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2018高考数学大一轮复习第十二章推理与证明算法复数课时达标检测六十一直接证明与间接证明数学归纳法理


课时达标检测(六十一)

直接证明与间接证明、数学归纳法

[练基础小题——强化运算能力] 1.用反证法证明命题:“若 a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a,

b,c,d 中至少有一个负数”的假设为(
A.a,b,c,d 中至少有一个正数 B.a,b,c,d 全都为正数 C.a,b,c,d 全都为非负数 D.a,b,c,d 中至多有一个负数

)

解析:选 C 用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“a,b,c,d 中至少 有一个负数”的否定是“a,b,c,d 全都为非负数”. 2.用数学归纳法证明 2 >2n+1,n 的第一个取值应是( A.1 B.2 C.3
1

n

)

D.4
n

解析:选 C ∵n=1 时,2 =2,2×1+1=3,2 >2n+1 不成立;

n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立.
∴n 的第一个取值应是 3. 1 1 1 1 3.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 1 2 解析:选 D 由 f(n)可知,共有 n -n+1 项,且 n=2 时,f(2)= + + . 2 3 4 1 1 1 4.设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+ ,b+ ,c+ ( )

b

c

a

)

A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 解析:选 D ∵a>0,b>0,c>0,

B.都小于 2 D.至少有一个不小于 2

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴?a+ ?+?b+ ?+?c+ ?=?a+ ?+?b+ ?+ ?
b? ? c? ? a? ? a? ? b?
1

?c+1?≥6,当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个 ? c? ? ?
不小于 2. 5.设 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a,b,c 的大小顺序是( A.a>b>c C.c>a>b 解析: 选 A ∵a= 3- 2= 1 B.b>c>a D.a>c>b 1 1 , b= 6- 5= , c= 7- 6= , 3+ 2 6+ 5 7+ 6 )

且 7+ 6> 6+ 5> 3+ 2>0,∴a>b>c.

[练常考题点——检验高考能力] 一、选择题

?1?x ?a+b?,B=f( ab),C=f? 2ab ?,则 A, 1.已知函数 f(x)=? ? ,a,b 为正实数,A=f? ? ?a+b? 2 ? ? ? 2 ? ? ?
B,C 的大小关系为(
A.A≤B≤C C.B≤C≤A 解析:选 A 因为 ≤f( ab)≤f? ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b
2

≥ ab≥

2ab ?1?x ?a+b? ,又 f(x)=? ? 在 R 上是单调减函数,故 f? ? 2 a+b ? ? ? 2 ?

? 2ab ?,即 A≤B≤C. ? ?a+b?
) B.恒等于零 D.无法确定正负

2. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x) 是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+

f(x2)<0.
3.已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a ,c-b=4-4a+a ,则 a,b,c 的大小关 系是( ) B.a>c≥b D.a>c>b
2 2 2 2 2

A.c≥b>a C.c>b>a

解析:选 A ∵c-b=4-4a+a =(2-a) ≥0,∴c≥b.已知两式作差得 2b=2+2a ,

? 1?2 3 2 2 2 2 即 b=1+a .∵1+a -a=?a- ? + >0,∴1+a >a.∴b=1+a >a.∴c≥b>a,故选 A. ? 2? 4

2

4.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( A.n+1 C. B.2n D.n +n+1
2

)

n2+n+2
2

解析:选 C 1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2) =4 个区域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;?;n 条直线最多可将 平面分成 1+(1+2+3+?+n)=1+
a

n?n+1? n2+n+2
2 = 2

个区域. )

6 1 2 5 5.已知 a,b∈R,m= a+1 ,n= b -b+ ,则下列结论正确的是( 36 +1 3 6 A.m≤n C.m>n 解析: 选A B.m≥n D.m<n

m=

6

a

36

a+1

a 6 1 1 1 1 5 1? 3? 1 = 2a+2 = 2 a -a≤ = , n= b2-b+ = ?b- ?2+ 2 +1 6 +1 6 6 +6 3 6 3? 2? 12 2 6 12

1 ≥ ,所以 n≥m,故选 A. 12 6.设函数 f(x)= e +x-a(a∈R,e 为自然对数的底数).若存在 b∈[0,1]使 f(f(b)) =b 成立,则 a 的取值范围是( A.[1,e] C.[e,1+e]
x x

) B.[1,1+e] D.[0,1]

解析:选 A 易知 f(x)= e +x-a在定义域内是增函数,由 f(f(b))=b,猜想 f(b) =b. 反证法:若 f(b)>b,则 f(f(b))>f(b)>b,与题意不符, 若 f(b)<b,则 f(f(b))<f(b)<b,与题意也不符, 故 f(b)=b, 即 f(x)=x 在[0,1]上有解. 所以 e +x-a=x,a=e -x +x, 令 g(x)=e -x +x,g′(x)=e -2x+1=(e +1)-2x, 当 x∈[0,1]时,e +1≥2,2x≤2, 所以 g′(x)≥0, 所以 g(x)在[0,1]上是增函数, 所以 g(0)≤g(x)≤g(1), 所以 1≤g(x)≤e, 即 1≤a≤e,故选 A. 二、填空题
3
x x
2

x

x

2

x

x

7.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 础上加上的项为______________.

2

n4+ n2
2

,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基

解析:当 n=k 时左端为 1+2+3+?+k+(k+1)+(k+2)+?+k , 则当 n=k+1 时,左端为 1+2+3+?+k +(k +1)+(k +2)+?+(k+1) , 故增加的项为(k +1)+(k +2)+?+(k+1) . 答案:(k +1)+(k +2)+?+(k+1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

8.已知点 An(n,an)为函数 y= x +1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N ,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 解析:由条件得 cn=an-bn= n +1-n= ∴cn 随 n 的增大而减小,∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 9.对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 的解集为(-1,2),解关于 x 的不 等式 ax -bx+c>0”,给出如下一种解法: 解:由 ax +bx+c>0 的解集为(-1,2),得 a(-x) +b(-x)+c>0 的解集为(-2,1), 即关于 x 的不等式 ax -bx+c>0 的解集为(-2,1). 参考上述解法, 若关于 x 的不等式 1? ?1 ? x+b ? <0 的解集为?-1,- ?∪? ,1?, 则关于 3? ?2 ? x+a x+c ?
2 2 2 2 2 2 *

1
2

n +1+n



k



kx bx+1 x 的不等式 + <0 的解集为________. ax+1 cx+1 b+ x kx bx+1 k 解析:不等式 + <0,可化为 + <0, ax+1 cx+1 1 1 a+ c+ x x
1 1 1 1 故得-1< <- 或 < <1, x 3 2 x 解得-3<x<-1 或 1<x<2, 故 1

kx bx+1 + <0 的解集为(-3,-1)∪(1,2). ax+1 cx+1

答案:(-3,-1)∪(1,2) 10.若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c, 使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 解析:依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 所以-2p +p+1>0 或-2p -3p+9>0,
2 2 2 2

4

即 2p -p-1<0 或 2p +3p-9<0, 1 3 得- <p<1 或-3<p< , 2 2 3? ? 故满足条件的 p 的取值范围是?-3, ?. 2 ? ? 3? ? 答案:?-3, ? 2? ? 三、解答题 11.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)= 0,且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;
2

2

2

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 解:(1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, 又 x1x2= , 1?1 ? ∴x2= ? ≠c?,

c a

a?a

?

1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,

a

a

由 0<x<c 时,f(x)>0,

?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾, a a ? ? ? ?
1 ∴ ≥c,

a

1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

a

(3)证明:由 f(c)=0,得 ac +bc+c=0, 即 ac+b+1=0,

2

5

∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为

b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < . 2a a
又 a>0,∴b>-2,∴-2<b<-1. 1 1 1 1 3 1 * 12.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N . 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. 3 1 解:(1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)= - 2=1,所以 f(1)=g(1); 2 2×1 1 9 3 1 11 当 n=2 时,f(2)=1+ 3= ,g(2)= - ,所以 f(2)<g(2); 2= 2 8 2 2×2 8 1 1 251 3 1 13 当 n=3 时,f(3)=1+ 3+ 3= ,g(3)= - ,所以 f(3)<g(3). 2= 2 3 216 2 2×3 9 (2)由(1)猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当 n=1 时,不等式显然成立. ②假设当 n=k(k∈N )时不等式成立. 1 1 1 1 3 1 即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2, 2 3 4 k 2 2k 那么,当 n=k+1 时,
*

f(k+1)=f(k)+

1 3 1 1 3< - 2+ 3, ?k+1? 2 2k ?k+1?

1 1 ? 1 2- ? 因为 3? 2-? 2?k+1? ?2k ?k+1? ? =

k+3 1 -3k-1 3- 2= 3 2<0, 2?k+1? 2k 2?k+1? k

3 1 所以 f(k+1)< - 2=g(k+1). 2 2?k+1? 由①②可知,对一切 n∈N ,都有 f(n)≤g(n)成立.
*

6


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