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上海市普陀区2013届高三1月质量调研考试数学文试题


2012 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考 2013.1 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形 码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 不等式 | 2 ? x |? 1的解为 . . .
A1
B1
D1









2. 函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期 T ? 3. 若集合 A ? {x |

6 ? 1} ,集合 B ? {?1 , 0 , 1 , 2 , 3 } ,则 A ? B ? x?5

4. 【文科】正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 B1C 与 C1 D 所成的 角的大小为 .

C1

A B

D

C

(第 4 题图)

5. 【理科】若函数 f ( x) ? a ? log3 x 的图像经过点 (1, 1) ,则 f 【文科】若函数 f ( x) ? 1 ? log3 x ,则 f
?1

?1

(?8) ?

.

(?8) ?

.

6. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 ,则数列 {an } 的通项公式 为 .

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意 取两个,则编号的和是奇数的概率为 (结果用最简分数表示). y
2

1 10 ) 的二项展开式中,常数项等于 8. 在 (2 x ? x
2

.

9. 若函数 f ( x) ? A sin( 2 x ? ? ) ( A ? 0 , ? 图,则 f (0) ? .

?
2

?? ?

?
2

)的部分图像如右

O
.

?
3

x

10. 在 △ABC 中,若 AB ? AC ? 2 , AB? BC ? ?7 ,则 AB ?

??? ??? ? ?

(第 9 题图)

11. 【文科】若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) , f (0) ? 1 , f (10 ) ? 且 则

_.

12.【文科】若 F1 、 F2 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右两个焦点, M 是椭圆上的动点,则 4
.

1 1 的最小值为 ? MF MF2 1

S
E A
.

13. 三棱锥 S ? ABC 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为

H

SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,则截面 EFGH
将三棱锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为

F

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 , ?2 ? 2 , x ? 1 ?
若 f (a ) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 .

B

G
(第 13 题图)

C

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知函数 y ? f (x ) ( x ? R ),则“ f (1) ? f (2) ”是“函数 y ? f (x ) 在 R 上是增函数” 的?????????????????????????????????? ( ) (B)必要非充分条件. (D)非充分非必要条件.

(A)充分非必要条件. (C)充要条件. 16. 【文科】双曲线 ( )

x2 y2 ? ? 1 ( 7 ? ? ? 9 )的焦点坐标为?????????? 9?? 7??

(A) (?4,0) . (C) (0,?4) . 17. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim

(B) (? 2 ,0) . (D) (0,? 2 ) .

a n ?1 ? b n ?1 ? 5 ,则 a ? b 的值不可能 是??????? ... n ?? a n ? b n



) (B) 8 . (C) 9 . (D) 10 .

(A) 7 .

18. 如图,四边形 ABCD是正方形, 延长 CD 至 E , 使得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发, 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断 正确 的是??????????????????????????????? .. ( )

??? ?

??? ?

??? ?

E

D

C
P

(A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. (B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个. (C) ? ? ? 的最大值为 3. (D) ? ? ? 的最小值不存在.

A

B

(第 18 题图)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 某种水箱用的 “浮球” 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm , , 圆柱筒长 2 cm . (1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100克,共需胶多少?
2cm
3

6cm (第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A( x, y ) 到点 F (2,0) 和直线 x ? ?2 的距离相等. (1)求动点 A 的轨迹方程; (2)记点 K (?2,0) ,若 AK ? 2 AF ,求△ AFK 的面积.

y

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ABC 中 ?A 、 ?B 、 ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? . (1)求 c ; (2)求 cos( B ? 2

1 3

?
4

) 的值.

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 【 文 科 】 f (x ) 和 g (x) 都 是 定 义 在 集 合 M 上 的 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? M , 都 有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f (x) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)若函数 f ( x) ? ax ? b , g ( x) ? mx ? n , f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数”, 证明: f (n) ? g (b) . (2)若集合 M ? [?2,2] ,函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? cos x ,判断函数 f (x ) 与 g (x) 在 M 上 是否互为“ H 函数”,并说明理由. (3)函数 f ( x) ? a x ( a ? 0且a ? 1) , g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”,求 a 的 取值范围及集合 M .

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 【文科】在平面直角坐标系 xOy 中,点 An 满足 OA1 ? (0,1) ,且 An An ?1 ? (1,1) ;点 Bn 满
* n 足 OB1 ? (3,0) ,且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) ,0) ,其中 n ? N .

(1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; .. (2)记四边形 An Bn Bn?1 An?1 的面积为 an ,求 an 的表达式;

???? ?

2 3

(3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 an ? P 成立?
*

若存在,求 P 的值;若不存在,请说明理由.

2012 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [1,3] 2. ?
*

3. {?1, 0} 7.

4.【理科】 arctan 8.180 13. 1 : 1

2 ? ;【文科】 60 2
10.3

5. 3

9

6. an ? 3n ? 2 ( n ? N ) 【理科】

3 5

9. ? 1 14. [ ,2)

11.

1 【文科】 210 10 2

12.1

3 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. B 16. B 17. D 18. C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.【解】(1) d ? 6cm , R ? 3cm , V球 ?

4 3 4 ?R ? ? ? 27 ? 36? cm3 ????2 分 3 3

h ? 2 , V圆柱 ? ?R 2 ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18? cm3 ????2 分 V ? V球 ? V圆柱 ? 36? ? 18 ? 54? ? 1696 cm3 ????2 分 ? .
2 2 (2) S 球表 ? 4?R ? 4 ? ? ? 9 ? 36? cm ????2 分

S圆柱侧 ? 2?Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12? cm 2 ????2 分
1 个“浮球”的表面积 S1 ?

36? ? 12? 48 ? 4 ? m2 4 10 10

2500 个“浮球”的表面积的和 S 2500 ? 2500?

所用胶的质量为 100?12 ? 1200 (克)????2 分 ? ? 答:这种浮球的体积约为 1696 cm ;供需胶 1200 克. . ?
3

48 ? ? 12? m 2 4 10

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F (2, 0) ,准线为 x ? ?2 设方程为 y 2 ? 2 px,其中

p ? 2 ,即 p ? 4 ??2 分 2

所以动点 A 的轨迹方程为 y 2 ? 8x ??2 分 (2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |?| AF | ??2 分

y B A

由于 AK ? 2 AF ,所以 ?AFK 是等腰直角三角形 ???2 分 其中 | KF |? 4 ????2 分

K ?2 O

F

2

x

所以 S ?AFK ?

1 ? 4 ? 4 ? 8 ????2 分 2

x ? ?2

2 2 2 21.【解】(1)在 △ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A …………2 分

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) …………2 分 3 2 即 c ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 …………2 分
(2)由 cos A ? ?

2 2 1 …………2 分 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? 3 3 a b 在 △ABC 中, 由正弦定理,得 ? sin A sin B 2 2 6? b ? sin A 3 ? 6 …………2 分 ? 则 sin B ? a 3 4 3
由于 B 为锐角,则 cos B ?

3 ……2 分 3 2 1 cos2B ? 1 ? 2 sin2 B ? 1 ? 2 ? ? ? 3 3 6 3 2 2 sin 2B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ? ? ? 3 3 3

所 以 c o s2B ? ( 分

?
4

) ?

2 2 1 2 2 4? 2 ………2 ( c os B ? sin2B) ? 2 (? ? )? 2 2 3 3 6

22. 【 理 科 】 【 解 】 ( 1 ) 由 已 知 条 件 得 , A1 A2 ? (1,1) , A1 A2 ? OA2 ? OA1 , 所 以

???? ?

OA2 ? ( 1, 2) ……2 分

An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)
设 OA ? ( xn , yn ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , yn?1 ? yn ? 1 n 所以 xn ? 0 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1; yn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ………2 分 即 An ? (n ?1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 An (n ? 1, n)

2 Bn Bn?1 ? OBn?1 ? OBn ? (3 ? ( ) n ,0) ………1 分 3
设 Bn (un , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n?1 ? u n ? 3 ? ( ) n , 逐差累和得, u n ? 9(1 ? ( ) n ) , 3 3 2 n 所以 Bn (9(1 ? ( ) ),0) ???2 分 3
设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ?1, 0 ? ,则

an ? S?PAn?1Bn?1 ? S?PAn Bn

1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?

n ?1

n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 an ? 5 ? (n ? 2)( )n ?1 , n ? N * ……2 分 3 2 n ?1 * (3)由(2) an ? 5 ? (n ? 2)( ) , n ? N 3
n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? …2 分 ? ? 3 ?3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ?

于是, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ………2 分

数列 ?an ? 中项的最大值为 a4 ? a5 ? 5 ?

16 16 , P?5 则 ,即最小的正整数 p 的 27 27
*

值为 6 ,所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 an ? p 成立.??2 分 【 文 科 】 22. 【 解 】 ( 1 ) 证 明 : 函 数 f (x ) 与 g (x) 互 为 “ H 函 数 “ , 则 对 于

?x? R , f ( g ( x)) ? g ( f ( x))
立??????2 分

恒 成 立 . 即 a(mx ? n) ? b ? m(ax ? b) ? n 在 R 上 恒 成

化简得 amx ? (an ? b) ? amx ? (bm ? n) ………………2 分 所以当 an ? b ? bm? n 时, f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) ,即 f (n) ? g (b) …1 分 (2)假设函数 f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数”,则对于任意的 x? M

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 恒成立.即 cos x 2 ? cos 2 x ,对于任意 x ? [?2,2] 恒成立 ?2

分.
当 x ? 0 时, cos0 ? cos0 ? 1 . 不妨取 x ? 1 ,则 cos12 ? cos1 ,所以 cos1 ? cos 2 1 ??????2 分 所以假设不成立,在集合 M 上,函数 f (x ) 与 g (x) 不是互为“ H 函数”???1

分.
(3)由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a x (a ?1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

ax ?

1 1 x ,因为 a ? 0 ,所以 ? 0 ,即 a ? 1 ………2 分 a ?1 a ?1

此时 x ? ? loga (a ? 1) ,集合 M ? {x | x ? ? loga (a ? 1), a ? 1 ………2 分 }

23.【解】(1)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2sinx ? sin2x 化简得, 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 , sinx ? 0 或 cosx ? 1 ………2 分 解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z ,即集合 M ? {x | x ? k? } k ? Z ………2 分

(若学生写出的答案是集合 M ? {x | x ? k? , k ? Z } 的非空子集,扣 1 分,以 示区别。) (2)证明:由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a x (a ?1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

1 ………2 分 a ?1 1 x 因为 a ? 0 ,所以 ? 0 ,即 a ? 1 ………2 分 a ?1 ax ?
(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数 则 g ( x) ? g (? x) ? log 2 (1 ? x) 所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) ? log 2 (1? | x |) ?????2 分 由于 f ( x) ? x ? 2 与函数 g (x) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所以当 x ? M , f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 恒成立,

g ( x) ? 2 ? g ( x ? 2) 对于任意的 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n? N )恒成立,
即 g ( x ? 2) ? g ( x) ? 2 ?????2 分 所以 g[ x ? 2(n ? 1) ? 2] ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 , 即 g ( x ? 2n) ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2n) ? g ( x) ? 2n , 当 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2n ? (?1,1)

g ( x ? 2n) ? log 2 (1? | x ? 2n |) ?????2 分
所以当 x ? M 时,

g ( x) ? g[(x ? 2n) ? 2n] ? g ( x ? 2n) ? 2n ? log 2 (1? | x ? 2n |) ? 2n ???2 分
【 文 科 】 23、 【 解 】 ( 1) 由 已知 条件 得, A1 A2 ? (1,1) , A1 A2 ? OA2 ? OA1 ,所以

???? ?

OA2 ? (1,2)……2 分

An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)
设 OA ? ( xn , yn ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , yn?1 ? yn ? 1 n 所以 xn ? 0 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1; yn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ………2 分 即 An ? (n ?1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 An (n ? 1, n)

2 Bn Bn?1 ? OBn?1 ? OBn ? (3 ? ( ) n ,0) ………1 分 3
设 Bn (un , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n?1 ? u n ? 3 ? ( ) n , 逐差累和得, u n ? 9(1 ? ( ) n ) , 3 3 2 n 所以 Bn (9(1 ? ( ) ),0) ???2 分 3
设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ?1, 0 ? ,则

an ? S?PAn?1Bn?1 ? S?PAn Bn

1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?

n ?1

n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 an ? 5 ? (n ? 2)( )n ?1 , n ? N * ……2 分 3 2 * (3)由(2) an ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 , n ? N 3
n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? …2 分 ? ? 3 ?3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ?

于是, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ………2 分 数列 ?an ? 中项的最大值为 a4 ? a5 ? 5 ?

16 16 , P?5 则 ,即最小的正整数 p 的 27 27
*

值为 6 ,所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 an ? p 成立.??2 分


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