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新课标高中数学人教A必修1第3章导学案


§ 3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标
1. 结合二次函数的图象, 判断一元二次方程根的存 在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的 联系; 2. 掌握零点存在的判定定理.

新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实 数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函 数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标, 三者有什 么关系?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P88,找出疑惑之处) 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = . 当? 0,方程有两根,为 x1,2 ? ; 当? 当? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根. ; 试试: (1) 函数 y ? x2 ? 4 x ? 4 的零点为 (2)函数 y ? x ? 4 x ? 3 的零点为
2

; .

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么关系? 判别式 一元二次方程 二次函数图象

小结: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图 象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x2 ? 4 x ? 3 的图象, f (2), f (1), f (0) 的 求 值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

??0 ??0 ??0

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 2 y ? x ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点,坐标 为 . 2 ② 方 程 x ? 2x ? 1? 0 的解 为 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有 个交点,坐标 为 . 2 ③ 方程 x ? 2x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 2 y ? x ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点,坐标 为 .
根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相 应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ?0 ( a ? 0)的图象与 x 轴交点的 . 你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗?

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点; f (a)?f (b) 零点; f (b)?f (c) 零点; f (c)?f (d )

0; 0; 0.

新知: 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有 f (a)?f (b) <0,那么, 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 (a ,b )内 有 零 点 , 即 存 在 c ? ( a , b ) , 使 得 f (c ) ? 0 , 这 个 c 也 就 是 方 程 f ( x) ? 0 的根. 讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗? 试结合图形来分析.

1

(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.

※ 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函 数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的 零 点 个 数 为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若 函 数 f ( x) 在 ? a, b ? 上 连 续 , 且 有
f ( a? ) f (?b) .则函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上( 0

变式:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

).

小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将 它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的 性质找出零点.

A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定 x 3. 函 数 f ( x)? e?1 ? 4 x? 4 零 点 所 在 区 间 为 的 ( ). A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3) 4. 函数 y ? ? x 2 ? x ? 20 的零点为 . 5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 则 . (0, ??) 上有一个零点. f ( x) 的零点个数为

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的零点: (1) y ? x2 ? 5x ? 4 ;
(2) y ? ( x ? 1)( x ? 3x ? 1) .
2

课后作业
1. 求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点所在的大致区 间,并画出它的大致图象.

练 2. 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点所在的大致区间.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①零点概念;②零点、与 x 轴交点、方程的根的关 系;③零点存在性定理 ※ 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质: (1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非 偶次零点) ,函数值变号. 推论:函数在区间 [a, b] 上的图象是连续的,且 那么函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上至少有 f (a) f (b) ? 0 , 一个零点.
2

2. 已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 . (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 值.

§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1. 根据具体函数图象, 能够借助计算器用二分法求 相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解, 使学生体会函数 零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处 理问题的意识.

新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)?f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函数的零点所在的 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

反思: 给定精度ε , 用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值 的步骤如何呢? ①确定区间 [a, b] , 验证 f (a)?f (b) ? 0 , 给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 , x1 就是函数的零点; 则 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 , 则 令 b ? x1 ( 此 时 零 点 ; x0 ? (a, x1 ) ) 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1(此时 零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零 点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P89~ P91,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性 定理? 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点. 方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象 与x轴 . ? 函数 y ? f ( x) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有 ,那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四 次方程?

※ 典型例题 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2x ? 3x ? 7 的近似解.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别 的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要 求次数越少越好. 解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定 有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一 定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下 的就是重球,否则,低的就是重球.
思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想, 采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所 在区间?如何找出这个零点?

变式:求方程 2x ? 3x ? 7 的根大致所在区间.

3

解的方法, 这是一个在计算数学中十分重要的课题.

※ 动手试试 练 1. 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所 在区间.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数, f ( x) 在 则

? a, b ? 上(

).

练 2.求函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点 (精确到 0.1 )

A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下列函数图象与 x 轴均有交点, 其中不能用二分 法求函数零点近似值的是( ).

零点所在区间

中点函数值符号

区间长度

3. 函 数 f ( x) ? 2x ln( ? 2) 的 零 点 所 在 区 间 为 x ? 3 ( ). A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5,6) 4. 用二分法求方程 x3 ? 2x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的 实 根 , 由 计 算 器 可 算 得 f ( 2)? ? 1, f (3) ? 16 , . f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 5. 函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为 , 大致所在区间为 .

练 3. 用二分法求 3 3 的近似值.

课后作业
1. 求方程 0.9x ? 0.1x ? 0 的实数解个数及其大致所 在区间.

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想. ※ 知识拓展 高次多项式方程公式解的探索史料 2. 借 助 于 计 算 机 或 计 算 器 , 用 二 分 法 求 函 数 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根 f ( x) ? x3 ? 2 的零点(精确到 0.01 ). 公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直 没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和 伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的 代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运 算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程, 其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项 式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点近似
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§ 函数与方程(练习) 3.1
学习目标
1. 体会函数的零点与方程根之间的联系, 掌握零点 存在的判定条件; 2. 根据具体函数图象, 能够借助计算器用二分法求 相应方程的近似解; 3. 初步形成用图象处理函数问题的意识.

例 2 若关于 x 的方程 x 2 ? 6 x ? 8 ? a 恰有两个不等 实根,求实数 a 的取值范围.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P94,找出疑惑之处) 复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有 ,那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:二分法基本步骤.

小结:利用函数图象解决问题,注意 | f ( x) | 的图象.

例 3 试求 f ( x) = x3 ? 8x ? 1 在区间[2,3]内的零点的 ①确定区间 [a, b] , 验证 f (a)?f (b) ? 0 , 给定精度ε ; 近似值,精确到 0.1. ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 , x1 就是函数的零点; 则 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 , 则 令 b ? x1 ( 此 时 零 点 ; x0 ? (a, x1 ) ) 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1(此时 零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零 点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 已 知 f ( x) ? 2 ? log x (1 x ? 9) 判 断 函 数 , ? 3
g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x 2 ) 有无零点?并说明理由.

小结:利用二分法求方程的近似解. 注意理解二分
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法的基本思想,掌握二分法的求解步骤.

※ 动手试试
x ?1 练 1. 已知函数 f ? x ? ? e ? 4, g ? x ? ? 4 x ,两函数

二分法的条件 f ( a)? f (b) ? 0 表明用二分法求函数 的近似零点都是指变号零点.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

图象是否有公共点?若有,有多少个?并求出其公共 点的横坐标.若没有,请说明理由.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 y ? f ( x) 的最小值为 2,则 y ? f ( ) ?1 的零点 x 个数为( ). A. 0 B. 1 C. 0 或 l D. 不确定 2. 若 函 数 f ( x) 在 ? a, b ? 上 连 续 , 且 同 时 满 足
f (a)?f (b) ? 0 , f (a)?f (
a?b ) ? 0 .则( 2

).

练 2. 选择正确的答案. (1) 用二分法求方程在精确度 ? 下的近似解时, 通 过 逐 步 取 中 点 法 , 若 取 到 区 间 ? a, b ? 且
f (a)?f (b) ? 0 ,此时不满足 a ? b ? ? ,通过再次取

a?b ] 上有零点 2 a?b B. f ( x) 在 [ , b] 上有零点 2 a?b C. f ( x) 在 [a, ] 上无零点 2 a?b D. f ( x) 在 [ , b] 上无零点 2

A. f ( x) 在 [a,

3. 方程 | x 2 ? 2 |? lg x 的实数根的个数是(

).

a?b 中点 c ? ,有 f (a)?f (c) ? 0 ,此时 a ? c ? ? , 2 而 a, b, c 在精确度 ? 下的近似值分别为 x1 , x2 , x3 (互 不相等). f ( x) 在精确度 ? 下的近似值为 则 ( ) .

A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 x 4. 方 程 2 ? x ? 4 的 一 个 近 似 解 大 致 所 在 区 间 为 . 5. 下列函数:① y= lg x ; ② y ? 2 x ; ③ y= x2; ④ y= |x| -1. 其中有 2 个零点的函数的序号是 .

A. x1

B. x2

C. x3

D. ?

课后作业
(2)已知 x1 , x2 是二次方程 f ( x) 的两个不同实根,
x3 , x4 是 二 次 方 程 g ( x) ? 0 的 两 个 不 同 实 根 , 若
g ( x1 )?g ( x2 ) ? 0 ,则(

1.已知 f ( x) ? 2 ? 2 x ? x2 , (1)如果 g ( x) ? f (2 ? x 2 ) ,求 g ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) 的零点大致所在区间.

).

A. x1 , x2 介于 x3 和 x4 之间 B. x3 , x4 介于 x1 和 x2 之间 C. x1 与 x2 相邻, x3 与 x4 相邻 D. x1 , x2 与 x3 , x4 相间相列

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 零点存在性定理; 2. 二分法思想及步骤; ※ 知识拓展 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零 点 x0 通常称为不变号零点;若函数 f ( x) 的图象在 则零点 x0 通常称为变号零点. x ? x0 处与 x 轴相交,
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2. 探究函数 y ? 0.3x 与函数 y ? log0.3 x 的图象有无 交点,如有交点,求出交点,或给出一个与交点距 离不超过 0.1 的点.

§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型(1)
学习目标
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等 不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较 指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列 表)并借助信息技术解决一些实际问题.

反思: ① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述 这些数量关系?

② 根据此例的数据,你对三种方案分别表现出的 回报资金的增长差异有什么认识?借助计算器或 计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方 案的特点.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P95~ P98,找出疑惑之处) 阅读:澳大利亚兔子数“爆炸” 有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使 澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳 洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔 子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子 们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱 的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而 牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不 已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世 纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之 九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备 制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达 到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单 位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而 增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型: y ? 0.25x ; y ? log7 x ? 1 ; y ? 1.002 x . 问:其中哪个模型能符合公司的要求?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天 多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比 前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

反思: ① 此例涉及了哪几类函数模型?本例实质如何?

② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型
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是否符合公司要求?

※ 动手试试 练 1. 如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中, 某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月)的近 似函数关系: y ? a t (t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙 述 1 ① 第 4 个月时,剩留量就会低于 ; 5 ② 每月减少的有害物质量都相等; 1 1 1 ③ 若剩留量为 , , 所经过的时间分别是 2 4 8 t1 , t2 , t3 ,则 t1 ? t2 ? t3 . 其中所有正确的叙述是 .
y 1

④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原 为实际问题的意义.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

4 (2, ) 9
1 2 3 t(月) 4 练 2. 经市场调查分析知,某地明年从年初开始的 前 n 个月,对某种商品需求总量 f ? n ? (万件)近似

O

地满足关系 1 f ? n? ? n ? n ? 1?? 35 ? 2n ?? n ? 1, 2,3,?,12 ? . 150 写出明年第 n 个月这种商品需求量 g ? n ? (万件)与 月份 n 的函数关系式.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂 成 4 个,4 个分裂成 8 个??,现有 2 个这样的细 胞,分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为( ). A. y ? 2x ?1 B. y=2 x?1 C. y=2 x D. y=2x 2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大 调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越 慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后 利润 y 与时间 x 的关系,可选用( ). A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 3. 一等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是关于腰 长 x 的函数,它的解析式为( ). A. y=20-2x (x≤10) B. y=20-2x (x<10) C. y=20-2x (5≤x≤10) D. y=20-2x(5<x<10) 4. 某新品电视投放市场后第 1 个月销售 100 台, 第 2 个月销售 200 台,第 3 个月销售 400 台,第 4 个 月销售 790 台,则销量 y 与投放市场的月数 x 之间 的关系可写成 . 5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的, 如 果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作 时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算 机. 现在 10 台计算机在第 1 轮病毒发作时被感染, 问在第 5 轮病毒发作时可能有 台计算机 被感染. (用式子表示)

课后作业
某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打 了七五折,他打算对该服装定一新价标在价目卡 上,并注明按该价 20%销售. 这样,仍可获得 25% 的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标 价之间的函数关系.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 两类实际问题:投资回报、设计奖励方案; 2. 几种函数模型: 一次函数、 对数函数、 指数函数; 3. 应用建模(函数模型) ; ※ 知识拓展 解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量 关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学 知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论;
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§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型(2)
学习目标
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等 不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较 指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列 表)并借助信息技术解决一些实际问题.

思考:log 2 x, 2 x , x 2 大小关系是如何的?增长差异? 结论:在区间 (0, ??) 上,尽管
y ? a x (a ? 1) , ? log a x(a ? 1) y

和 y ? x n (n ? 0) 都是增函数, 但它们的增长速度不同, 而且 不在同一个“档次”上,随着 x 的增大,y ? a x (a ? 1) 的增长 速度越来越快, 会超过并远远 大 于 y ? xn ( n? 0 )的 增 长 速 度.而 y ? loga x(a ? 1) 的增长 速度则越来越慢.因此,总会 存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,就 有 log a x ? x n ? a x .

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P98~ P101,找出疑惑之处) 复习 1:用石板围一个面积为 200 平方米的矩形场 地,一边利用旧墙,则靠旧墙的一边长为 ___________米时,才能使所有石料的最省.

复习 2: 三个变量 y1 , y2 , y3 随自变量 x 的变化情况如 下表: x 1 3 5 7 9 11
y1 y2 y3 5 5 5 135 29 6.1 625 245 6.61 1715 2189 6.95 3645 19685 7.20 6633 177149 7.40

※ 典型例题 例 1 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的 数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估计 以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关 系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? ab x ? c(其中a, b, c为常数) . 已知 4 月份该产品 的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为模拟 函数较好,并说明理由.

其中 x 呈对数型函数变化的变量是________,呈指 数型函数变化的变量是________,呈幂函数型变化 的变量是________.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:幂、指、对函数的增长差异 问题: 幂函数 y ? x n (n ? 0) 、 指数函数 y ? a x (a ? 1) 、 对数函数 y ? loga x(a ? 1) 在区间 (0, ??) 上的单调 性如何?增长有差异吗?

实验:函数 y1 ? 2 x , y2 ? x 2 , y ? log 2 x ,试计算: x 1 2 3 4 5 6 7 8
y1 y2 y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3

由表中的数据,你能得到什么结论?

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小结:待定系数法求解函数模型;优选模型.

值加工的每个领域. 中国数学家华罗庚在推广优选 方法的理论研究和开发研究工作中付出巨大贡献.

※ 动手试试 练 1. 为了预防流感, 某学校 对教室用药熏消毒法进行消 毒. 已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时) 成正比;药物释放完毕后,y 1 与 t 的函数关系式为 y ? ( )t ? a (a 为常数) ,如图 16 所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式 为 . (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放 开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到 教室.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物, 生产了一段时间后,由于订货商想再多订一些,但 供货时间不变,该工厂便组织工人加班生产,能反 映该工厂生产的货物数量 y 与时间 x 的函数图象大 致是( ).

2. 下 列 函 数 中 随 x 增 大 而 增 大 速 度 最 快 的 是 ( ). A. y ? 2007ln x B. y ? x 2007 C. y ?

ex D. y ? 2007 ? 2 x 2007 练 2. 某商场购进一批单价为 6 元的日用品, 销售一 3. 根 据 三 个 函 数 f ( x) ? 2 x, g ( x) ? 2 x , h( x) ? log 2 x 段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售 给出以下命题: 价格. 经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时, (1) f ( x), g ( x), h( x) 在其定义域上都是增函数; 每月能卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月 (2) f ( x) 的增长速度始终不变; (3) f ( x) 的增长 能卖 210 件,假定每月销售件数 y(件)是价格 x 速度越来越快; (元/件)的一次函数. (4) g ( x) 的增长速度越来越快; (5) h( x) 的增长 (1)试求 y 与 x 之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下, 速度越来越慢。 其中正确的命题个数为( ). 问销售价格定为多少时,才能时每月获得最大利 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 润?每月的最大利润是多少? x 2 4. 当 2 ? x ? 4时, 2 x, 2 , x 的大小关系是 . log 5. 某厂生产中所需一些配件可以外购, 也可以自己 生产, 如外购, 每个价格是 1.10 元; 如果自己生产, 则每月的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配 件的材料和劳力需 0.60 元, 则决定此配件外购或自 产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

课后作业
某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元, 茶杯每个定价为 5 元,该店推出两种优惠办法: ※ 学习小结 (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; 直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型 (2)按总价的 92%付款. 的增长的含义. 某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干(不少于 4 个) , 若需茶杯 x 个,付款数为 y(元) ,试分别建立两种 ※ 知识拓展 优惠办法中 y 与 x 的函数关系,并讨论顾客选择哪 在科学试验、 工程设计、 生产工艺和各类规划、 种优惠方法更合算. 决策与管理等许多工作中,常常要制订最优化方 案,优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方 案的科学理论、 模型与方法. 它被广泛应用于管理、 生产、科技和经济领域中,几乎可以用于凡是有数

三、总结提升

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§ 3.2.2 函数模型的应用实例(1)
学习目标
1. 通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指 数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体会解 决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加 深对这些函数的理解与应用; 2. 了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型 的应用.

变式:某客运公司定客票的方法是:如果行程不超 过 100km ,票价是 0.5 元/ km ,如果超过 100km ,则 超过 100km 的部分按 0.4 元/ km 定价. 则客运票价 . y 元与行程公里 x km 之间的函数关系是

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P101~ P104,找出疑惑之处) 复习 1:某列火车众北京西站开往石家庄,全程 253km, 火车出发 10min 开出 13km 后, 120km/h 以 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶 的时间 t 之间的关系式, 并求火车离开北京 2h 内行 驶的路程.

小结:分段函数是生产生活中常用的函数模型,与 生活息息相关,解答的关键是分段处理、分类讨论. 例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认 识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长 提供依据. 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯 (1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模 型:y ? y0 e rt , 其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t ? 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 1950 1951 1952 1953 1954 年份 人数 55196 56300 57482 58796 60266 1955 1956 1957 1958 1959 年份 人数 61456 62828 64563 65994 67207 1)若以各年人口增长率的平均值作为我国这一时 期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人 口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长 模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口将达到 13 亿?

复习 2:一辆汽车在某段路程 中的行驶速度 v 与时间 t 的关 系如图所示,则该汽车在前 3 小 时 内 行 驶 的 路 程 为 _________km,假设这辆汽车 的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为 2006km,那么 在 t ?[1,2] 时,汽车里程表读 数 S 与时间 t 的函数解析式为__________.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 一辆汽车在某段路程中的 行驶速度与时间的关系如右图: (1)求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际意义; (2) 假设这辆汽车的里程表在 汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽 车行驶这段路程时汽车里程表读数 S 和时间 t 的函 数解析式.

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小结:人口增长率平均值的计算;指数型函数模型.

定,k 为正的常数.

※ 动手试试 练 1. 某书店对学生实行促销优惠购书活动,规定 一次所购书的定价总额:①如不超过 20 元,则不 予优惠;②如超过 20 元但不超过 50 元,则按实价 给予 9 折优惠;③如超过 50 元,其中少于 50 元包 括 50 元的部分按②给予优惠,超过 50 元的部分给 予 8 折优惠. (1)试求一次购书的实际付款 y 元与所购书的定 价总额 x 元的函数关系; (2)现在一学生两次去购书,分别付款 16.8 元和 42.3 元,若他一次购买同样的书,则应付款多少? 比原来分两次购书优惠多少?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2%,3 年后支取,则可得利息(单位:万元) 为( ). A. 5(1+0.02) 3 B. 5(1+0.02) 2 C. 5(1+0.02) 3 -5 C. 5(1+0.02) 2 -5 2. x 克 a%盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变为 c%,则 x 与 y 的函数关系式为( ). c?a c?a A. y= x B. y= x c?b b?c a?c b?c C. y= x D. y= x b?c c?a 3. A、B 两家电器公司在今年 1—5 月份的销售量 如下图所示,
(万台) 100 80 A B

练 2. 在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节 即将来临时,价格呈上升趋势. 设某服装开始时定 价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开 始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去 时,平均每周降价 2 元,直到 16 周末,该服装已 不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系; (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式 为 Q ? ?0.125(t ? 8)2 ? 12, t ? ?0,16? , t ? N ,试问该服 装第几周每件销售利润最大?

60 40 20 1 2 3 4

5 (月)

则 B 相对于 A 其市场份额比例比较大的月份是 ( ). A. 2 月 B. 3 月 C. 4 月 D. 5 月 4. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 (m) f =1.06(0.5×[m]+1)元给出,其中 m>0,[m]是大 于或等于 m 的最小整数(职[3]=3,[3.7]=4) ,则从 甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为 元. 5. 已知镭经过 100 年,质量便比原来减少 4.24%, 设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y ,则 . y ? f ( x) 的函数解析式为

课后作业
经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量 和价格均为时间 t ( d )的函数,且销售量近似地 1 109 满足 g (t ) ? ? t ? ( 1 ? t ? 100 , t ? N ) ;前 40 3 3 1 天价格为 f (t ) ? t ? 22 ( 1 ? t ? 40 ,t ? N ) ,后 40 4 t 天的价格为 f (t ) ? ? ? 52 ( 41 ? t ? 100 , t ? N ) , 2 试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 分段函数模型; 2. 人口增长指数型函数模型; ※ 知识拓展 英国物理学家和数学家牛顿(Issac Newton, 1643-1727 年)曾提出物体在常温环境下温度变化 e 的冷却模型: ? ? ?0 ? (?1 ? ?0 )? ? kt ,其中 t 表示经 过的时间,?1 表示物体的初始温度,? 0 表示环境稳
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§ 3.2.2 函数模型的应用实例(2)
学习目标
1. 通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指 数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体会解 决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加 深对这些函数的理解与应用; 2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.

变式:某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租 为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租 金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减 少 10 间. 若不考虑其他因素, 旅社将房间租金提高 到多少时,每天客房的租金总收入最高?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P104~ P106,找出疑惑之处) 阅读:2003 年 5 月 8 日,西安交通大学医学院紧急 启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模 型” 研究项目, 马知恩教授率领一批专家昼夜攻关, 于 5 月 19 日初步完成了第一批成果,并制成了要 供决策部门参考的应用软件. 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国 和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指 出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析 报告说,就全国而论,菲非典病人延迟隔离 1 天, 就医人数将增加 1000 人左右,推迟两天约增加工 能力 100 人左右;若外界输入 1000 人中包含一个 病人和一个潜伏病人, 将增加患病人数 100 人左右; 若 4 月 21 日以后,政府示采取隔离措施,则高峰 期病人人数将达 60 万人. 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资 发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型 和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分 析预测.

小结:找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量 间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题 →小结:二次函数模型。 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值 如下表(身高:cm;体重:kg)
身高 体重 身高 体重 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

(1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式. (2) 若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏 胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为 175cm ,体重 78kg 的在校男生的体重是否正常?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定 成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元. 销售单价与日 均销售量的关系如下表所示:
销售单价/ 元 日均销售 量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价 才能获得最大利润?

小结:根据收集到的数据的特点,通过建立函数模 型,解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点
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图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实 际,用函数模型解释实际问题;不符合实际,则重 新选择函数模型,直到符合实际为止.

③幂函数模型: h( x) ? ax 2 ? b(a ? 0); ④指数函数模型: ( x) ? ab x ? c a ? 0, b >0, ? 1 ) ( l b

1

※ 动手试试 练 1. 某同学完成一项任务共花去 9 个小时,他记 录的完成工作量的百分数如下:
时间/ 小时 完成 百分数

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

1 15

2 30

3 45

4 60

5 60

6 70

7 80

8

9

90 100

(1)如果用 T (h) 来表示 h 小时后完成的工作量的 百分数, 请问 T (5) 是多少?求出 T (h) 的解析式, 并 画出图象; (2)如果该同学在早晨 8:00 时开始工作,什么 时候他未工作?

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 向高为 H 的圆锥形漏斗内注入化学溶 液(漏斗下口暂且关闭) ,注入溶液量 V 与溶液深度 h 的大概图象是( ).

2. 某种生物增长的数量 y 与时间 t 的关系如下表: x 1 2 3 .. . y 1 3 8 .. . 下面函数关系式中,能表达这种关系的是( ). 2 x A. y ? x ? 1 B. y ? 2 ? 1 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? 1.5x 2 ? 2.5x ? 2 3. 某企业近几年的年产值如下图:
(万元) 1000 800

练 2. 有一批影碟(VCD)原销售价为每台 800 元, 600 在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方 400 法促销: 买一台单价为 780 元, 买两台单价都为 760 200 元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减 少 20 元,但每台售价不能低于 440 元;乙商场一 00(年) 96 99 97 98 律都按原价的 75%销售. 某单位需购买一批此类影 则年增长率(增长率=增长值/原产值)最高的是 碟机,问去哪家商场购买花费较低? ( ). A. 97 年 B. 98 年 C. 99 年 D. 00 年 4. 某杂志能以每本 1.20 的价格发行 12 万本,设定 价每提高 0.1 元,发行量就减少 4 万本. 则杂志的 总销售收入 y 万元与其定价 x 的函数关系是 . 5. 某新型电子产品 2002 年投产, 计划 2004 年使其 成本降低 36℅. 则平均每年应降低成本 %.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 有关统计图表的数据分析处理; 2. 实际问题中建立函数模型的过程; ※ 知识拓展 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: ①一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0);
②二次函数模型: g ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0);
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课后作业
某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产, 并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖, 因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产 品时,接收定单不至于过多或过少,需要估测以后 几个月的产量,你能解决这一问题吗?

第三章 函数的应用(复习)
学习目标
1. 体会函数的零点与方程根之间的联系, 掌握零点 存在的判定条件,能用二分法求方程的近似解,初 步形成用函数观点处理问题的意识; 2. 结合实际问题, 感受运用函数概念建立模型的过 程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要 性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会 中的简单问题.

例 2 某工厂生产某产品 x 吨所需费用 P 元, 而卖出 1 x 吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1000+5x+ x2, 10 x Q=a+ . b (1)试写出利润 y 关于 x 的函数; (2)若生产出的产品能全部卖掉,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨价格为 40 元,求实数 a、 b 的值.

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P86~ P113,找出疑惑之处) 复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有 ,那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:二分法基本步骤. ①确定区间 [a, b] , 验证 f (a)?f (b) ? 0 , 给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 , x1 就是函数的零点; 例 3 将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻 则 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 , 则 令 b ? x1 ( 此 时 零 点 温度的数据如下表: ; x0 ? (a, x1 ) ) 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1(此时 零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零 点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④. 复习 3:函数建模的步骤. 根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型, 解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点图→ 选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际,用 函数模型解释实际问题;不符合实际,则重新选择 函数模型,直到符合实际为止.
60 时间(S) 温度(℃) 86.86 时间(S) 360 温度(℃) 53.03 120 81.37 420 52.20 180 76.44 480 49.97 240 66.11 540 45.96 300 61.32 600 42.36

(1)描点画出水温随时间变化的图象; (2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x(s) 的函数模型,并作出其图象, 观察它与描点画出的图象的吻合程度如何. (3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模 型分析,至少经过几分钟水温才会降到室温?再经 过几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价?

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1 已知二次方程 (m ? 2) x 2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根 分别属于(-1,0)和(0,2),求 m 的取值范围.

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中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模 型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提 供的解答来解释现实问题,我们把数学知识的这一 应用过程称为数学建模.

※ 动手试试 练 1. 某种商品现在定价每年 p 元,每月卖出 n 件, 因而现在每月售货总金额 np 元,设定价上涨 x 成, 卖出数量减少 y 成,售货总金额变成现在的 z 倍. 2 (1)用 x 和 y 表示 z; (2)若 y= x,求使售货总 3 金额保持不变的 x 值.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
5 1. 函 数 f ( x) ? x ? x ? 3 的 实 数 解 落 在 的 区 间 是 ( ). A. [0,1] B. [1,2] C. [2,3] D. [3,4] 2. 下 列 函 数 关 系 中 , 可 以 看 着 是 指 数 型 函 数 ). y ? ka x ( k ? R, a ? 0且a ? 1) 模型的是( A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面, 信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B.我国人口年自然增长率为 1﹪,这样我国人口 总数随年份的变化关系 C.如果某人 ts 内骑车行进了 1km,那么此人骑车 的平均速度 v 与时间 t 的函数关系 D.信件的邮资与其重量间的函数关系 3. 用长度为 24 的材料围一个矩形场地,中间且有 两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 ( ). A.3 B.4 C.6 D.12 4. 若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? a 没有零点,则实数 a 的 取值范围是 . 5. 已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满 足关系 y=a· (0.5)x+b,现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 月份该产品的产量为_________.

练 2. 如图,在底边 BC=60,高 AD=40 的△ABC 中作内接矩形 MNPQ, 设矩形面积为 S, MN=x. (1)写出面积 S 以 x 为自变量 的函数式,并求其定义域; (2)求矩形面积的最大值及相应的 x 值.

课后作业
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障,这是一条 10km 长的 线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小 段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电 线杆,10km 长,大约有 200 多根电线杆子呢.想一 想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?要把故 障可能发生的范围缩小到 50~100m 左右,即一两根 电线杆附近,要查多少次?

三、总结提升 ※ 学习小结 零点存在定理及二分法;函数建模. ※ 知识拓展 数学模型:对于现实中的原型,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学 工具得到一个数学结构。也可以说,数学建模是利 用数学语言 (符号、 式子与图象) 模拟现实的模型。 把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型 的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态, 或者能预测到对象的未来状况,或者能提供处理对 象的最优决策或控制。 数学建模:(Mathematical Modelling)把现实世界
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必修一模块总复习
学习目标
1. 理解集合有关概念和性质,掌握集合的交、并、 补等三种运算的,会利用几何直观性研究问题,如 数轴分析、Venn 图; 2. 深刻理解函数的有关概念,理解对应法则、图象 等有关性质,掌握函数的单调性和奇偶性; 3. 掌握指数函数、 对数函数的概念, 会作指数函数、 对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对 数函数的性质;了解五个幂函数的图象及性质; 4. 体会函数的零点与方程根之间的联系, 掌握零点 存在的判定条件,能用二分法求方程的近似解; 5. 了解函数模型 (如指数函数、 对数函数、 幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用.

2 ( a ? R ). 2 ?1 (1)探索函数 f ( x) 的单调性; (2)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数?

例 2 对于函数 f ( x) ? a ?

x

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P2~ P113,找出疑惑之处) 复习 1:集合部分知识结构. 例 3 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销 路. 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告 费之间的差. 如果销售额与广告费的算术平方根成 正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告费, 所得的销售额是 1000 元. 问该企业应 该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应,是 不是广告做得越多越好? 复习 2:函数部分知识结构.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 已 知 全 集 U= {x ? N | 0 ? x ? 6} , 集 合 A= { x ? N |1 ? x ? 5} ,集合 B= ?x ? N | 2 ? x ? 6} .求:
(1) A ? B ; (2) ( CU A ) ?B ; (3)(CU A) ? (C U B) .

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※ 动手试试 练 1. 如图,△OAB 是边长为 2 的正三角形,记△ OAB 位 于 直 线 x ? t( t? 0) 左 侧 的 图 形 的 面 积 为 f (t ) ,则函数 f (t ) 的解析式为_____________.

(5)三角函数; (6)反三角函数. 所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次 的四则运算和复合而成的函数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知集合 M ? {x ? N | x ? 8 ? m, m ? N} ,则集合 M 中的元素的个数为( ). A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 下列哪一组中的函数 f ( x) 与 g ( x) 相等( ). x2 A. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? ?1 x B. f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4
C. f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 3 x6 D. f ( x) ? x , g ( x) ? 2log2 x 练 2. 某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商 品 A 连续两次提价 20%, 同时商品 B 连续两次降价 20%,结果都以每件 23.04 元售出,若商店同时售 出这两种商品各一件,则与价格不升、不降的情况 相比较,商店盈利的情况是( ). A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 D.盈利相同 3. 已知集合 A ? { y | y ? log2 x, x ? 1} , 1 ). B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ,则 A ? B =( 2 1 A. { y | 0 ? y ? } B. { y | 0 ? y ? 1} 2 1 C. { y | ? y ? 1} D. ? 2 1 1 1 x 4. 函 数 y ? lg x , y ? 2 , y ? , y ? , y ? x 2 的 x x 零点个数分别为 . 3 5. 若 log a ? 1 ( a ? 0, 且a ? 0 ) ,则实数 a 的取值 4 范围为 .

课后作业
如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相 同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长 是 30m,那么宽 x 为多少才能使所建造的每间熊猫 居 室面积 最大 ?每间 熊猫 居室的 最大 面积是 多 少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的有关概念及三种运算; 2. 函数的三要素及性质(单调性、奇偶性) ; 3. 指、对、幂函数的图象及性质; 4. 零点存在定理及二分法; 5. 函数模型的应用. ※ 知识拓展 基本初等函数包括以下 6 种: (1)常值函数: y =c(其中 c 为常数) ; (2)幂函数 y =xa(其中 a 为实常数) ; (3)指数函数 y =ax(a>0,a≠1) ; (4)对数函数 y =log ax(a>0,a≠1) ;
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