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广东省湛江市2015届高考数学一模试卷(理科)

广东省湛江市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知(1+bi) =2i(b∈R,i 是虚数单位) ,则 b=() A.2 B. 1 C.±1
2

D.1 或 2

2. (5 分)已知向量 A.2

=(x,2) , B. 4

=(1,1) ,若( C . ﹣4

+

)⊥

,则 x=() D.﹣2

3. (5 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,且公比 q≠1,若 a2、 a3、a1 成等差数列,则公 比 q=() A. 或 B. C.
﹣x



D.

4. (5 分)设 p:x∈{x|y=lg(x﹣1)},q:x∈{x|2 <1},则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)抛物线 8y﹣x =0 的焦点 F 到直线 l:x﹣y﹣1=0 的距离是() A. B. C.
x 2

D.

6. (5 分)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点,则﹣x0 一定是下列哪个函 数的零点() A.y=f(﹣x)e ﹣1 B.y=f(﹣x)e +1 C.y=e f(x)﹣1 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
x
﹣x

x

D.y=e f(x)+1

x

A.π

B.2π

C.

D.

8. (5 分) 由正整点坐标 (横坐标和纵坐标都是正整数) 表示的一组平面向量

(i=1, 2, 3, …,
*

n,…) ,按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表.规则是:对于?n∈N ,第 n 行 共有 2n﹣1 个向量, 若第 n 行第 k 个向量为 例如 =(1,1) , =(1,2) , , 则 = =(2,1) ,…,依此类推,则 ,

=(2,2) ,

=()

A.(44,11)

B.(44,10)

C.(45,11)

D.(45,10)

二、 填空题 (本大题共 5 小题, 考生作答 6 小题, 每小题 5 分, 满分 25 分. ) (一) 必做题 (9~ 13 题) 9. (5 分)2lg5﹣lg =.

10. (5 分)不等式|x+2|+|x﹣1|≤3 的解集是. 11. (5 分)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组 数据的平均数为 10,方差为 2,则|x﹣y|的值为. 12. (5 分)展开(a+b+c) ,合并同类项后,含 ab c 项的系数是.
6 2 3

13. (5 分)已知实数 x,y 满足条件:

,若条件为目标函数 z=ax+by 最大值为

6,则 ab 的最大值是.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)极坐标方程分别为 ρ=cosθ 与 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距为.

(几何证明选讲选做题) 15.如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB、PCD. AB 是圆 O 的直径,若 PA=4,PC=5, CD=3,则∠CBD=.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)设函数 f(x)=sin(2x+ (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的值域. 17. (12 分)广东省第十四届运动会将在湛江举行,组委会招募了 12 名男志愿者和 18 名女志 愿者,将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm) ,身高在 175cm 以上(包 括 175cm)定义为“高个子”身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. )﹣4cos(π﹣x)sin(x﹣ ) .

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,求 至少有一人是“高个子”的概率; (2)若从身高 180cm 以上(包括 180cm)的志愿者中选出男、女各一人,设这 2 人身高相差 ξcm(ξ≥0) ,求 ξ 的分布列和数学期望(均值) . 18. (14 分) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, △ PAC 和△ PBC 均是边长为 的等边三角形, AB=2, O,M,T 分别是 AB,PA,AC 的中点. (1)若 N 是△ PAC 内部或边界上的动点,且满足 ON∥平面 PBC,证明:点 N 在线段 M T 上; (2)求二面角 P﹣BC﹣A 的余弦值. (参考定理:若平面 α∥平面 β,a∈平面 α,A∈直线 l,且 l∥平面 β,则直线 l?平面 α. )

19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1(n≥2,n∈N ) ,且 a1=2,a2=3. (1)求数列{an}的通项公式;

*

(2)设 bn=4 +(﹣1) >bn 恒成立.

n

n﹣1

?λ?2 (λ 为非零整数,n∈N ) ,求 λ 的值,使得对任意 n∈N ,bn+1

an

*

*

20. (14 分)如图,已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= A 是右顶点,B 是椭圆上一点,BF⊥x 轴,|BF|= .

,F 是右焦点,

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:x=ty+λ 是椭圆 C 的一条切线,点 M(﹣ ,y1) ,点 N( ,y2)是切线 l 上两个点,证明:当 t、λ 变化时,以 M N 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求出定点坐标.

21. (14 分)设函数 f(x)=

,g(x)=ln(x+1) .

(1)求函数 H1(x)=f(x)﹣g(x)的最大值; (2)记 H2(x)=g(x)﹣bx,是否存在实数 b,使 H2(x)<0 在(0,+∞)上恒成立?若 存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:﹣1< ﹣lnn≤ (n=1,2,…) .

广东省湛江市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)已知(1+bi) =2i(b∈R,i 是虚数单位) ,则 b=() A.2 B. 1 C.±1 D.1 或 2 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数运算法则、复数相等即可得出. 2 解答: 解:∵2i=1﹣b +2bi, 2 ∴1﹣b =0,2=2b,

∴b=1. 故选:B. 点评: 本题考查了复数运算法则、复数相等,属于基础题.

2. (5 分)已知向量 A.2

=(x,2) , B. 4

=(1,1) ,若( C . ﹣4

+

)⊥

,则 x=() D.﹣2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的坐标表示,以及向量的平方即为模的平方,向量垂直的条件: 数量积为 0,解方程即可得到 x. 解答: 解:由向量 则 ? =x+2, 若( + )⊥ =( , =(x,2) , ) =2,
2

=(1,1) ,

则( + )? =0, 即有 + =0,

即 x+2+2=0, 即有 x=﹣4. 故选 C. 点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示,考查向量垂直的条件:数量积为 0,考查向量的 平方即为模的平方,考查运算能力,属于基础题.

3. (5 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,且公比 q≠1,若 a2、 a3、a1 成等差数列,则公 比 q=() A. 或 B. C. 或 D.

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差中项的性质列出方程,再由等比数列的通项公式化简,再结合题意求 出 q 的值. 解答: 解:因为 a2、 a3、a1 成等差数列, 所以 2× a3=a1+a2,则 a3=a1+a2, 因为等比数列{an}的各项均为正数,且公比 q≠1, 所以 ,化简得 q ﹣q﹣1=0,
2

解得 q=

或 q=

(舍去) ,

故选:D. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,以及等差中项的性质,属于基础题. 4. (5 分)设 p:x∈{x|y=lg(x﹣1)},q:x∈{x|2 <1},则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 分别求出关于 p,q 的 x 的范围,从而得到 p,q 的关系. 解:∵p:x∈{x|y=lg(x﹣1)},∴p:x>1,
﹣x ﹣x

∵q:x∈{x|2 <1},∴x>0, ∴p 是 q 的充分不必要条件, 故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了对数函数,指数函数的性质,是一道基础题. 5. (5 分)抛物线 8y﹣x =0 的焦点 F 到直线 l:x﹣y﹣1=0 的距离是() A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线 8y﹣x =0 焦点 F(0,2) ,再利用点到直线的距离公式可得结论. 2 解答: 解:由抛物线 8y﹣x =0 焦点 F(0,2) , ∴点 F(0,2)到直线 l:x﹣y﹣1=0 的距离 d= = .
2

故选:D. 点评: 熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键. 6. (5 分)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点,则﹣x0 一定是下列哪个函 数的零点() A.y=f(﹣x)e ﹣1 B.y=f(﹣x)e +1 C.y=e f(x)﹣1
x
﹣x

x

x

D.y=e f(x)+1

x

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. x 分析: 根据 f(x)是奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,因为 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点, 代入得到一个等式,利用这个等式对 A、B、C、D 四个选项进行一一判断; 解答: 解:f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) 且 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点,∴f(x0)+ 面四个选项, A、y=f(x0) ﹣1=﹣ ﹣1=﹣1﹣1=﹣2,故 A 错误;
x

=0,∴f(x0)=﹣

,把﹣x0 分别代入下

B、y=f(x0) C、y=e D、y=
﹣x0

+1=﹣(

) +1≠0,故 B 错误;
﹣x0

2

f(﹣x0)﹣1=﹣e

f(x0)﹣1=e

﹣x0

﹣1=1﹣1=0,故 C 正确;

f(﹣x0)+1=1+1=2,故 D 错误;

故选 C; 点评: 此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质,此题是一道中档题,需要一一验 证; 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.π

B.2π

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是一半圆锥与一半球的组合体,结合图中数据 求出组合体的体积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一半圆锥与一半球的组合体; 且半圆锥的底面圆半径为 1,高为 2; 半球的半径也为 1; ∴该组合体的体积为 V=V 半圆锥+V 半球= ? π1 ?2+ ?
2

?1 = π+ π=π.

3

故选:A. 点评: 本题考查了通过空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题,解题的关键是由 三视图得出几何体的结构特征,是基础题目. 8. (5 分) 由正整点坐标 (横坐标和纵坐标都是正整数) 表示的一组平面向量 (i=1, 2, 3, …,
*

n,…) ,按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表.规则是:对于?n∈N ,第 n 行 共有 2n﹣1 个向量, 若第 n 行第 k 个向量为 例如 =(1,1) , =(1,2) , , 则 = =(2,1) ,…,依此类推,则 ,

=(2,2) ,

=()

A.(44,11)

B.(44,10)

C.(45,11)

D.(45,10)

考点: 归纳推理. 专题: 新定义;推理和证明. 分析: 由题意和等差数列的前 n 项和公式求出前 n 行向量的个数表达式, 再判断出 在的位置,再由给出的关系式求出 的坐标. 所

解答: 解:由题意得,第 n 行共有 2n﹣1 个向量, 则前 n 行共有 1+3+5+…+(2n﹣1)= 因为 44 <2015<45 ,且 44 =1936, 所以 应在第 45 行第 79 个向量,
2 2 2

=n 个向量,

2

因为第 n 行第 k 个向量为 所以 =(45,11) ,

,则

=



故选:C. 点评: 本题是一个新定义题型,考查归纳推理,等差数列的前 n 项和公式,归纳推理的一 般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确 表达的一般性命题(猜想) . 二、 填空题 (本大题共 5 小题, 考生作答 6 小题, 每小题 5 分, 满分 25 分. ) (一) 必做题 (9~ 13 题) 9. (5 分)2lg5﹣lg =2.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= =lg100=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查了对数的运算法则,属于基础题. 10. (5 分)不等式|x+2|+|x﹣1|≤3 的解集是[﹣2,1].

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据绝对值得意义求得不等式|x+2|+|x﹣1|≤3 的解集. 解答: 解:由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、1 对应点的距离之和,它的最小 值为 3, 故不等式|x+2|+|x﹣1|≤3 的解集是[﹣2,1], 故答案为:[﹣2,1]. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于基础题. 11. (5 分)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组 数据的平均数为 10,方差为 2,则|x﹣y|的值为 4. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: 利用平均数、方差的概念列出关于 x、y 的方程组,解这个方程组需要用一些技巧, 因为不要直接求出 x、y,只要求出|x﹣y|即可,故可设 x=10+t,y=10﹣t,求解即可. 解答: 解:由题意可得: x+y=20, (x﹣10) +(y﹣10) =8, 2 设 x=10+t,y=10﹣t,则 2t =8,解得 t=±2, ∴|x﹣y|=2|t|=4, 故答案为:4. 点评: 本题考查统计的基本知识,样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法, 比较简单. 12. (5 分)展开(a+b+c) ,合并同类项后,含 ab c 项的系数是 60. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 排列组合. 6 分析: 把(a+b+c) 的展开式看成是 6 个因式(a+b+c)的乘积形式,按照分步相乘原理, 2 3 求出含 ab c 项的系数即可. 6 解答: 解:把(a+b+c) 的展开式看成是 6 个因式(a+b+c)的乘积形式, 2 3 展开式中,含 ab c 项的系数可以按如下步骤得到: 第一步,从 6 个因式中任选 1 个因式,这个因式取 a,有 第二步,从剩余的 5 个因式中任选 2 个因式,都取 b,有 第三步,把剩余的 3 个因式中都取 c,有 根据分步相乘原理,得; 含 ab c 项的系数是
2 3 6 2 3 2 2

种取法; 种取法;

种取法;

?

?

=6×10×1=60.

故答案为:60. 点评: 不同考查了二项式系数的应用问题,也考查了分步相乘原理的应用问题,是基础题 目.

13. (5 分)已知实数 x,y 满足条件:

,若条件为目标函数 z=ax+by 最大值为

6,则 ab 的最大值是 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 确定 z 取最大值点的最优 解,利用基本不等式的性质,利用数形结合即可得到结论.

解答: 解:由约束条件

作差可行域如图,

由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y=﹣ 则直线的斜率 k=﹣ 平移直 y=﹣ 直线 y=﹣



,截距最大时,z 也最大. 经过点 A 时,

,由图象可知当直线 y=﹣ 的截距最大,此时 z 最大,



,解得



即 A(2,4) , 此时 z=2a+4b=6, 即 a+2b=3, ∴3=a+2b ,即 ,ab ,当且仅当 a=2b,即 时上式“=”成立.

∴ab 的最大值为 . 故答案为: .

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义先求出最优解是解决本题的关键, 考查了利用基本不等式求最值,是中档题. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)极坐标方程分别为 ρ=cosθ 与 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距为 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,将极坐标 方程为 ρ=cosθ 和 ρ=sinθ 化成直角坐标方程,最后利用直角坐标方程的形式,结合两点间的距 离公式求解即得. 解答: 解:由 ρ=cosθ,化为直角坐标方程为 x +y ﹣x=0,其圆心是 A( 由 ρ=sinθ,化为直角坐标方程为 x +y ﹣y=0,其圆心是 B(0, ) , 由两点间的距离公式,得 AB= 故答案为: . ,
2 2 2 2 2 2 2

,0) ,

点评: 本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计 算圆心距等基本方法,我们要给予重视. (几何证明选讲选做题) 15.如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB、PCD. AB 是圆 O 的直径,若 PA=4,PC=5, CD=3,则∠CBD=30°.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 由于题目中并没有给出与角相关的已知条件,故解题的关键是构造三角形,解三角 形求角的大小,故根据已知条件,结合割线定理,求出圆的半径是本题的切入点. 解答: 解:由割线长定理得:PA?PB=PC?PD, 即 4×PB=5×(5+3) , ∴PB=10, ∴AB=6, ∴R=3, 所以△ OCD 为正三角形,∠CBD= ∠COD=30°. 故答案为:30°. 点评: 当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形, 我们经常利用这些图形特有的性质,得到相关的数量关系,进行求解. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)设函数 f(x)=sin(2x+ (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的值域. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接根据已知条件利用特殊角的三角函数的值求出结果. (2)首先对关系式进行恒等变换,变形成正弦型函数,进一步利用三角函数的定义域求出三 角函数的值域. 解答: 解: (1)函数 f(x)=sin(2x+ 则:f(0)= (2)f(x)=cos2x+4cosx( = = 由于﹣1≤sin2x≤1 所以:函数 f(x)的值域为:[ ]. 点评: 本题考查的知识要点:特殊角的三角函数的值.三角函数关系式的恒等变换,正弦 型函数的性质的应用,属于基础题型. 17. (12 分)广东省第十四届运动会将在湛江举行,组委会招募了 12 名男志愿者和 18 名女志 愿者,将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm) ,身高在 175cm 以上(包 括 175cm)定义为“高个子”身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. )﹣4cos(π﹣x)sin(x﹣ =1﹣2=﹣1 ) ) . )﹣4cos(π﹣x)sin(x﹣ ) .

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,求 至少有一人是“高个子”的概率; (2)若从身高 180cm 以上(包括 180cm)的志愿者中选出男、女各一人,设这 2 人身高相差 ξcm(ξ≥0) ,求 ξ 的分布列和数学期望(均值) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图知“高个子”有 12 人,“非高个子”有 18 人,用分层抽样方法得到抽 取的 5 人中,“高个子”有 2 人,“非高个子”有 3 人,由此能求出至少有一人是“高个子”的概率. (2)由茎叶图知,有 3 名男志愿者身高在 180cm 以上, (含 180cm) ,有 2 名女志愿者身高在 180cm 以上, (含 180cm) ,从身高 180cm 以上(包括 180cm)的志愿者中选出男、女各一人, 基本事件总数 n= =6,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求

出 ξ 的分布列和数学期望(均值) . 解答: 解: (1)根据茎叶图知“高个子”有 12 人,“非高个子”有 18 人, 用分层抽样方法,每个人被抽中的概率是 ∴抽取的 5 人中,“高个子”有 12× =2 人, “非高个子”有 18× =3 人, ,

∴至少有一人是“高个子”的概率是 P=

=



(2)由茎叶图知,有 3 名男志愿者身高在 180cm 以上, (含 180cm) , 身高分别为 181cm,182cm,184cm, 有 2 名女志愿者身高在 180cm 以上, (含 180cm) , 身高分别为 180cm,181cm, 从身高 180cm 以上(包括 180cm)的志愿者中选出男、女各一人, 基本事件总数 n= =6,

即(181,180) , (181,181) , (182,180) , (182,181) , (184,180) , (184,181) , ∴ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4, P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,

P(ξ=3)= ,P(ξ=4)= , ∴ξ 的分布列为: ξ 0 P Eξ= = .

1

2

3

4

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要注意分层抽样和茎叶图性质的合理运用. 18. (14 分) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, △ PAC 和△ PBC 均是边长为 的等边三角形, AB=2, O,M,T 分别是 AB,PA,AC 的中点. (1)若 N 是△ PAC 内部或边界上的动点,且满足 ON∥平面 PBC,证明:点 N 在线段 M T 上; (2)求二面角 P﹣BC﹣A 的余弦值. (参考定理:若平面 α∥平面 β,a∈平面 α,A∈直线 l,且 l∥平面 β,则直线 l?平面 α. )

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 OM,OT,O,M,T 分别是 AB,PA,AC 的中点.利用三角形的中位线 定理可得:OM∥PB,OT∥BC,利用线面平行的判定定理可得 OM∥平面 PBC,OT∥平面 PBC,可得平面 OMT∥平面 PBC.由于 N 是△ PAC 内部或边界上的动点,且满足 ON∥平面 PBC,即可证明点 N 在线段 MT 上. (2) :连接 OP,OC.由 PA=PB= ,O 为 AB 的中点,则 OP⊥AB,同理可证:OC⊥AB, 2 2 2 利用 OP +OC =1+1=2=PC ,可得 OP⊥OC,如图所示,建立空间直角坐标系.P(0,0,1) , O (0, 0, 0) , B (0, 1, 0) , C (﹣1, 0, 0) , 设平面 PBC 的法向量为 = (x, y, z) , 则 ,

可得 ,取平面 ABC 的法向量 =(0,0,1) ,

=

即可得出.

解答: (1)证明:连接 OM,OT,∵O,M,T 分别是 AB,PA,AC 的中点. ∴OM∥PB,OT∥BC, 又 OM?平面 PBC,PB?平面 PBC, ∴OM∥平面 PBC, 同理可得 OT∥平面 PBC,

又 OM∩OT=O, ∴平面 OMT∥平面 PBC. ∵N 是△ PAC 内部或边界上的动点,且满足 ON∥平面 PBC, ∴点 N 在线段 MT 上. (2)解:连接 OP,OC.∵PA=PB= ,O 为 AB 的中点,则 OP⊥AB, 同理可证:OC⊥AB, ∵OB=1, ∴OP=OC=
2 2 2

=1,

∴OP +OC =1+1=2=PC , ∴OP⊥OC, 如图所示,建立空间直角坐标系.P(0,0,1) ,O(0,0,0) ,B(0,1,0) ,C(﹣1,0, 0) , =(﹣1,﹣1,0) , =(0,﹣1,1) , ,可得 ,

设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z) ,则

令 y=﹣1,解得 x=1,z=﹣1,∴ =(1,﹣1,﹣1) , 取平面 ABC 的法向量 =(0,0,1) , 则 = = =﹣ .

由图可知:二面角 P﹣BC﹣A 为锐角. ∴二面角 P﹣BC﹣A 的余弦值为 .

点评: 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形中位线定理、勾股定理 的逆定理、 向量垂直与数量积的关系, 考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹 角得出二面角的方法,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1(n≥2,n∈N ) ,且 a1=2,a2=3. (1)求数列{an}的通项公式;
*

(2)设 bn=4 +(﹣1) >bn 恒成立.

n

n﹣1

?λ?2 (λ 为非零整数,n∈N ) ,求 λ 的值,使得对任意 n∈N ,bn+1

an

*

*

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1(n≥2,n∈N ) ,变形为 Sn+1﹣Sn﹣(Sn﹣Sn﹣1)=1,利用 等差数列的通项公式即可得出. (2)bn=4 +(﹣1) ?λ?2 =4 +(﹣1) ?λ?2 ,要使得对任意 n∈N ,bn+1>bn 恒成立, n﹣1 n﹣1 只须 bn+1﹣bn>0 恒成立.化为(﹣1) λ<2 .对 n 分为奇数偶数讨论即可得出. * 解答: 解: (1)∵Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1(n≥2,n∈N ) ,∴Sn+1﹣Sn﹣(Sn﹣Sn﹣1)=1, ∴an+1﹣an=1,且 a2﹣a1=1. ∴数列{an}是等差数列, ∴an=2+(n﹣1)×1=n+1. (2)bn=4 +(﹣1) ?λ?2 =4 +(﹣1) ?λ?2 , * n+1 n n n+2 n﹣ 要使得对任意 n∈N ,bn+1>bn 恒成立,只须 bn+1﹣bn=4 ﹣4 +(﹣1) ?λ?2 ﹣(﹣1) 1 n+1 ?λ?2 >0 恒成立. n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 化为(﹣1) λ<2 . (i)当 n 为奇数时,λ<2 恒成立,当且仅当 n=1 时,2 有最小 值 1,∴λ<1. (ii)当 n 为偶数时,λ>﹣2 恒成立,当且仅当 n=2 时,﹣2 有最大值 1,∴λ>﹣2. 综上可得:﹣2<λ<1,又 λ 为非 0 整数,则 λ=﹣1. * 因此存在非 0 整数 λ=﹣1,使得对任意 n∈N ,bn+1>bn 恒成立. 点评: 本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数列的单调性,考查了分类讨论思想方 法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
n﹣1 n﹣1 n n﹣1 an n n﹣1 n+1 n n﹣1 an n n﹣1 n+1 * *

20. (14 分)如图,已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= A 是右顶点,B 是椭圆上一点,BF⊥x 轴,|BF|= (1)求椭圆 C 的方程; .

,F 是右焦点,

(2)设直线 l:x=ty+λ 是椭圆 C 的一条切线,点 M(﹣ ,y1) ,点 N( ,y2)是切线 l 上两个点,证明:当 t、λ 变化时,以 M N 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求出定点坐标.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据已知条件列出关于 a,b,c 的方程组求解即可;

(2)根据条件将直线方程 x=ty+λ 代入椭圆的方程,消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,利用 韦达定理得到交点 M,N 纵坐标满足的关系,然后根据题意写出以 MN 为直径的圆的方程, 则求出圆与 x 轴交点的坐标,只要是常数即可. 解答: 解: (1)由题意设椭圆方程为 ①焦点 F(c,0) ,

因为

②,

将点 B(c,
2

)代入方程①得
2 2

③ .

由②③结合 a =b +c 得: 故所求椭圆方程为 .

(2)由

得(2+t )y +2tλy+λ ﹣2=0.

2

2

2

∵l 为切线, ∴△=(2tλ) ﹣4(t +2) (λ ﹣2)=0, 2 2 即 t ﹣λ +2=0① 设圆与 x 轴的交点为 T(x0,0) ,则 ∵MN 为圆的直径, ∴ ② ,
2 2 2

因为

,所以

,代入②及①得

= 要使上式为零,当且仅当 ,解得 x0=±1,



所以 T 为定点,故动圆过 x 轴上的定点是(﹣1,0)与(1,0) ,即两个焦点. 点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处 理方法,属于综合题,有一定难度.

21. (14 分)设函数 f(x)=

,g(x)=ln(x+1) .

(1)求函数 H1(x)=f(x)﹣g(x)的最大值; (2)记 H2(x)=g(x)﹣bx,是否存在实数 b,使 H2(x)<0 在(0,+∞)上恒成立?若 存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由;

(3)证明:﹣1<

﹣lnn≤ (n=1,2,…) .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)利用导数先研究函数的单调性,然后根据单调性求出函数的最值; (2)先对函数 H2(x)求导数,然后研究该函数在(0,+∞)上的单调性,求其最大值,用 b 表示,该最大值满足小于零即可,解不等式组获得 b 的范围; (3) 结合 (2) 的结论可先构造函数, 然后利用函数的单调性构造不等式, 使问题获得证明. 注 意在化简求和时的方法. 解答: 解: (1)函数 H(x)的定义域为(﹣1,+∞) , 又 ,令 H1′(x)=0 得 x=0.

当 x∈∈(﹣1,0)时,H1′(x)>0,H1(x)递增;当 x∈(0,+∞)时,H1′(x)<0,H1(x) 递减. 所以函数 H1(x)的最大值为 H1(0)=0. (2)由已知得: ,

①若 b≥1,则 x∈[0,+∞)时,H2′(x)≤0,所以 H2(x)=g(x)﹣bx 在[0,+∞)上为减函 数, 所以 H2(x)=ln(1+x)﹣bx<H2(0)=0 在[0,+∞)恒成立. ②若 b≤0,则 x∈[0,+∞)时, ,所以 H2(x)=g(x)﹣bx 在[0,

+∞)上为增函数, 所以 H2(x)=ln(1+x)﹣bx>H(0)=0,不能使 H2(x)<0 在[0,+∞)上恒成立. ③若 0<b<1,则由 H′2(x)=0 得 x= 当 x∈[ , )上为增函数,

)时,H2′(x)>0,所以 H2(x)在[0,

所以 H2(x)=ln(1+x)﹣bx>H2(0)=0,所以不能使 H2(x)<0 在[0,+∞)上恒成立. 综上所述,b 的取值范围是[1,+∞) . (3)由以上得: 取 x= 得: . .



,则



当 n≥2 时,

=﹣



因此

,即



又 lnn= 故 =





=﹣1+



综上所述,不等式﹣1<

﹣lnn≤ (n=1,2,…)成立.

点评: 本题考查了利用函数的单调性研究函数的最值问题,以及不等式恒成立问题的解题 思路,同时第三问还涉及到放缩法的应用.



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