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2010年高考全国新课标1卷理科数学试卷


DB

2010 年高考全国新课标 1 卷理科数学试卷
第I卷 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、 B 相互独立,那么

S ? 4? R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A B) ? P( A ) P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V ?

3 ? R3 4

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 0,1, 2,…n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

其中 R 表示球的半径

一、选择题 (1)复数

3 ? 2i ?( 2 ? 3i
(B) ?i

) (C)12-13 i (D) 12+13 i )

(A) i

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? ( A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2


? y ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 = 5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 )

a4a5a6 =(



(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式 中 x 的系数是( (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

1

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(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有( (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 ) (D)48 种 )

(7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为( A

2 3

B

3 3

C

2 3
? 1 2

D

6 3
) D c<b<a
0

(8)设 a= log3 2,b=In2,c= 5 A a<b<c Bb<c<a
2

,则(

C c<a<b
2

(9)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F 1 p F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为( (A) ) (B)

3 2

6 2

(C)

3

(D)

6


(10)已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的最小值为( (A) ?4 ? 2 ) (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的 体积的最大值为( (A) ) (B)

2 3 3

4 3 3

(C) 2 3 第Ⅱ卷

(D)

8 3 3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (13)不等式 2x2 ? 1 ? x ? 1 的解集是 .

2

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(14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ?

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

. .

(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个 交点,则 a 的取值范围是

(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,

uu r uur a ? b ? a cot A ? b cot B 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ............

B 及其对边 a 已知 VABC 的内角 A ,

b ,

满足 a ? b ? a cot A ? b cot B , 求内角 C .

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... . 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被 录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

3

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(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC,AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

4

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(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 .[来源:学*科*网] an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围

5

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参考答案 一、选择题 1. A 7. D 二、填空题 13. {x | 0 ? x ? 2} 三、解答题 17. 解: 由 a ? b ? a cot A ? b cot B 及正弦定理得 14. ? 2. B 8. C 3. B 9. B 4. A 10. C 5. C 11. D 6. A 12. B

1 7

15. (1, )

5 4

16.

3 3

sin A ? sin B ? cos A ? cos B sin A ? cos A ? cos B ? sin B
从而 sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

? cos B sin

?
4

? sin B cos

?
4

sin( A ? ) ? sin( ? B) 4 4
又0 ? A? B ?? 故 A?

?

?

?
4

?

?
4

?B

A? B ?
所以 C ? 18. 解:

?
2

?
2

(Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用.

6

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D=A+B·C,

P( A) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.25, P( B) ? 2 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.5, P(C ) ? 0.3, P( D) ? P( A ? B C )
= P( A) ? P( B C ) = P( A) ? P( B) P(C ) =0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ) X ~ B(4,0.4) ,其分布列为:

P( X ? 0) ? (1 ? 0.4)4 ? 0.1296,
1 P( X ? 1) ? C4 ? 0.4 ? (1 ? 0.4)3 ? 0.3456, 2 P( X ? 2) ? C4 ? 0.42 ? (1 ? 0.4)2 ? 0.3456, 3 P( X ? 3) ? C4 ? 0.43 ? (1 ? 0.4) ? 0.1536,

P( X ? 4) ? 0.44 ? 0.0256.
期望 EX ? 4 ? 0.4 ? 1.6 . 19. 解法一: (Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G,连接 BG, 由此知 DG ? GC ? BG ? 1, 即 ?ABC 为直角三角形, 故

BC ? BD .
又 SD ? 平面ABCD,故BC ? SD , 所以, BC ? 平面BDS,BC ? DE . 作 BK ? EC, K为垂足,因平面EDC ? 平面SBC , 故 BK ? 平面EDC,BK ? DE, DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直

7

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DE⊥平面 SBC,DE⊥EC,DE⊥SB

SB ? SD2 ? DB2 ? 6
DE ? SD DB 2 ? SB 3

EB ? DB 2 - DE 2 ?
所以,SE=2EB (Ⅱ) 由 SA ?

6 2 6 , SE ? SB - EB ? 3 3

SD2 ? AD2 ? 5, AB ? 1, SE ? 2EB, AB ? SA, 知
2 2

?1 ? ?2 ? AE ? ? SA ? ? ? AB ? ? 1, 又AD=1 . 3 3 ? ? ? ?
故 ?ADE 为等腰三角形. 取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF ? DE , AF ? 连接 FG ,则 FG / / EC, FG ? DE . 所 以, ?AFG 是二面角 A ? DE ? C 的平面角. 连接 AG,A G= 2 , FG ?

AD 2 ? DF 2 ?

6 . 3

DG 2 ? DF 2 ?

6 , 3

AF 2 ? FG 2 ? AG 2 1 cos ?AFG ? ?? , 2 AF FG 2
所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120°. 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz , 设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (Ⅰ) SC ? (0, 2,-2), BC ? (-1,1,0) 设平面 SBC 的法向量为 n=(a,b,c)

8

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由 n ? SC, n ? BC ,得 n SC ? 0, n BC ? 0 故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1,则 b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设 SE ? ? EB ,则 (? ? 0 )

? ? 2 DE ? ( , , ), DC ? (0, 2, 0) 1? ? 1? ? 1? ?
设平面 CDE 的法向量 m=(x,y,z) 由 m ? DE, m ? DC ,得

? ? 2 E( , , ) 1? ? 1? ? 1? ?

m ? D E? 0 , m ? DC ? 0


?x ?y 2z ? ? ? 0, 2 y ? 0 . 1? ? 1? ? 1? ?

令 x ? 2 ,则 m ? (2,0, ?? ) . 由平面 DEC⊥平面 SBC 得 m⊥n, m n ? 0, 2 ? ? ? 0, ? ? 2 故 SE=2EB (Ⅱ)由(Ⅰ)知 E ( , , ) ,取 DE 的中点 F,则 F ( , , ), FA ? ( , ? , ? ) , 故 FA DE ? 0 ,由此得 FA ? DE 又 EC ? (?

2 2 2 3 3 3

1 1 1 3 3 3

2 3

1 3

1 3

2 4 2 , , ? ) ,故 EC DE ? 0 ,由此得 EC ? DE , 3 3 3

向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角 于是

cos( FA, EC ) ?

FA EC 1 ?? 2 | FA || EC |

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120 20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? , x ?

xf ?( x) ? x ln x ? 1 ,

9

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题设 xf ?( x) ? x2 ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a . 令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x ) ?

1 ?1 x

1 , g ' ( x)>0 ;当 x≥1 时, g ' ( x)≤0 , x ? 1 是 g ( x) 的最大值点, 当 0<x<

g ( x)≤g (1) ? ?1
综上, a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x)≤g (1) ? ?1 即 ln x ? x ? 1≤0 .

1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ? x ln x ? (ln x ? x ? 1)≤0 ; 当 0<x<
当 x≥1 时,

f ( x) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1)
1 ? 1) x 1 1 ? ln x ? x(ln ? ? 1) x x ? ln x ? x(ln x ?
≥0
所以 ( x ? 1) f ( x)≥0 21. 解: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (Ⅰ)将 x ? my ? 1 代入 y ? 4 x 并整理得
2

y 2 ? 4my ? 4 ? 0
从而 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4 直线 BD 的方程为

y ? y2 ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1

即 y ? y2 ?

y2 4 (x ? 2 ) y2 ? y1 4

10

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令 y ? 0 ,得 x ?

y1 y2 ?1 4

所以点 F(1,0)在直线 BD 上 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

x1 ? x2 ? (my1 ?1) ? (my2 ?1) ? 4m2 ? 2
x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? 1.
因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) , uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2

故 解得

8 ? 4m 2 ? m?? 4 3

8 , 9

所以 l 的方程为

3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0
又由(Ⅰ)知 故直线 BD 的斜率

y2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3

4 3 , ?? y2 ? y1 7

因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ? BKD 的平分线,故可设圆心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的 距离分别为

3 t ? 1 3 t ?1 , . 5 4



3 t ? 1 3 t ?1 1 ? 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) , 9 5 4
圆 M 的半径 r ?



3 t ?1 2 ? . 5 3
1 9
2 2

所以圆 M 的方程为 ( x ? ) ? y ? 22. 解:

4 . 9

11

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(Ⅰ) an ?1 ? 2 ?

a ?2 5 1 , ? ?2? n 2 an 2an

2an 1 4 ? ? ? 2,即bn?1 ? 4bn ? 2 an?1 ? 2 an ? 2 an ? 2 bn?1 ? 2 2 1 ? 4(bn ? ), 又a1 ? 1, 故b1 ? ? ?1 3 3 a1 ? 2
1 ,公比为 4 的等比数列, 3

所以 {bn ? } 是首项为 ?

2 3 2 1 bn ? ? ? ? 4n ?1 3 3 1 2 bn ? ? ? 4n ?1 ? 3 3

(Ⅱ) a1 ? 1, a2 ? c ?1,由a2 ? a1得c ? 2. 用数学归纳法证明:当 c ? 2 时 an ? an?1 . (ⅰ)当 n ? 1 时, a2 ? c ?

1 ? a1 ,命题成立; a1

(ⅱ)设当 n=k 时, ak ? ak ?1 ,则当 n=k+1 时,

ak ? 2 ? c ?

1 1 ? c ? ? ak ?1 ak ?1 ak

故由(ⅰ) (ⅱ)知,当 c>2 时 an ? an?1 当 c>2 时,令 a ? 当2? c ? 当c ?

c ? c2 ? 4 1 1 ,由 an ? ? an?1 ? ? c 得 an ? a an an 2

10 时, an ? a ? 3 3

10 时, a ? 3 ,且 1 ? an ? a 3

于是 a ? an ?1 ?

1 1 (a ? an ) ? (a ? an ) an a 3

1 (a ? 1) 3n a ?1 当 n ? log 3 时, a ? an?1 ? a ? 3, an?1 ? 3 a ?3 a ? an ?1 ?

12

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因此 c ?

10 不符合要求 3 10 ] 3

所以 c 的取值范围是 (2,

13


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