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【新课标人教A版必修五】高中数学模块过关专题讲座练习:第六讲 等比数列


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必修五第六讲
一、知识回顾
新知 1: 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第

等比数列
项起, 一项与它的 一项的 常数, a 表示 (q≠0)即: n = , an ?1 等于

那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 (q≠0) 2. 等比数列的通项公式: ; a2 ? a1 a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1 ∴ an ? an?1q ? a1 ? 等式成立的条件

, 通常用字母

; a4 ? a3q ? (a1q2 )q ? a1



… …

3. 等比数列中任意两项 a n 与 am 的关系是: 。 新知 2:等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的等比中项. 即 G= (a,b 同号). 试试:数 4 和 6 的等比中项是 . 新知 3:等比数列的性质 1. 数列 {| an |} ,{an 2 } ,{can } (c ? 0) ,{anm } (m ? N * ) ,{an k } 等,也为等比数列,公比分别为 | q |, q2 , q, qm , qk . a 若数列 {bn } 为等比数列,则 ? an ? bn ?, { n } 也等比. bn 2. 若 m ? N * ,则 an ? am ? q n?m . 当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式. 3. 在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am an ? a p ak , m, n, p, q ? N 。 4. 若 {an } 各项为正,c>0,则 {log c an} 是一个以 logc a1 为首项, log c q 为公差的等差数列. 若 {bn } 是以 d 为公差的等差数列,则 {cbn } 是以 cb1 为首项, cd 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列.
?

二、典型例题
例 1 (1) 一个等比数列的第 9 项是

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项; 9 3 (2)一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项.

变式:一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 q ? ( A.
3 2

).

B.

3 5 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an ? a1qn?1 . 例 2 在等比数列{ a n }中,已知 a4 ? a7 ? ?512,且 a3 ? a8 ? 124 ,公比为整数,求 a10 .

变式 1:在等比数列{ a n }中,已知 a7 ? a12 ? 5 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ?
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.
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变式 2:在 7 和 56 之间插入 a 、 b ,使 7、 a 、 b 、56 成等比数列,若插入 c 、 d ,使 7、 c 、 d 、56 成等 差数列,求 a + b + c + d 的值.

三、课堂练习

1. 在 ?an ? 为等比数列, a1 ? 12 , a2 ? 24 ,则 a3 ? ( A. 36 B. 48 C. 60 D. 72

).

9 1 2 2. 等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,这个数列的项数 n=( 3 8 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

).

3. 已知数列 a,a(1-a) a( ? a 2 ,…是等比数列,则实数 a 的取值范围是( , 1 ) A. a≠1 B. a≠0 且 a≠1 C. a≠0 D. a≠0 或 a≠1
2a1 ? a2 = 2a3 ? a4

).

4. 设 a1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列,公比为 2,则

.

5. 在等比数列 {an } 中, 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q=

.

6. 在 ?an ? 为等比数列中, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a52 ? 16 ,那么 a3 ? a5 ? ( A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8

).

7. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1) =( ). 9 A.8 B.-8 C.±8 D. 8 8. 若正数 a,b,c 依次成公比大于 1 的等比数列,则当 x>1 时, log a x , log b x , log c x ( A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列 9. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 . 10. 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? 9 ,
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则 log3 a1 + log3 a 2 +…+ log3 a10 ? .

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四、总结提升
1.等比数列定义; 3. 等比中项定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项 a n 与 am 的关系. 4. 等比数列的性质.

五、课后作业
1.在等比数列 {an } 中, ⑴ a4 ? 27 ,q=-3,求 a 7 ; ⑵ a2 ? 18 , a4 ? 8 ,求 a1 和 q;

⑶ a4 ? 4 , a7 ? 6 ,求 a 9 ;

⑷ a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,求 a 3 .

2. 在 ?an ? 为等比数列中, a1 ?a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 的值.

3. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d≠0,且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列,求

a1 ? a3 ? a9 . a2 ? a4 ? a10

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