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2016


1.1.3

导数的几何意义

1.理解导数的几何意义.(重点) 2.能应用导数的几何意义解决相关问题.(难点) 3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线,并会求其方程.(易混点)

[基础?初探] 教材整理 导数的几何意义 阅读教材 P11“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.割线的斜率 已知 y=f(x)图象上两点 A(x0,f(x0)),B(x0+Δ x,f(x0+Δ x)),过 A,B 两点割线的 斜率是________________,即曲线割线的斜率就是________________. 2.导数的几何意义 曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数 f′(x0)的几何意义为________________. Δ y f?x0+Δ x?-f?x0? 【答案】 1. = 函数的平均变化率 2.曲线 y=f(x)在点 Δx Δx (x0,f(x0))处的切线的斜率

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.( (2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( (3)函数 f(x)=0 没有导函数.( )
1

) )

【解析】 (1)错.导函数的定义域和原函数的定义域可能不同,如 f(x)=x2,其定义 域为[0,+∞),而其导函数 f′(x)= 1 2 x ,其定义域为(0,+∞).

1

(2)错.直线与曲线相切时,直线与曲线的交点可能有多个. (3)错.函数 f(x)=0 为常数函数,其导数 f′(x)=0,并不是没有导数. 【答案】 (1)? (2)? (3)? )

2. 已知函数 y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线 3x-y-2=0 平行, 则 f′(2)等于(

【导学号:05410036】 A.1 C.-3 【解析】 由题意知 f′(2)=3. 【答案】 D 3.已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f′(x0)=1,则函数 f(x)在 x0 处切线的倾斜角为 __________. 【解析】 设切线的倾斜角为 α ,则 tan α =f′(x0)=1,又 α ∈[0°,180°), ∴α =45°. 【答案】 45° [质疑?手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: 【导学号:05410004】 B.-1 D.3

[小组合作型] 求曲线在某点处切线的方程 已知曲线 C:y=x . (1)求曲线 C 在横坐标为 x=1 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 【精彩点拨】 (1)先求切点坐标,再求 y′,最后利用导数的几何意义写出切线方程. (2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解. 【自主解答】 (1)将 x=1 代入曲线 C 的方程得 y=1,∴切点 P(1,1).
3

2

y′=lim
Δ x→0

Δy Δx
3

?1+Δ x? -1 = lim Δx
Δ x→0

= lim [3+3Δ x+Δ x ]=3.
Δ x→0

2

∴k=3. ∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. (2)由?
? ?y=3x-2, ?y=x , ?
3

解得?

?x=1, ? ? ?y=1

或?

?x=-2, ? ? ?y=-8,

从而求得公共点为 P(1,1)或 M(-2,-8), 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外,还有另一公共点(-2,-8).

1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); (2)写出切线方程,即 y-y0=f′(x0)?(x-x0). π 特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为 ,此时所求的切线平行于 y 轴,所以直 2 线的切线方程为 x=x0. 2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.

[再练一题] 1.若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是-1,那么过点 A 的切线方程是__________. 【解析】 切线的斜率为 k=-1. ∴点 A(1,2)处的切线方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0. 【答案】 x+y-3=0 求切点坐标 已知抛物线 y=2x +1.求: (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45°?
3
2

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? 【精彩点拨】 → 求出点的坐标 【自主解答】 设切点的坐标为(x0,y0),则 Δ y=2(x0+Δ x) +1-2x0-1=4x0?Δ x+2(Δ x) . ∴ Δy =4x0+2Δ x. Δx
Δ x→0 2 2 2

设点的坐标 → 求出在该点处的导数 → 利用条件建立方程

∴f′(x0)=lim (4x0+2Δ x)=4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 1 ?1 9? 即 f′(x0)=4x0=1,得 x0= ,该点为? , ?. 4 ?4 8? (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0, ∴斜率为 4, 即 f′(x0)=4x0=4,得 x0=1,该点为(1,3).

1.本题关键是由条件得到直线的斜率,从而得知函数在某点处的导数,进而求出切点 的横坐标. 2.根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0,y0); (2)求导函数 f′(x); (3)求切线的斜率 f′(x0); (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0; (5)点(x0,y0)在曲线 f(x)上,将(x0,y0)代入求 y0,得切点坐标.

[再练一题] 2.上例中条件不变,求抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x+8y-3=0? 【解】 ∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直, ∴抛物线的切线的斜率为 8. 由上例知 f′(x0)=4x0=8,∴x0=2,y0=9. 即所求点的坐标为(2,9). [探究共研型]

4

求曲线过某点的切线方程 探究 1 若函数 y=f(x)在点 x0 处的导数存在,则曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的 切线方程是什么? 【提示】 根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)?(x-x0). 探究 2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点. 【提示】 不一定,切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限位置,在其他地方 可能还有一个或多个公共点. 探究 3 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系. 【提示】 区别:函数在某点处的导数是一个定值,导函数是一个函数. 联系:函数 f(x)在 x0 处的导数就是导函数 f′(x)在 x=x0 时的函数值. 1 已知曲线 f(x)= .

x

(1)求曲线过点 A(1,0)的切线方程; 1 (2)求满足斜率为- 的曲线的切线方程. 3 【精彩点拨】 (1)点 A 不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把 A(1,0)代入求出 切点坐标,进而求出切线方程. 1 (2)设出切点坐标,由该点斜率为- ,求出切点,进而求出切线方程. 3 1

x+Δ x x 【自主解答】 (1)f′(x)= lim Δx
Δ x→0



1

= lim
Δ x→0

-1 1 =- 2. ?x+Δ x?x x

1? ? 设过点 A(1,0)的切线的切点为 P?x0, ?,① x

?

0

?

1 1 则 f′(x0)=- 2,即该切线的斜率为 k=- 2.

x0

x0

1? ? 因为点 A(1,0),P?x0, ?在切线上, x

?

0

?

1

x0 1 所以 =- 2,② x0-1 x0
1 解得 x0= .故切线的斜率 k=-4. 2 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y=-4(x-1), 即 4x+y-4=0.
5

-0

1 ? 1? (2)设斜率为- 的切线的切点为 Q?a, ?, 3 ? a? 1 1 由(1)知,k=f′(a)=- 2=- ,得 a=± 3. a 3 所以切点坐标为? 3,

? ?

3? ? 3? ?或?- 3,- ?. 3? ? 3?

1 故满足斜率为- 的曲线的切线方程为 3

y-

3 1 3 1 =- (x- 3)或 y+ =- (x+ 3), 3 3 3 3

即 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0.

1.求曲线过已知点的切线方程的步骤

2.若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,根据点斜式 写出切线方程.

[再练一题] 3.求曲线 y=f(x)=x +1 过点 P(1,0)的切线方程. 【解】 设切点为 Q(a,a +1),
2 2

f?a+Δ x?-f?a? ?a+Δ x?2+1-?a2+1? = = Δx Δx
2

?a +1?-0 2a+Δ x, 当 Δ x 趋于 0 时, (2a+Δ x)趋于 2a, 所以所求切线的斜率为 2a.因此, a-1 =2a, 解得 a=1± 2, 所求的切线方程为 y=(2+2 2)x-(2+2 2)或 y=(2-2 2)x-(2 -2 2).
6

[构建?体系]

1.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x-y+1=0,则( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 B.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在

)

【解析】 由切线方程可以看出其斜率是 2,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在 该点处的导数. 【答案】 A 1 2 2.曲线 y= x -2 在点 x=1 处的切线的倾斜角为( 2 A.30° C.135° 1 2 【解析】 ∵y= x -2, 2 1 ?1 2 ? 2 ?x+Δ x? -2-? x -2? 2 ?2 ? ∴y′=lim Δx
Δ x→0

) 【导学号:05410005】

B.45° D.165°

1 2 ?Δ x? +x?Δ x 2 = lim Δx
Δ x→0

? 1 = lim ?x+ Δ ? 2
Δ x→0

x? ?

?

=x. ∴切线的斜率为 1,倾斜角为 45°. 【答案】 B 2 3.曲线 f(x)= 在点(-2,-1)处的切线方程为________.

x

【解析】 f′(-2)=lim
Δ x→0

f?-2+Δ x?-f?-2? Δx

7

2 +1 -2+Δ x = lim Δx
Δ x→0

= lim
Δ x→0

1 1 =- , -2+Δ x 2

1 ∴切线方程为 y+1=- (x+2),即 x+2y+4=0. 2 【答案】 x+2y+4=0 4. 已知二次函数 y=f(x)的图象如图 1?1?2 所示, 则 y=f(x)在 A, B 两点处的导数 f′(a) 与 f′(b)的大小关系为:

f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”).

图 1?1?2 【解析】 f′(a)与 f′(b)分别表示函数图象在点 A,B 处的切线斜率, 由图象可得 f′(a)>f′(b). 【答案】 > 5.已知直线 y=4x+a 和曲线 y=x -2x +3 相切,求切点坐标及 a 的值. 【解】 设直线 l 与曲线相切于点 P(x0,y0),则 ?x+Δ x? -2?x+Δ x? +3-?x -2x +3? f′(x)=lim Δx
Δ x→0 3 2 3 2 3 2

=3x -4x. 由导数的几何意义,得 k=f′(x0)=3x0-4x0=4, 2 解得 x0=- 或 x0=2, 3
2

2

? 2 49? ∴切点坐标为?- , ?或(2,3). ? 3 27?
49 ? 2 49? ? 2? 当切点为?- , ?时,有 =4??- ?+a, 3 27 27 ? ? ? 3? 121 ∴a= . 27 当切点为(2,3)时,有 3=4?2+a, ∴a=-5,

8

? 2 49? 因此切点坐标为?- , ?或(2,3), ? 3 27?
a 的值为
121 或-5. 27

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x-y+2=0,则 f′(1)= ( A.4 C.-2 B.-4 D.2 )

【解析】 由导数的几何意义知 f′(1)=2,故选 D. 【答案】 D 2. (2016?衡水高二检测)若曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为 2x+y+1=0, 则( ) A.f′(x0)>0 C.f′(x0)<0 【解析】 切线的斜率为 k=-2, 由导数的几何意义知 f′(x0)=-2<0,故选 C. 【答案】 C
9

B.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在

3.已知曲线 y=x 在点 P 处的切线的斜率 k=3,则点 P 的坐标是(

3

)

【导学号:05410006】 A.(1,1) C.(1,1)或(-1,-1) 【解析】 因为 y=x ,所以 y′=lim
Δ x→0 3

B.(-1,1) D.(2,8)或(-2,-8) ?x+Δ x? -x 2 2 = lim [3x +3x?Δ x+(Δ x) ] Δx Δ x→0
3 3

=3x . 由题意,知切线斜率 k=3,令 3x =3,得 x=1 或 x=-1. 当 x=1 时,y=1;当 x=-1 时,y=-1. 故点 P 的坐标是(1,1)或(-1,-1),故选 C. 【答案】 C 4.(2016?银川高二检测)若曲线 f(x)=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则
2 2

2

l 的方程为(

) B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

A.4x-y-4=0 C.4x-y+3=0 【解析】 设切点为(x0,y0),

?x+Δ x? -x ∵f′(x)=lim = lim (2x+Δ x)=2x. Δx Δ x→0 Δ x→0 由题意可知,切线斜率 k=4,即 f′(x0)=2x0=4, ∴x0=2,∴切点坐标为(2,4),∴切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0,故选 A. 【答案】 A 1 ?1 ? 5.曲线 y= 在点? ,2?处的切线的斜率为( x ?2 ? A.2 C.3 B.-4 D. 1 4 )

2

2

1 1 - x+Δ x x Δy -1 1 【解】 因为 y′=lim = lim = lim 2 =- 2, Δx x Δ x→0 Δ x Δ x→0 Δ x→0 x +x?Δ x

?1 ? 所以曲线在点? ,2?处的切线斜率为 ?2 ?
k=-4,故选 B.
【答案】 B 二、填空题 6 .已知函数 y = f(x) 的图象如图 1?1?3 所示,则函数 y = f′(x) 的图象可能是
10

__________(填序号).

图 1?1?3

【解析】 由 y=f(x)的图象及导数的几何意义可知,当 x<0 时 f′(x)>0,当 x=0 时

f′(x)=0,当 x>0 时 f′(x)<0,故②符合.
【答案】 ② 7.曲线 y=x -2x+3 在点 A(-1,6)处的切线方程是 __________. 【解析】
2 2

因 为 y = x - 2x + 3 , 切 点 为 点 A( - 1,6) , 所 以 斜 率 k = lim
Δ x→0

2

?-1+Δ x? -2?-1+Δ x?+3-?1+2+3? Δx = lim (Δ x-4)=-4,
Δ x→0

所以切线方程为 y-6=-4(x+1),即 4x+y-2=0. 【答案】 4x+y-2=0 8. 若曲线 y=x +2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x+2y=0, 则点 P 的坐标是__________. 【解析】 设 P(x0,y0),则
2

y′=lim
Δ x→0

?x0+Δ x? +2?x0+Δ x?-x0-2x0 Δx

2

2

= lim (2x0+2+Δ x)=2x0+2.
Δ x→0

因为点 P 处的切线垂直于直线 x+2y=0, 所以点 P 处的切线的斜率为 2, 所以 2x0+2=2,解得 x0=0,即点 P 的坐标是(0,0). 【答案】 (0,0) 三、解答题 9.(2016?安顺高二检测)已知抛物线 y=f(x)=x +3 与直线 y=2x+2 相交,求它们 交点处抛物线的切线方程.
2

11

【解】

?y=x +3, ? 由方程组? ?y=2x+2, ?

2

得 x -2x+1=0,
2 2

2

?Δ x+1? +3-?1 +3? 解得 x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4),又 =Δ x+2. Δx 当 Δ x 趋于 0 时,Δ x+2 趋于 2,所以在点(1,4)处的切线斜率 k=2, 所以切线方程为 y-4=2(x-1), 即 y=2x+2. 10.试求过点 P(3,5)且与曲线 y=x 相切的直线方程. 【解】 y′=lim
Δ x→0 2

Δy ?x+Δ x? -x =lim =2x. Δ x Δ x→0 Δx

2

2

设所求切线的切点为 A(x0,y0). ∵点 A 在曲线 y=x 上, ∴y0=x0, 又∵A 是切点, ∴过点 A 的切线的斜率 k=2x0, ∵所求切线过 P(3,5)和 A(x0,y0)两点, ∴其斜率为 ∴2x0=
2 2

y0-5 x2 0-5 = . x0-3 x0-3

x2 0-5 , x0-3

解得 x0=1 或 x0=5. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为 k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为 k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条,方程分别为 y-1=2(x-1)和 y-25=10(x-5),即 y=2x-1 和 y=10x-25. [能力提升] 1.直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值等于( A.2 C.1 B.-1 D.-2 1 ?a+b=3. ? ? 2 2 依 导 数 定 义 可 求 得 , y′ = 3x + a , 则 ?3?1 +a=k, ? ?k+1=3,
3 3

)

【解析】

由此解得

12

a=-1, ? ? ?b=3, ? ?k=2,

所以 2a+b=1,选 C.

【答案】 C 2.(2016?天津高二检测)设 f(x)为可导函数,且满足 lim
Δ x→0

f?1?-f?1-x? =-1, 2x

则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( A.2 C.1 【解析】 ∵lim
Δ x→0

) 【导学号:05410007】

B.-1 D.-2

f?1?-f?1-x? 2x

1 f?1-x?-f?1? = lim =-1, 2Δ x→0 -x ∴ lim
Δ x→0

f?1-x?-f?1? =-2,即 f′(1)=-2. -x

由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率 k=f′(1)=-2,故选 D. 【答案】 D 3.(2016?郑州高二检测)已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a 的值为 ________. 【解析】 设切点为 P(x0,y0). 则 f′(x0)=lim
Δ x→0 2

f?x0+Δ x?-f?x0? Δx

a?x0+Δ x?2-ax2 0 = lim Δ x Δ x→0
= lim (2ax0+aΔ x)=2ax0,即 2ax0=1.
Δ x→0

又 y0=ax0,x0-y0-1=0, 2ax0=1, ? ? 2 联立以上三式,得?y0=ax0, ? ?x0-y0-1=0, 1 解得 a= . 4 【答案】 1 4
2 3

2

4.已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x +bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们 的交点(1,c)处具有公切线,求 a,b 的值.

13

【解】 因为 f′(x)=lim
Δ x→0

Δy Δx

= lim
Δ x→0

a?x+Δ x?2+1-?ax2+1? =2ax, Δx

所以 f′(1)=2a,即切线斜率 k1=2a. 因为 g′(x)=lim
Δ x→0

Δy Δx
3 3

= lim
Δ x→0

?x+Δ x? +b?x+Δ x?-?x +bx? 2 =3x +b, Δx

所以 g′(1)=3+b,即切线的斜率 k2=3+b. 因为在交点(1,c)处有公切线, 所以 2a=3+b.① 又因为 c=a+1,c=1+b, 所以 a+1=1+b,即 a=b, 代入①式,得?
? ?a=3, ?b=3. ?

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