× √××× ×√××

17. 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,等比数列{bn} 满足 a1 ? b1 ? 1 , S3 ? b3 ? 2 , S5 ? b5 ?1 . (Ⅰ)求数列{an} ,{bn} 的通项公式; (Ⅱ)如果数列{bn} 为递增数列,求数列{anbn} 的前 n 项和Tn .

18. 如图 1,在梯形 ABCD 中, AD BC , AD ? DC , BC ? 2AD ,四边形 ABEF 是矩形. 将

矩形 ABEF 沿 AB 折起到四边形 ABE1F1 的位置,使平面 ABE1F1 ? 平面 ABCD ,M 为 AF1 的中点,
如图 2.

(Ⅰ)求证: BE1 ? DC ;

(Ⅱ)求证: DM //平面 BCE1 ;

(Ⅲ)判断直线 CD 与 ME1 的位置关系,并说明理由.

19.

已知函数

f

(

x)

?

1

? ln x2

x

.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的零点及单调区间;

(Ⅱ)求证:曲线

y

?

ln x x

存在斜率为

6

的切线,且切点的纵坐标

y0

?

?1.

20.设F 1

,F

2分别为椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? b ? ?? 的左、右焦点,点P(1, 3
2



在椭圆E

上,且点

P

和F1

关于点C(0, 3 4



对称。

(1)求椭圆E 的方程;

(2)过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A,B两点,过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点Q ,

问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明

理由。

参考答案: 一、ABCCC DBD

二、9. 1? 2 10. 1 4

11. 1

12.

? ???

10 10

? ,1?
?

13. ?5, ???

1
14.
24

三、15.

2

f (x) ?

2 sin x cos x ? 22

2 sin x ? 2 sin x ? 22

2

? ??

1?

cos 2

x

? ??

?

2 sin x ? 2

2 cos x ? 2

2 2

?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

2 2

(Ⅰ) T ? 2? ? 2? ? f (x)最小正周期为 2? ?

(Ⅱ)

x

?

??

?

,0?,

x

?

? 4

?

????

3 4

?

,

? 4

???,

sin?? ?

x

?

? 4

?? ?

?

? ?? ?

1,

2?

2

? ?

? f (x) ? sin?? x ? ? ?? ? ? 4?

2 2

?

? ?? 1 ? ?

2 2

? ,0?
?

故 f ?x? 最小值为 ? 1 ? 2
2

16.(Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时

购买乙和丙的概率可以估计为 200 ? 0.2 . 1000
(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200

位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购
买 3 种商品的概率可以估计为 100 ? 200 ? 0.3 . 1000
(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 ? 0.2 , 1000
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100 ? 200 ? 300 ? 0.6 , 1000
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 ? 0.1, 1000
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

17.(Ⅰ)设等差数列{an} 的公差为 d ,等比数列{bn} 的公比为 q ,则由题意得

? 3 ? 3d ? q2

? ?5

? 10d

?

q

?2 4 ?1



代入得 9d 2 ? 4d ? 5 ? 0 ,解得 d ? 1或 d ? ? 5 (舍). 9

所以 q ? ?2 .

所以 an ? n ; bn ? 2n?1 或 bn ? (?2)n?1.

(Ⅱ)因为数列{bn} 为递增数列,

所以 bn ? 2n?1 .

所以Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ... ? n ? 2n?1 ,

2Tn ?

1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? n ? 2n ,

相减得 ?Tn ? 20 ? 21 ? 22 ? ? 2n?1 ? n ? 2n ,

所以 Tn ?1? (n ?1)2n .

18.证明:(Ⅰ)因为 四边形 ABE1F1 为矩形,

所以 BE1 ? AB .

因为 平面 ABCD ? 平面 ABE1F1 ,且平面 ABCD 平面 ABE1F1 ? AB ,

BE1 ? 平面 ABE1F1 ,

所以 BE1 ? 平面 ABCD . 因为 DC ? 平面 ABCD ,

所以 BE1 ? DC . (Ⅱ)证明:因为 四边形 ABE1F1 为矩形,
所以 AM / /BE1 . 因为 AD / /BC , AD AM ? A, BC BE1 ? B , 所以 平面 ADM / / 平面 BCE1 . 因为 DM ? 平面 ADM , 所以 DM / / 平面 BCE1 . (Ⅲ)直线 CD 与 ME1 相交,理由如下: 取 BC 的中点 P , CE1 的中点 Q ,连接 AP , PQ , QM .

所以

PQ

/

/ BE1,且

PQ

?

1 2

BE1 .

在矩形 ABE1F1 中, M 为 AF1 的中点,

所以

AM

/

/ BE1,且

AM

?

1 2

BE1 .

所以 PQ / / AM ,且 PQ ? AM .

所以 四边形 APQM 为平行四边形.

所以 MQ / / AP , MQ ? AP .
因为 四边形 ABCD 为梯形, P 为 BC 的中点, BC ? 2AD , 所以 AD / /PC , AD ? PC . 所以 四边形 ADCP 为平行四边形. 所以 CD / / AP ,且 CD ? AP . 所以 CD / /MQ 且 CD ? MQ .

所以 CDMQ 是平行四边形.

所以 DM / / CQ ,即 DM / / CE1 . 因为 DM ? CE1 , 所以 四边形 DME1C 是以 DM , CE1 为底边的梯形. 所以 直线 CD 与 ME1 相交. 19.(Ⅰ)令 f (x) ? 0 ,得 x ? e .

故 f (x) 的零点为 e .

f

'(x)

?

(?

1)? x

x2

? (1? ( x2 )2

ln

x)? 2x

?

2 ln x x3

?3



x

?

0 ).

3
令 f '(x) ? 0 ,解得 x ? e2 .

当 x 变化时, f '(x) , f (x) 的变化情况如下表:

3

f (x)

(0, e2 )

3
e2

f '(x)

0

3
(e2 , ??)
?

f (x)





3

3

所以 f (x) 的单调递减区间为 (0, e2 ) ,单调递增区间为 (e2 , ??) .

(Ⅱ)令 g(x)

?

ln x x

.则 g '(x) ?

1 ? x ?1? ln x x
x2

?

1

? ln x2

x

?

f

(x)

.

因为 函数,

f (1) ? 4 ? 4ln 2 ? 4 ? 4? 1 ? 6 , f (e) ? 0 ,且由(Ⅰ)得, f (x) 在 (0, e) 内是减

2

2

所以

存在唯一的

x0

?

(

1 2

,

e)

,使得

g

'(

x0

)

?

f (x0 ) ? 6 .

当 x ?[e, ??) 时, f (x) ? 0 .

所以

曲线 y

?

ln x x

存在以 (x0 , g(x0 )) 为切点,斜率为 6 的切线.

由 g '(x0 )

? 1? ln x0 x02

? 6 得: ln x0

?1? 6x02 .

所以

g(x0 ) ?

ln x0 x0

? 1? 6x02 x0

?

1 x0

? 6x0 .

因为

x0

?

1 2

,

所以

1 x0

?

2 , ?6x0

?

?3 .

所以 y0 ? g(x0 ) ? ?1 .

20.

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